画法几何-直线的投影PPT课件

2.2 2.2 直线的投影直线的投影教学目标：1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系3、熟练运用直角三角形法解决作图问题4、熟练运用直角投影定理解决作图问题教学重点：1、掌握两直线的相对位置的判定2、熟练运用直角投影定理教学难点：1、掌握两直线的相对位置的判定2、熟练运用直角投影定理• 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影• 直线上的点直线上的点直线上的点直线上的点• 直线的真长及其倾角直线的真长及其倾角直线的真长及其倾角直线的真长及其倾角• 两直线间的相对位置两直线间的相对位置两直线间的相对位置两直线间的相对位置•直角投影规律直角投影规律直角投影规律直角投影规律ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW2.2.1 2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置2.2.1.1 2.2.1.1 直线的投影直线的投影 根据初等几何，两点决定一直线，所以，直线上两点的同面投影的连线就是直线在该面上的投影其作图方法与点的作图方法一样 yWyH1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。

a）直线的真实性ABbaH（c）直线的收缩性ABbaH(b)直线的积聚性a(b)BAH3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上的投影长度小于真实长度2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于投影面）时，其在该面的投影积聚为一点 直线投影的特点（三性）直线投影的特点（三性）投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线正平线（平行于Ｖ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）水平线（平行于Ｈ面）垂直于某一投影面垂直于某一投影面正垂线（垂直于Ｖ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）2.2.1.2 2.2.1.2 与投影面成各种位置状态的直线与投影面成各种位置状态的直线 直线与投影面的位置关系有三种：直线与投影面的位置关系有三种：平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）1 1、、 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 ABaba′b′a”b”XYZ0YHYWXZaba′b′b”a”0（2）其三面投影都小于空间直线的实长，也不反映直线不反映直线与投影面的倾角。

与投影面的倾角1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜；一般位置直线与投影面的倾角一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角倾角对H面的倾角记为“a a”；对V面的倾角记为“ββ” ；对W面的倾角记为“  ”ZXYOVHWabbabaABC2 2、投影面平行线、投影面平行线ZXYOababab Xa b ab baOzYHYW  AB投影特性：投影特性：1．．a b  OX ; a b OYW 2．． ab=AB 3．．反映反映 、、  角的真实大小角的真实大小(1) (1) 水平线水平线 — — 只平行于水平投影面的直线只平行于水平投影面的直线ZXYOaababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1 1．．ab ab   OX OX ; ; a a  b b OZOZ 2 2．．a a  b b = =ABAB 3 3．．反映反映 、、  角的真实大小角的真实大小（（2 2）正平线）正平线——只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线ZXYO（（3 3）侧平线）侧平线——只平行于侧面投影面的直线只平行于侧面投影面的直线aa b a bbAB投影特性：投影特性： 1 1．．a a b b  OZOZ ; ; ab ab   OYOYH H 2 2．．a a b b  = =ABAB 3 3．．反映反映  、、  角的真实大小角的真实大小XZa b bbaOYHYWab b a a a ab ba a b b b b a aa a b b b ba a 投影面平行线的投影特性归纳为：投影面平行线的投影特性归纳为：① ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。

与另两投影面倾角② ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线γγ投投 影影 特特 性：性：与与H H面的夹角面的夹角:α :α 与与V V面的角面的角:β :β 与与W W面的夹角面的夹角:γ:γ实长实长实长实长实长实长ββγγααααββb ba a a aa a b b b b 3 3、投影面垂直线、投影面垂直线ABa(b)a’b’a”b”HVW0XYZa(b)a’b’a”b”XYWYHZ0（（1 1）正面投影）正面投影⊥⊥OX ；平行于；平行于Z轴轴（（2 2）侧面投影）侧面投影⊥⊥OYW;平行于平行于Z轴轴（（3 3）水平投影积聚成一点水平投影积聚成一点1 1）铅垂线）铅垂线（（2 2）正垂线）正垂线 ABa’ (b’)aba”b”HVW0YZXabb”a”a’ (b’)XYHYW0Z（（1 1）水平投影）水平投影⊥⊥OXOX , ,平行于平行于YH轴轴; ;（（2 2）侧面投影）侧面投影⊥⊥OZ OZ , ,平行于平行于YW轴轴; ;（（3 3）正面投影积聚成一点。

