暨南大学珠海学院,,第七章,微分方程,,— 积分问题,—,微分方程问题,,推广,第七章,第一节 微分方程的根本概念,,与一阶微分方程解法,一阶微分方程的根本概念与解法,引例,几何问题,物理问题,第七章,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系式:,①,(,C,为任意常数),由,②,得,C,= 1,,因此所求曲线方程为,②,由,①,得,切线斜率为 2,x,, 求该曲线的方程 .,引例2.,列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:,设列车在制动后,,t,,秒行驶了,s,,米 ,,,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,,以及制动后行驶了多少路程 .,即求,,s,,= s,(,t,) .,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(,本章内容,),(,n,阶,显式,微分方程),一、微分方程的根本概念,一般地 ,,n,阶常微分方程的形式是,的,阶.,分类,或,引例,2,— 使方程成为恒等式的函数.,通解,— 解中所含独立的任意常数的个数与方程,— 确定通解中任意常数的条件.,n,阶方程的,初始条件(或初值条件),:,的阶数相同.,特解,引例,1,,通解,:,特解,:,微分方程的,解,— 不含任意常数的解,,定解条件,其图形称为,积分曲线.,其图形称为,积分曲线族.,例1.,,验证函数,是微分方程,的解,,的特解 .,解,:,,这说明,是方程的解 .,是两个独立的任意常数,,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程 .,例2. 曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如下图,,令,Y,= 0 , 得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,,,y,) 处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,,1、可别离变量微分方程,或,可别离变量方程。
形如,的微分方程,称为,解法：可别离变量方程的解法:,两边积分, 得,那么有,称为方程的,隐式通解.,二、一阶微分方程的解法,例1.,求微分方程,的通解.,解: 别离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数 ),或,,,说明:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,,因此可能增、,减解.,( 此式含别离变量时丧失的解 y = 0 ),例2.,,解初值问题,解: 别离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,= 1,,(,C,为任意常数 ),故所求特解为,例3.,求下述微分方程的通解:,解:,,令,那么,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解:,练习:,解法 1 别离变量,即,(,C,< 0,,),解法 2,故有,积分,(,C,为任意常数 ),所求通解:,例4.,子的含量,M,成正比,,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律.,解:,根据题意, 有,(初始条件),对方程别离变量,,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,t = 0 时铀的含量为,放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,,求,解:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程别离变量,,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(,t,= 0 ) 速度为0,,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t,,足够大时,2、齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替,u,,,便得原方程的通解.,解法:,别离变量:,例1.,解微分方程,解:,代入原方程得,别离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,= 0,时,,,y,= 0,也是方程的解),(,C,为任意常数 ),例2.,解微分方程,解,:,那么有,别离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:,显然,,x,= 0 ,,y,= 0 ,,y = x,也是原方程的解, 但在,(,C,为任意常数),求解过程中丧失了.,3、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,假设 Q(x) 0,,若,Q,(,x,),,0,,称为,非齐次方程,.,1. 解齐次方程,别离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用,常数变易法,:,那么,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1.,解方程,,解:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解. 令,那么,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,4、伯努利 ( Bernoulli )方程,,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),例4.,求方程,的通解.,解:,令,那么方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,一、可降阶高阶微分方程,,第七章,二、线性微分方程解的结构,第二节,一、 可降阶的高阶微分方程,,1、 型的微分方程,,2、 型的微分方程,,3、 型的微分方程,1、,令,因此,即,同理可得,依次通过,,n,,次积分, 可得含,,n,,个任意常数的通解 .,型的微分方程,,一、可降阶高阶微分方程,,例1.,解:,,型的微分方程,,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,那么得,再一次积分, 得原方程的通解,2、,例2.,求解,解:,代入方程得,别离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,3、,型的微分方程,,令,故方程化为,设其通解为,即得,别离变量后积分, 得原方程的通解,例3.,求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例4.,解初值问题,解:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,,根据,积分得,故所求特解为,得,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与,x,轴围成的三角形面,例4.,二阶可导, 且,上任一点,P,(,x,,,y,),,作该曲线的,切线及,x,轴的垂线,,区间[ 0,,x,] 上以,解:,于是,在点,P,(,x,,,y,) 处的切线倾角为,,,,满足的方程 .,积记为,( 99 考研 ),再利用,y,(0) = 1 得,利用,得,两边对,x,求导, 得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,二、,,高阶线性微分方程,,解的结构,2、线性齐次方程解的结构,3、线性非齐次方程解的结构,,1、二阶线性微分方程,第七章,的方程，叫二阶线性微分方程。
