约分（两课时教案）第1课时 最大公因数（1）教材第60～61页例1、例2，“做一做”及练习十五第1～4题一、教学目标1. 通过列举因数、绘制集合图等活动，使学生理解公因数和最大公因数的概念，能准确找出两个数的所有公因数及最大公因数2. 让学生掌握求两个数最大公因数的基本方法（列举法、筛选法），能根据数的特点灵活选择合适的方法，提升解题技能3. 在探究公因数和最大公因数的过程中，培养学生思维的有序性和条理性，感受数学知识的逻辑性和系统性二、教学重难点重点：理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数最大公因数的基本方法难点：有序列举两个数的因数，避免遗漏或重复，准确提炼公因数及最大公因数三、教学准备多媒体课件（包含例1集合图、例2解题过程）、学习任务单、彩笔四、教学过程（一）复习导入，铺垫基础通过复习因数的概念及求法，为探究公因数做好知识铺垫1. 回顾因数概念：提问“什么是因数？一个数的因数有什么特点？”（引导学生回忆：如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数；一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身）2. 实操练习：“请大家在任务单上写出8和12的所有因数，注意有序列举，不要遗漏。
学生完成后汇报，教师板书：8的因数：1、2、4、812的因数：1、2、3、4、6、123. 导入新课：“我们已经能准确找出一个数的因数，那两个数的因数之间有什么联系呢？今天我们就来研究这个问题——公因数和最大公因数板书课题）（二）探究新知，建立概念以8和12的因数为载体，通过集合图直观呈现公因数，抽象出概念1. 教学例1：认识公因数和最大公因数1. 问题提出：“观察8和12的因数，它们共同拥有的因数有哪些？其中最大的一个是多少？”2. 小组讨论：学生对照自己写出的因数，圈出共同的因数，找出最大的一个，教师巡视指导3. 集合图展示：课件出示两个独立的韦恩图，分别标注“8的因数”和“12的因数”，引导学生将共同的因数1、2、4填入两个圆的重叠部分，并用彩笔突出显示4. 概念提炼：教师结合集合图总结，板书：- 公因数：1、2、4是8和12公有的因数，叫作它们的公因数 最大公因数：其中4是最大的公因数，叫作它们的最大公因数5. 即时巩固：“请大家找出6和9的公因数及最大公因数6的因数：1、2、3、6；9的因数：1、3、9；公因数：1、3；最大公因数：3）2. 教学例2：探究求最大公因数的方法1. 情境呈现：出示例2“怎样求18和27的最大公因数？”2. 自主探究：“请大家用自己的方法找出18和27的最大公因数，把过程写在任务单上。
学生独立尝试，教师鼓励多种方法3. 方法汇报，教师板书： 方法一：列举法18的因数：1、2、3、6、9、1827的因数：1、3、9、27找出公有的因数：1、3、9，其中最大的是9，所以18和27的最大公因数是94. 方法二：筛选法先找出18的因数：1、2、3、6、9、18再从18的因数中筛选出27的因数：1、3、9最大的就是9，所以18和27的最大公因数是95. 方法对比：“这两种方法有什么异同？哪种更简便？”（相同点：都能找出最大公因数；不同点：筛选法先列小数的因数，再筛选，更简洁），引导学生根据数的大小选择方法三）巩固练习，深化理解通过分层练习，强化对公因数、最大公因数概念的理解及求法的掌握1. 基础题：完成教材第61页“做一做”第1～2题第1题：让学生找出每组数的公因数及最大公因数，如“10和15”“14和49”，汇报时说明方法；第2题：用集合图表示每组数的因数及公因数，强化直观认知2. 提升题：“做一做”第3题学生完成后，引导观察每组数的特点及最大公因数：① 4和8（倍数关系）：最大公因数是较小数4；② 12和36（倍数关系）：最大公因数是较小数12；③ 1和7（互质关系）：最大公因数是1；④ 8和9（互质关系）：最大公因数是1。