正面投影积聚成一点ABaba’b’a”(b”)HVW0XYZaba’b’a”(b”)XYHYW0（（1 1）正面投影）正面投影⊥⊥OZOZ , ,平行于平行于X X轴轴; ;（（2 2）水平投影）水平投影⊥⊥OYOYH H，，平行于平行于X X轴轴; ;（（3 3）侧面投影积聚成一点侧面投影积聚成一点3 3）侧垂线）侧垂线 投影面垂直线的投影特性归纳为：投影面垂直线的投影特性归纳为：① ① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性在其垂直的投影面上，投影有积聚性② ② 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一个投影轴或分别垂直于相应的投影轴个投影轴或分别垂直于相应的投影轴a a）铅垂线）铅垂线（（b b）正垂线）正垂线（（c c）侧垂线）侧垂线判断下列直线是什么直线？判断下列直线是什么直线？正平线正平线水平线水平线水平线水平线侧平线侧平线正垂线正垂线侧垂线侧垂线铅垂线铅垂线yW0XZyHaba”b”yW0XZyHaba”b”倾斜直线倾斜直线aba’b’aba’b’aba’b’0Xaba’b’0Xaba”b”yW0XZyHa’b’a”b”0Z2.2.2 2.2.2 直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性点与直线的关系：点与直线的关系：点在直线上点在直线上；；点在直线外点在直线外。

ABCa (b)EFDedf 直线上点的投影特性直线上点的投影特性直线上点的投影特性直线上点的投影特性: : : :1 1 1 1、、、、从属性：从属性：直线上点的投直线上点的投直线上点的投直线上点的投影必定位于直线的同影必定位于直线的同影必定位于直线的同影必定位于直线的同面投影上面投影上面投影上面投影上2 2 2 2、、、、定比性：定比性：直线上的点分直线上的点分直线上的点分直线上的点分割直线为两段，则线割直线为两段，则线割直线为两段，则线割直线为两段，则线段的空间之比等于它段的空间之比等于它段的空间之比等于它段的空间之比等于它们的投影之比，即：们的投影之比，即：们的投影之比，即：们的投影之比，即：(c)ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″ED:DF = ed:df = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″检验点检验点检验点检验点C C C C、、、、F F F F、、、、I I I I、、、、L L L L是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB、、、、DEDEDEDE、、、、GHGHGHGH、、、、JKJKJKJK上上上上XOk’a’b’c’e’f’g’ (h’)i’l’j’kabcghiljd’dfe点点C C在直线在直线ABAB上上点点F F在直线在直线DEDE上上点点I I不在直线不在直线GHGH上上点点L L不在直线不在直线JKJK上上a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK K 点点在在直直线线 AB AB 上上【例题】【例题】【例题】【例题】判定下题中，点判定下题中，点判定下题中，点判定下题中，点K K K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB上？上？上？上？方法一：从属性方法一：从属性方法一：从属性方法一：从属性方法二：定比性方法二：定比性a′b′abk′kXOb0k0K K 点点在在直直线线 AB AB 上上XYHYWZa′b′abd′da″b″k″D D点点不不在在直直线线ABAB上上O【例题】【例题】判断点判断点C C、、D D是否在直线是否在直线ABAB上。

上方法一：从属性方法一：从属性方法一：从属性方法一：从属性cc′c″C C点点在在直直线线A AB B上上方法二：定比性方法二：定比性Xa′b′abd′dOcc′c0d0b0D D点点不不在在直直线线ABAB上上C C点点在在直直线线A AB B上上【例题】【例题】试在直线试在直线ABAB上确定一点上确定一点C C，使，使 AC:CB=2:3 AC:CB=2:3，求，求C C点的两面投影点的两面投影aba′b′C ′c cXO【例题】【例题】如图所示，已知直线如图所示，已知直线ABAB上的点上的点C C距离侧面距离侧面W10mmW10mm，求，求C C点的两面投影点的两面投影Z ZOOb′b′a′a′b b〞〞〞〞a a〞〞〞〞1010c′ c′b b0 0c c0 0c c〞〞〞〞【例题】【例题】【例题】【例题】如图，三棱锥的棱线点如图，三棱锥的棱线点K K和和M M的正面投影，的正面投影， 求其余投影求其余投影已知已知方法一，利用从属性方法一，利用从属性方法二，利用定比性方法二，利用定比性s’b’b”s”sk’k”km’m”m( )bm’s’k’b’b”s”sbk【例题】【例题】已知点已知点C C段段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。

