线性代数证明题I. 设a ,a ,a ,a 是非零的四维列向量，A = (a ,a ,a ,a ), A *为A的伴随矩阵，已知1 2 3 4 1 2 3 4Ax = 0的基础解系为(1,0,2,0)t，证明a , a , a是方程组A * x = 0的基础解系.2342•设A是n阶矩阵，且An = 0，则E - A必是可逆矩阵n3. A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC = E，证明：BCA = E4. 设3级方阵A, B满足2A-iB二B - 4E，证明：A — 2E可逆，并求其逆.5. 设A是一个n级方阵，且R(A) = r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP-1的后n-r 行全为零.6. 设矩阵A ,B ，且m < n, AB二E，证明：A的行向量组线性无关.mxn nxm7. 如果A2 = A,称A为幕等矩阵•设A,B为n阶幕等矩阵，证明：A + B是幕等矩阵的充 要条件是AB二BA二0.&如果对称矩阵A为非奇异，试证：A-1也是对称矩阵9. 设A，B，C都是n阶方阵，且C可逆，C-1 =(C-1B + E)AT , 证明：A可逆且a-1 =(B + C)T。
10. 设 A — 0，其中 k 为正整数，证明：(E ― A)-1 — E + A + A2 + + Ak-1II. 设方阵A满足A2 -A-2E=0，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A + 2E)-112. 试证：对任意方阵A，均有A + At为对称矩阵，A - At为反对称矩阵13. 证明 R( A) — 1的充分必要条件是存在非零列向量a和非零行向量0 t,使A-a0 t14. 设A为列满秩矩阵，AB — C，证明方程BX — 0与CX — 0同解15. 设A为mxn矩阵，证明方程AX — E有解o R(A) — mm16. 向量组A能用向量组B表示，则R(A)〈=R(B)17. 设A ,B分别为m x n ,n x m矩阵，则齐次方程组ABx - 0当m > n时必有非零解18. 设卩—a +a ,卩—a +a ,卩—a+a ,卩—a +a，证明向量组1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1卩1,卩2,卩3,卩4线性相关.19. 向量组a ,a ,a与向量组卩,卩,p等价的充分必要条件为：1 2 3 1 2 3r(a ,a ,a ) = r(p ,p ,p ) = r(a ,a ,a ,p ,卩,p )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 320. 设A为mXn矩阵，B为nxm矩阵，ab为可逆矩阵，且m工n，则b的列向量组线 性无关。
21. V ={r = (x , x，…x )T \x，…,x g R, x + …+ x = 0)，证明 V 是向量空间1 1 2 n 1 n 1 n 122. 设向量卩—a，卩二a -a ,卩二a -a ,……,卩=a -a且向量组1 1 2 2 2 3 3 2 3 r r 1a ,a，…,a线性无关，证明向量组b ,b，…,b线性无关1 2 r 1 2 r23. 设A，B都是n阶矩阵，且AB= 0证明R(A)+ R(B)< n24. 设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，且m >n，证明AB = 025.已知向量组a ,a ,…a中任一向量a.都不是它前面i-1个向量的线性组合，且a丰0，1 2 m i 1证明a ,a ,…a的秩为m.1 2 m26. 设有两个向量组A: a ,a ,…,a ； B :卩=a —a ， p =a —a，…，1 2 r 1 1 2 2 2 3P =a —a，p =a +a，证明向量组A的秩等于向量组B的秩.r—1 r —1 r r r 127. 设有一个含m个向量的向量组a ,a ,…,a(皿三2)，且p =a + a +…+ a，证明向1 2 m 1 2 m量组p-a , p-a ,…，p-a线性无关的充分必要条件是a’,a ,…,a线性无关.1 2 m 1 2 m28. 设向量组A: a ,a ,…,a线性无关，向量P可由向量组A线性表示，而向量P不1 2 m 1 2能由向量组A线性表示.证明向量组a ,a ,…,a , lp +p线性无关(其中i为常数).1 2 m 1 229. 设a ,a ,…a线性无关，p +九a +…+九a，其中九鼻0,证明1 2 s 1 1 2 2 s s ia ,…,a , p, a ,…a线性无关.1 i-1 i+1 s30•已知向量组a ,a ,a线性相关，向量组a ,a ,a线性无关，证明1 2 3 2 3 4(1) a可由a ,a线性表示；1 2 3⑵a不能由a ,a ,a线性表示.4 1 2 3证明：构造如下矩阵C二0、E>n，显然有r(C)二r(AB) + n，对C作如下变换:31. 