二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,的方程，叫,n,,阶线性微分方程1、二阶线性微分方程的概念,形如,一般地，形如,二、,高阶线性微分方程解的结构,证毕,2、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),,,定理1.,说明:,不一定,是所给二阶方程的通解.,例如,,是某二阶齐次方程的解,,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,那么,为解决通解的判别问题,,,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间,I,上的,,n,个函数,,使得,那么称这 n个函数在 I 上线性相关,,否那么称为线性无关.,例如，,,在(, , ,)上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,又如，,假设在某区间 I 上,那么根据二次多项式至多只有两个零点 ,,必需全为 0 ,,可见,在任何区间,I,上都,线性无关.,假设存在不全为 0 的常数,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,( 无妨设,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 那么,必线性,相关,(证明略),线性无关,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 那么,数) 是该方程的通解.,例如,, 方程,有特解,且,常数,,故方程的通解为,推论.,是,n,阶齐次方程,的,n,个线性无关解,,那么方程的通解为,3、线性非齐次方程解的结构,,是二阶非齐次方程,的一个特解,,Y,(,x,) 是相应齐次方程的通解,,定理 3.,那么,是非齐次方程的通解 .,证:,将,代入方程①左端, 得,②,①,是非齐次方程的解,,又,Y,中含有,两个独立任意常数,,例如,,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 ② 也是通解 .,定理 4.,分别是方程,的特解,,是方程,的特解.,(非齐次方程之解的叠加原理),定理3, 定理4 均可推广到,n,阶线性非齐次方程.,定理 5.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,,那么非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数, 那么该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,,二者线性无关 .,(反证法可证),(89 考研 ),例4.,微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,,且,常数,因而线性无关,,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,第三节,常系数,齐次线性微分方程,,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,,代入①得,称②为微分方程①的,特征方程,,,1. 当,时,,②有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(,r,为待定常数 ),,①,所以令①的解为,②,那么微分,其根称为,特征根,.,2. 当,时,,特征方程有两个相等实根,那么微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,),待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 那么得,因此原方程的通解为,3. 当,时,,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,总结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,二阶常系数齐次线性微分方程:,假设特征方程含 k 重复根,假设特征方程含 k 重实根 r , 那么其通解中必含对应项,那么其通解中必含,对应项,特征方程:,推广,:,例1.,的通解.,解:,特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.,求解初值问题,解:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,第四节,第七章,常系数非齐次线性微分方程,,一、,二、,,,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,) 的特殊形式 ,,的待定形式,,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .,①,—,待定系数法,那么有形如,的特解，其中,其中 为实数 ,,为,m,次多项式 .,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,当,,是特征方程的,k,重根,时,,k=,0,1,2,一、,,待定多项式 .,为,m,次,对非齐次方程,例1.,的一个特解,.,解: 此题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,例2.,,的通解,.,,解: 此题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3.,,求解定解问题,解: 此题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,对非齐次方程,那么可设特解:,其中,为特征方程的,,k,,重根,(,k,= 0, 1),,上述结论也可推广到高阶方程的情形.,二、,例4.,,的一个特解,,.,解: 此题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,例5.,,的通解,.,,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,,因此设非齐次方程特解为,例6.,解:,(1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设以下高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,。