的正面投影ccabc0c〞a〞b〞BAabccaaabbbVHXXOc 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上遇到的问题而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷求实长或可采用辅助平面法2.2.3 2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角求直线的真长及其对投影面的倾角2.2.3.1 2.2.3.1 求直线的真长及其对投影面的倾角求直线的真长及其对投影面的倾角直角三角形法直角三角形法ABABABAB真长真长真长真长αABABABAB真长真长真长真长βab ba′b b′ABabαβγb″a′b′ZXYa″△Z△Z△Z△ZABABABAB量取量取量取量取△△△△Z Z Z ZABABABAB△Y△Y△Y△YABABABAB量取量取量取量取△Y△Y△Y△YABABABAB 在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。

真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角真长（真长（真长（真长（TL)TL)TL)TL)坐标差△Z、△Y、△XH、V、W投影长α、β、γ 1 1．． 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角OABabca′b′X|zA-zB |AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|abXaba′b′2 2．． 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角  角角ABab|yA-yB|OABabca′b′X|yA-yB|aXabbabAB|yA-yB|AB|yA-yB|3 3．． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角  角角|xA-xB|aa′b′bXOZXOZYYHYWa〞b〞ABbbabaa|xA-xB|【例题】【例题】如图所示，求直线如图所示，求直线ABAB的真长及其对的真长及其对投影面投影面H H、、V V的倾角的倾角 、Xa′b′abOa0ABABABAB真长真长真长真长△△△△y=aby=ab△△△△z z  方法一：方法一：Xa′b′abOa″b″AB真长  ZYHYW方法二：方法二：aba′b′XOΔZAB=ΔZABC C在AB上量取AC=25mmcc′BA【例题】【例题】试在直线试在直线ABAB上其一点上其一点 C C，使，使AC = 25 AC = 25 mmmm，， 求点求点C C的投影。

的投影【例题】【例题】【例题】【例题】已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的的点点C C的投影，的投影， 使使BCBC 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L LLABzA-zBccabBC=LababX量取△YABR=40mm△YABa′b′ab【例题】【例题】已知直线已知直线ABAB的的V V面投影，且面投影，且AB=40mmAB=40mm，， 求求ABAB的的H H面投影a′b′ab△YAB量取△YABβ【例题】【例题】已知直线已知直线ABAB的的V V投影，且投影，且β=30°β=30°求求ABAB的的H H投影a′b′′abαΔΔz zABAB直线的直线的H投影长投影长以直线的以直线的H投影长投影长为半径，作圆弧为半径，作圆弧直线直线AB真长真长【例题】【例题】已知直线已知直线ABAB的的V V投影，且投影，且α=30°α=30°，， 求求ABAB的的H H投影60°60°2.2.3.2 2.2.3.2 已知直线的真长和倾角求解有关的定位已知直线的真长和倾角求解有关的定位和度量问题和度量问题【例题】【例题】【例题】【例题】如图所示：已知直线如图所示：已知直线如图所示：已知直线如图所示：已知直线CDCDCDCD的两面投影，求的两面投影，求的两面投影，求的两面投影，求CDCDCDCD对投影面对投影面对投影面对投影面V V V V、、、、W W W W的倾角，并在的倾角，并在的倾角，并在的倾角，并在CDCDCDCD上取点上取点上取点上取点T T T T，，，，T T T T与与与与C C C C的真实距离为的真实距离为的真实距离为的真实距离为10mm 10mm 10mm 10mm ，，，，作点作点作点作点T T T T的两面投影。