设 V 是由a = (11,0,0)t ,a = (10,1,1)t 所生成的向量空间，是由b = (2, - 1,3,3)t ,1 1 2 2 1b = (0,1, -1, - 1)t所生成的向量空间，试证V= V .2 1 232. 证明由a = (0,1,1)t, a = (1,0,1)t, a = (11,0)t所生成的向量空间就是R 3.12333. 向量组A: a ,a，…a ； B： P , P，…P ； C： a ,a，…a ,卩，卩，…卩，证明：1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 2 mmax(r(A), r(B)) < r(C) < r(A) + r(B)33.设A, B是同型矩阵，证明R(A + B) < R(A) + R(B).34. 证明n维向量组a ,a ,…,a线性无关的充分必要条件是，任一n维向量都可由1 2 na , a ,…,a线性表示.1 2 n35. 设n阶矩阵A满足A2 = A , E为n阶单位阵，证明R (A ) + R (A — E )二 n36. 设向量组a ,a…,a是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量0不是方程组1 2 rAX=O的解，即AP工0,求证：P, P+a，…，p+a线性无关。
1rmxn nxs37•对于矩阵A ,B ，有r(A) + r(B) — r(AB)nA ]EnJn> r(A) + r(B)故 r(C)二 r(AB) + n > r(A) + r(B)38. 设A , B均为n阶矩阵，且A与E - AB都可逆，证明E -BA可逆.39. 设向量组p — a -a ；p — 2a -a -a ； p — a +a + 3a ；若已知向量组1 1 2 2 2 1 3 3 1 2 3a a a线性无关，问向量组p , p , p是否线性相关，请证明之.1 2 3 1 2 340. 如果A — 2(B +1),证明：当且仅当B2 — I时，A2 — A41•若A是n阶方阵，且AAt二I,|A| = —1,证明A +1] = 0其中I为单位矩阵42.设n为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，§是其导出组Ax=O的一个基1 2 r础解系•证明n , § 1, § 2,…，§ r线性无关.43•设向量组件,叫线性无关，且P = kg + + kgag .证明：若々工0,则向量组p，a, %也线性无关.44. 已知a ,a ,a ,a线性无关，证明：a +a , a +a , a +a , a -a线性无关.1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 145. 设向量a , a ,•••., a线性无关，1〈jWk.1 2 k证明： a +a ，a ，…, a 线性无关.1 j 2 k46. 设a, a , a线性无关，证明a, a + 2a , a + 3a也线性无关.1 2 3 1 1 2 1 347•设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-i.48•设矩阵A、B及A+B都可逆，证明A-1+B-1也可逆，并求其逆阵.49. 证明R(A) = 1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT ,使A = abT。
50. 设 A 为 m x n 矩阵,若 AX = AY ,且 R(A) = n ,则 X = Yy … y )2sx -y )ss证：将mx s矩阵X, Y按列分块为 X = (x x …x ) , Y = (y1 2 s 1则 x - Y = (x - y x - y …1 1 2 2如果 AX = AY 且 R ( A) = n ；即 A( X - Y) = 0,且 R (A) = n ；亦即A( x - y ) = 0,且R (A) = n ,那么根据齐次线性方程组的理论，当R (A) = n时，齐jj次线性方程组AX = 0只有零解,A( x - y ) = 0只有零解,即x — y = 0,j j j j亦即 x = y , j = 1,2,…，s ,故 X = Yjj51. 已知 R(a , a , a )=2, R(a , a , a )=3，证明1 2 3 2 3 4(1) ai能由a2, a3线性表示；(2) a 不能由 a , a , a 线性表示.4 1 2 352. 设向量组B: b，…,b能由向量组A: a，…,a线性表示为1 r 1 s(b，…，b ) = (a，…，a )K ,1 r 1 s其中K为sxr矩阵,且A组线性无关。
证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的 秩 R (K) = r .53. 设3 — a +a + •…+aP1 —a 2 +a3 + …+anS 2 1 3 n 9P —a +a +a + •…+aJ n 12 3 n-1证明向量组a ,冬，* * I 与向量组卩i，卩y ' ' '5卩n等价*。