第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法正交小波有许多好的性质，如虬(t),3 = 8(k -顶)，* jk (t),W g = 8 戚-如)，代.(t), v .,(t)卜 0，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等Daubechies给出的正交小 波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN，SymN，CoifN)但是，正交小波 也有不足之处，即Nt)和V (t)都不是对称的，尽管SymN和CoifN接近于对称，但毕竟 不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真^(t)和V (t) 的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组H0(z)和H 1(z)的不对称性我们已在7.8节 讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组 的设计方法本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器 组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简 要讨论小波包的基本概念12.1双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建 的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用H0 (z)对％ (z)分解时需要将H0 (z)和H 1 (z)的系数作时间上的翻转，即用的是H (z-1)及H (z-1)，或h (n) = h (-n),h (n) = h (-n)， 0 1 0 0 11见(10.6.1)式及图10.6.2将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到 如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的H0(z)和H 1(z)，而是H0(z)和H1(z)，它们分别是H0(z)和H 1(z)的对偶滤波器有关“对偶”的概念见1.6节，在下面的讨论中将涉及对 偶滤波器的作用现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR的条件由第七章关于两通道滤 波器组的理论，我们有a (n) a' (n)图12.1.1双正交滤波器组a (n) = a (n) * h (2n)1 0 0=£ a (k)h (k 一 2n) = a (k), h (k 一 2n) 0 0 ' 0 0k(12.1.1a)d (n) = a (n) * h (2n)1 0 1=£a (k)h (k 一 2n) = ：：a (k), h (k 一 2n)■:■ 0 1 0 1k(12.1.1b)a (n) = a (n) * h (n) + d '(n) * h (n)01011=£ a (l)h (n 一 2l) + £ d (l)h (n 一 2l)1 0 1 1l l将(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有(12.1.2)a (n) = £ (a (k), h (k — 2l))h (n — 2l)l+ £(a (k), h (k 一 2l)h (n 一 2l)l(12.1.1)式是用一组向量 h (k 一 2n), h (k 一 2n), n,k e Z}对 a (n)作分析{ : 1 } 0(12.1.3)(12.1.3)式是用一组对偶向量h0(n — 2l),h、n — 2l),n,l e Z对a0(n)作综合。
12.1.3)式还可表为l(12.1.4)a0 (n) = (k 一 2l), h0 (n 一 2l)、(k)l+ (k 一 2l), h (n 一 2l"a (k)1 1 ■- 0显然，如果(12.1.5a)(12.1.5b)h{k - 2l), h0(n - 2l))=8 (n - k)a (n) = 2a (n)h (k 一 2l), h (n 一 2l)} = 8 (n 一 k)则从而实现了准确重建12.1.5)式的含意是，在图12.1.1中，同一条支路上的两个滤波器.，、？，、—，、？ .. h (n),h (n)或h (n), h (n)的偶序号位移之间是正交的但是该式没有涉及上下支路两个 0 0 1 1滤波器之间的关系我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数 下面的两个定理清楚地回答了该问题定理12.1 对图12.1.1所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号a0(n)，其准确 重建的充要条件是：H0*(s +兀)H0(®) + H「(s +兀)H (^) = 0 (12.1.6a)一，、q ， 、 _，、△，、 -及 H 0*(®) H 0(®) + H「(s) H(®) = 2 (12.1.6b)证明：仿照(7.1.5 )式的导出，有人(z) = - H (z-1)H (z) + H (z-1)H (z)L (z)0 2 0 0 1 1 0+ 2 H0(-z-1)H0(z) + H 1(-z-1)H](z)L0(-z) (12.1.7) 1 ，、 ，、 式中A (z)、A (z)分别是a (n)和a (n)的z变换，A (-z)是混迭分量。