的两面投影的两面投影的两面投影d′c′Od″Zc″△△△△y y△△△△x x△△△△y y△△△△x xβc0c1CDCDCDCD真长真长真长真长1010CDCDCDCD真长真长真长真长t′t″t0【例题】【例题】【例题】【例题】如图所示：已知直线如图所示：已知直线如图所示：已知直线如图所示：已知直线EFEFEFEF的水平投影的水平投影的水平投影的水平投影efefefef和端点和端点和端点和端点E E E E的的的的正面投影正面投影正面投影正面投影e e e e′ ′，并知，并知，并知，并知EFEFEFEF的真长为的真长为的真长为的真长为20mm20mm20mm20mm，补全，补全，补全，补全EFEFEFEF的正面投影的正面投影的正面投影的正面投影e e e e′ ′f f f f′ ′, , , ,同时，请回答这个题目有几解同时，请回答这个题目有几解同时，请回答这个题目有几解同时，请回答这个题目有几解efXOe△z△z△zR20R20f′ ′f′ ′有两解有两解2.2.4 2.2.4 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的两直线的相对位置相对位置两直线交叉两直线交叉（交错）（交错）—异面异面两直线相交两直线相交两直线平行两直线平行共面共面(1)(1)两直线平行两直线平行 两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：( (1)1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。

即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行即AB∥CDAB∥CDAB∥CDAB∥CD，则：，则：，则：，则：ab∥cd ab∥cd ab∥cd ab∥cd ；；；；a′b′∥c′d′a′b′∥c′d′a′b′∥c′d′a′b′∥c′d′；；；；a″b″∥c″d ″a″b″∥c″d ″a″b″∥c″d ″a″b″∥c″d ″2)(2)平行两线段之比等于其投影之比平行两线段之比等于其投影之比AB:CD=ab:cd= AB:CD=ab:cd= a′b′:c′d′a′b′:c′d′a′b′:c′d′a′b′:c′d′= = a″b″∥c″d″a″b″∥c″d″a″b″∥c″d″a″b″∥c″d″xob´aa´d´bbcc´xob´a´abdc´d´cABCD 一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：b’aba’d’cdc’a”b”c”d”两面投影均平行的直线空间不一定平行两面投影均平行的直线空间不一定平行两直线平行的判定：两直线平行的判定：若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。

若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行u当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错u两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行判断两直线是否平行的方法判断两直线是否平行的方法s’s3 3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？2 2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？1 1、第三面投影是否平行？、第三面投影是否平行？s’(2)(2)两直线相交两直线相交ob’xa’abk’c’d’dckxoBDACKbb’aa’c’cdd’k’k两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性：：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。

的交点符合点的投影规律的交点符合点的投影规律的交点符合点的投影规律u 当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中的交点将直线分成的两段是否成比例来判断的交点将直线分成的两段是否成比例来判断一般根据直线的两面投影即可判断是否相交一般根据直线的两面投影即可判断是否相交u 两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交点符合点的投影规律，则两直线空间也相交点符合点的投影规律，则两直线空间也相交abcdkb a c d k (3)(3)两直线交叉两直线交叉Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21 两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性：：：： 既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性, , , ,也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉. . . .（（3 3）） 两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影相交，则两直线交错。

相交，则两直线交错2 2）） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直线交错线交错; ;（（1 1）） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；判定条件：判定条件：c′a′b′d′cabd123456判断下面形体的轮廓线为交错直线判断下面形体的轮廓线为交错直线判断两根管子的可见性判断两根管子的可见性d′abcda′b′c′4’(3’)341’2’1(2)X0d′a′b′c′abcd判断两直线的位置关系判断两直线的位置关系a’a’b’b’c’c’d’d’e’e’a a（（f f））b bc cd de e0 0X XABAB与与CDCDABAB与与AEAECDCD与与AEAE交错交错相交相交交错交错0 0X Xa’a’b’b’c’c’d’d’a ab bc cd dABAB与与CDCD平行平行g’g’g gf’f’ABAB与与FGFG 交错交错d dc cb ba ad d′′c c′′b b′′a a′′d d′′c c′′a a′′(b(b′)′)d d′′c c′′b b′′a a′′d d′′c c′′b b′′a a′′c c′′b b′′a a′′d d′′c c′′b b′′a a′′d d′′c c′′b b′′a a′′d d′′c c′′b b′′a a′′d d′′d dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba ad dc cb ba a判断两直线的位置关系判断两直线的位置关系相交相交交错交错交错交错平行平行交错交错相交垂直相交垂直交错交错交错垂直交错垂直相交相交相交垂直相交垂直交错垂直交错垂直相交相交【例题】【例题】判断两直线的相对位置（方法一）判断两直线的相对位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ两两直直线线交交叉叉【例题】【例题】判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置( (方法二）方法二）cboa′ac′d′db′x1′1 =1′d′=1′c′两两直直线线交交叉叉【例题】【例题】作直线作直线KLKL与与ABAB、、CDCD相交，且平行于相交，且平行于EFEF直线。

