第2章条件概率与独立性一、大纲要求<1）理解条件概率的定义.<2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式.<3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.<4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用.二、重点知识结构图独立实验概型二项概率公式贝叶斯公式乘法公式：定义：事件独立性的定义条件概率概率全概率公式：三、基础知识1.条件概率定义设有事件，且，在给定发生的条件下的条件概率，记为，有2．乘法公式定理若对于任意事件，都有，则这个公式称为乘法定理.乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形.定理设为任意个事件<），且，则有3．全概率公式定理设为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有则对任一事件，有. 4.贝叶斯公式定理设为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有则对任一具有正概率的事件，有 5.事件的相互独立性定义若两事件满足，则称<或）相互独立，简称独立.定理若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设是个事件，若对所有可能的组合成立：<共个）<共个）<共个）则称相互独立.定理设个事件相互独立，那么，把其中任意<）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两个条件的次重复实验，称为重独立实验.定理<二项概率公式）设在一次实验中，事件出现的概率为，则在重伯努利实验中，事件恰好出现次的概率为式中，四、典型例题例1掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率.解同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为.若设={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此时事件所包含的样本数为.设={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则={<3,6），<6,3），<6,4），<6,5），<6,6）}，故，，例2袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率.解设={第个人摸到黄球} ，则例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：<1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；<2）三次射击中至少有一次命中的概率.解设={第次命中}，={恰有一次命中}，={至少有一次命中}，则<1）<2）例4 设三次独立实验中事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率为19/27，求事件在一次实验中出现的概率.解因为解得例5 掷三枚均匀骰子，设={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}，={至少有一枚骰子掷出1}，问是否独立？解考虑，若发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生<2,3,4,5,6），比不知发生时可能取的点数<1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个<可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即.由此可以推出，故不独立.例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设，，设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？解设={某人检出阳性}，={带菌}，={不带菌}由题设知，故所求的概率为例7 甲、乙两人独立地对同一个目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率.解设={甲射击一次命中目标}，={乙射击一次命中目标}，则所求概率为例8 已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解设={抽到一名男性}；={抽到一名女性}；={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得由贝叶斯公式得例9 有两箱相同种类的零件，第一箱装50个，其中10个一等品；第二箱装30个，其中18个一等品.今从两箱中任取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任选一个，均不放回抽样，试求：<1）第一次取到的零件是一等品的概率；<2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.解<1）设={在第次中取到一等品}<），={挑到第箱}，则<2）因为故例10 设，求解因为故例11 某商店成箱出售玻璃杯，每箱20个，假设各箱有0，1，2个残次品的概率依次为0.8,0.1,0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4个，如无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回.试求<1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；<2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.解设={顾客买下玻璃杯}，={箱中有只残次品}<=0,1,2），由题意可知，，则<1）由全概率公式，得<2）由贝叶斯公式，得五、课本习题全解2-1 <1）<2）<3）<4）2-2 因为是独立事件，所以有<1）<2）<3）<4）2-3 因为，所以又因为，所以当时，第一个不等式中的等号成立；当时，第二个不等式中的等号成立；当时，第三个不等式中的等号成立.2-4 证明所以，分别与独立2-5设={射手击中目标}，={第一次击中目标}，={第二次击中目标}，={第三次击中目标}.有题意可知，，即；2-6 设={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，={点数和为8}，={点数和为6}<1）<2）<3）2-7 设={此密码能被他们译出}，则2-8 2-9 设={第一次取得的全是黄球}，={第二次取出黄球、白球各一半}，则所以2-10 设={第一次取得的是黄球}，={第二次取得的是黄球}，={第三次取得的是白球}，则所以2-11 设={这批货获得通过}，={样本中恰有一台次品}，={这批空调设备退货}；={第一次抽的是合格品}，={第二次抽的是合格品}<1）<2）<3）2-12 设={选出的产品是次品}，={产品是由厂生产}，={选出的产品是正品}<1）<2）<3）2-13 设={检验为次品}，={实际为正品}<1）<2）2-14 设={这位学生选修了会计}，={这位学生是女生}<1）<2）<3）2-15 设={此人被诊断为患肺癌}，={此人确实患肺癌}<1）<2）<3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的.2-16 设={收到信息为0}，={发送信息为0}，则有所以2-17 设={这批计算机是畅销品}，={这批计算机销路一般}，={这批计算机是滞销品}，={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有<1）<2）<3）<4）2-18 设={硬币抛掷出现正面}，={硬币是第个硬币} <=1,2,3,4,5），={抛掷又出现字面}<1）<2），，，，；<3）2-19 设={一人击中}，={两人击中}，={三人击中}，={飞机被击落}.根据题意有所以2-20 设={这批元件能出厂}，则2-21 <1）设={这批产品经检验为合格品}，则<2）设={产品真是合格品}，则六、自测题及答案1 设与为两事件，若，且，则与 .2 设事件与满足，，，则 .3 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%和10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为<）. (C> (D> 4.每次实验成功的概率为<），重复进行实验直到第次才取得<）次成功的概率是<） (2>12.设={报名表是第区考生}<=1,2,3），={第次抽到的报名表是男生表}<=1,2），有，<1）<2）因此 13.设={ 次交换后黑球出现在甲袋中}<=1,2,3），={ 次交换后黑球出现在乙袋中} <=1,2,3），则。