因此，为消除 0 0 0 0 0混迭失真，应有H 0( 一 z-1) "0( z ) + H 1( - z-1) H 1( z ) = 0 (12.1.8a)为保证系统的准确重建，应有H 0( z-1)叫(z) + H( z-1) H 1( z) = 2cz - (12.1.8b)式中c和k均为常数令c = 1，k = 0，(12.1.8)式对应的频率表示是：H *(® + 兀)H (®) + H*(® + 兀)H (®) = 0H°*(s) H o(s) + H「(s) H ](s) = 2于是定理得证对比图7.1.1的两通道滤波器组，其对应的PR条件是(见(7.1.5)式)：H 0( - z )G°( z) + H 1( - z )G1( z) = 0 (12.1.9a)H 0( z )G" z) + H 1( z )G( z) = 2 (12.1.9b)将(12.1.9 )和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用一 ， 、 一 ， 、 ― 一H (z)、H (z)代替了 G (z)和G (z)，并在分析滤波器组中，用H (z-1)、H (z-1)分0 1 0 1 0 1别代替了 H0(z)和H 1(z)。
其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的由(12.1.6a)式，有H 0(")H (①+兀)0H (①)H (①+兀)1H * (①)2湘 =H * (①) 01(12.1.10)可求出I- / 、(12.1.11)(12.1.12)H(①)=^- "+兀) H *(①)J detH(①)［一H0(① + 兀)式中deH(rn) = H (rn)H (① + 兀)-H (rn)H (① + 兀)q ，、 .... - —，、- 显然，为了保证对偶滤波器H0(z)和H 1(z)是稳定的，detH(o )在①=-兀~兀的范围内 q ，、 上，、 . 、、应该非零为了保证H0(z)和H 1(z)是FIR的，detH(o )应取纯延退的形式仿照(7.2.16)式对G0(z)和G](z)的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分 析滤波器之间的关系：—/一一、 A _、H (o) = e-顶⑵+睥H *(o + 兀) (12.1.13a)1 0H(o ) = e-顶⑵+睥 H0*(o + 兀) (12.1.13b)或H 1( z ) = z - (2l+1) H 0(—z-1) (12.1.14a)A Z X z 、(12.1.14b)(12.1.15a)(12.1.15b)H (z) = z-(2/+i)H (-z-i) 1 0假定/ = 0，它们对应的时域关系是 、h (n) = (-1)n+i h (1 - n)? h (n) = (-1)n+1 h (1 - n)10注意，上述时域、频域关系均是在图12.1.1中的交叉方向上给出的，它正好反映了双正交 滤波器组的特点。
将(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我们可得到如下的关系：H0*(s ) H o(w ) + H0*(s +兀)H 0(w+K ) = 2 (12.1.16a)或 H1* (o) H 1(o) + H1* (o +k ) H 1(o +k ) = 2 (12.1.16b)及H *(o)H (o) + H *(o+兀)H (o+兀)=0 (12.1.17a)或 H1* (o) H 0(o) + H「(o + 兀)H0(o +兀)=0 (12.1.17b)至此，我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系，即(1) 去除混迭条件：(12.1.6a)式；(2) PR 条件 ：(12.1.6b)式；(3) 保证PR条件和滤波器均为FIR的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系: (12.1.13)式〜(12.1.17)式回顾在共轭正交滤波器组的情况下，我们经常用到的功率互补关系，即\H0(o)|2 + H0(o+兀)|2 = 2，或 H 0* (o) H 0(o) + H 0* (o +兀)H 0(o +兀)=2 (12.1.18)… M ， 、 一 ， 、 显然，若H0(z) = H0(z)，则(12.1.16a)式即变成(12.1.18)式，也即双正交滤波器组变成了正交滤波器组。
有了以上讨论的基础，我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念 __ ， 、 —— ， 、 ， 、 4 定理12.2[8]如果图12.1.1中的四个滤波器H°(z) , H 1(z) , H0(z)和H 1(z)满足准确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则{h (n - 21), h (n - 2l)}, l e Z 和 {h (n - 2l), h (n - 2l )}隹 Z0 1 0 1是L2(R)中的双正交Riesz基 , 、 广 *-•一、一 一 .证明：为证明h、h、h及h的偶序号项移位是双正交的，我们需要证明如下三个 0 10 1关系成立:(12.1.19a)h (k), h (k 一 2n)} =5 (n)0 0 ■■■由(12.1.16a)式，有该式对应的时域关系是h1(k),h1(k - 2n)) =5 (n)(12.1.19b)h (k), h (k - 2n)1 =《h (k), h (k - 2n)} = 00 1 ■- 1 02 H 0* (①)H 0(①)+ h 0 * (① +兀)H 0(① +兀)L 1(12.1.19c)^wh * h (2n)=艾 h (k)h (k — 2n) = 5 (n)0 0 0 0k =-w于是(12.1.19a)式得证。
同理，由(12.1.16b)式可证明(12.1.19b)式，而(12.1.17)式对应的时域关系即是(12.1.19c)式这样，(12.1.19)式给出了三组正交关系。