直线d ′e′ f ′fec′a′abcd(b′)(k′)l ′lk作作kˊlˊ∥∥e ˊf ˊ作作kl∥∥ef【例题】【例题】【例题】【例题】已知水平线已知水平线已知水平线已知水平线ABABABAB的两面投影及点的两面投影及点的两面投影及点的两面投影及点C C C C的两面投影，求的两面投影，求的两面投影，求的两面投影，求作直线作直线作直线作直线CDCDCDCD，使其与直线，使其与直线，使其与直线，使其与直线ABABABAB相交且与相交且与相交且与相交且与H H H H面成面成面成面成30303030º º夹角Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影长CD真长α以CD水平投影长为半径作弧d有两解dˊ2.2.5 2.2.5 两直线垂直两直线垂直( (直角投影定理直角投影定理) )AHBCacbcOXb′a ′c′ba 垂直相交垂直相交( (交错）的两直线，其中有一条直线交错）的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角仍反映直角1 1）垂直相交两直线）垂直相交两直线 如果两直线互相垂直，如果两直线互相垂直，它们在某一投影面上的投它们在某一投影面上的投影也互相垂直，则此两直影也互相垂直，则此两直线中至少有一直线平行于线中至少有一直线平行于该投影面该投影面AHBCacbcOXb′a ′c′ba证明：证明：ABAB⊥⊥BCBC、、ABAB⊥⊥BbBb ABAB⊥⊥AacCAacC 又又 abab∥∥ABAB，， ab ab⊥⊥AacCAacC  ab ab⊥⊥bcbc，，即即∠∠abc=90°abc=90°（（2 2）） 垂直交错两直线垂直交错两直线O OX Xb′b′a′a′b ba am mn nn nm mB BH HA AC Cc cb ba aM MN Nn nm mMN⊥AB ,过点A作AC∥ MN,则AC⊥AB,且AB∥H面,则有ab  ac，又mn∥ac,则mnab【【例例】】如图，已知直线如图，已知直线ABAB和点和点M M的两面投影，求过点的两面投影，求过点M M 作作直线直线ABAB的垂线的两面投影。

的垂线的两面投影m’mb’aba’0Xm’mb’aba’0Xn’kn’nk’【例题】求点【例题】求点K K到直线到直线ABAB的距离的距离 kk′aba′b′ll′垂线KL的实长△ZKL△ZKL【例题】已知直角三角形【例题】已知直角三角形ABCABC，其一直角边，其一直角边BCBC在在EFEF线上，长线上，长30mm30mm，试完成三角形，试完成三角形ABCABC的投影e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例题】已知正方形【例题】已知正方形ABCDABCD的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线EFEF上，上，试完成该正方形的正面、侧面投影试完成该正方形的正面、侧面投影a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半对角线长【例题】求两直线【例题】求两直线ABAB、、CDCD之间的距离之间的距离aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)【例】【例】如下图过如下图过A A点作直角三角形点作直角三角形△ABC△ABC已知一条直角边已知一条直角边为为BC BC 居于ＭＮ，（ＭＮ为水平线），另一直角边为Ａ居于ＭＮ，（ＭＮ为水平线），另一直角边为ＡＢ，且ＡＢＢ，且ＡＢ: :ＢＣ＝３ＢＣ＝３: :２２m’n’mna’c’c’X0b’ＣZA-ZBabＢcbac。