小结特殊情况：- 当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；- 当两个数只有公因数1时，最大公因数是13. 拓展题：练习十五第4题，让学生找出每个分数分子和分母的最大公因数，为后续“约分”铺垫四）课堂小结，梳理知识提问：“今天我们学习了什么是公因数和最大公因数？求两个数最大公因数有哪些方法？有什么特殊情况？”学生发言后，教师总结：“两个数公有的因数是公因数，最大的那个是最大公因数；求法有列举法、筛选法；倍数关系找小数，互质关系找1五）布置作业完成练习十五第1～4题六、板书设计最大公因数（1）1. 因数列举：8的因数：1、2、4、812的因数：1、2、3、4、6、122. 概念：- 公因数：公有的因数（1、2、4）- 最大公因数：最大的公因数（4）3. 求法（18和27）：- 列举法：18的因数→1、2、3、6、9、18；27的因数→1、3、9、27；最大公因数9- 筛选法：18的因数中找27的因数→1、3、9；最大公因数94. 特殊情况：- 倍数关系：最大公因数是较小数- 互质关系：最大公因数是1第2课时 最大公因数（2）教材第62页例3及练习十五第5～11题一、教学目标1. 通过解决“铺地砖”等实际问题，使学生能运用公因数和最大公因数的知识解决生活中的实际问题，明确“无剩余”“同样大小”的实际意义。
2. 在分析问题、解决问题的过程中，提升学生的审题能力、分析能力和知识应用能力，强化“数学源于生活”的认知3. 培养学生的合作探究意识和抽象概括能力，感受数学知识在实际生活中的应用价值二、教学重难点重点：运用公因数和最大公因数的知识解决“铺地砖”等实际问题难点：将实际问题转化为“求两个数的公因数或最大公因数”的数学问题，理解问题中“无剩余”“最大边长”的数学内涵三、教学准备多媒体课件（包含例3情境图）、长方形纸片（长16cm、宽12cm，模拟贮藏室地面）、不同边长的正方形纸片（1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，模拟地砖）、学习任务单四、教学过程（一）复习回顾，激活知识通过复习最大公因数的求法及特殊情况，为实际应用做好铺垫1. 知识回顾：“上节课我们学习了最大公因数，怎样求两个数的最大公因数？有哪些特殊情况？”（列举法、筛选法；倍数关系找小数，互质关系找1）2. 快速练习：“求出下面每组数的最大公因数：12和18、3和5、8和16、9和10学生口答，说明依据）3. 导入新课：“我们已经掌握了求最大公因数的方法，今天我们就用这个知识解决生活中的实际问题板书课题：最大公因数的应用）（二）探究新知，解决问题以“铺地砖”情境为载体，通过动手操作、合作探究，将实际问题转化为数学问题。
1. 教学例3：铺地砖问题1. 情境呈现：课件出示例3情境图及问题：“贮藏室长16dm，宽12dm如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？”2. 审题指导：“题目中的关键信息是什么？”引导学生提炼：① 正方形地砖，边长是整分米数；② 铺满地面，地砖必须是整块；③ 求“可以选的边长”和“最大边长”3. 转化分析：“‘铺满且地砖是整块’意味着什么？”（正方形地砖的边长必须能同时整除16和12，即地砖边长是16和12的公因数；最大边长就是16和12的最大公因数）4. 动手验证：学生分组用长方形纸片（长16cm、宽12cm）模拟地面，用不同边长的正方形纸片模拟地砖铺一铺，记录“能铺满”和“不能铺满”的边长汇报结果：边长1dm、2dm、4dm的地砖能铺满；边长3dm、5dm的地砖不能铺满5. 计算解答：“通过操作我们找到了可以选的地砖边长，用数学方法怎么验证？”学生独立计算16和12的公因数及最大公因数：16的因数：1、2、4、8、1612的因数：1、2、3、4、6、12公因数：1、2、4；最大公因数：4所以可以选择边长1dm、2dm、4dm的地砖，最大边长是4dm。
教师板书解答过程2. 方法总结“遇到‘用正方形铺满长方形且无剩余’的问题，解题步骤是什么？”师生共同总结：① 找出长方形长和宽的所有因数；② 找出长和宽的公因数（即可以选的正方形边长）；③ 找出最大公因数（即最大边长）三）巩固练习，强化应用通过不同情境的练习，提升学生运用知识解决实际问题的能力1. 基础题：练习十五第5题题目：“有一块长方体木块，长70cm，宽50cm，高45cm如果把它锯成同样大小的正方体木块，不能有剩余，正方体木块的棱长最大是多少厘米？”学生独立解答：求70、50、45的最大公因数（5cm），汇报时说明“棱长是三个数的公因数，最大棱长是最大公因数”2. 提升题：练习十五第8题题目：“男生有48人，女生有36人男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？”引导分析：“每排人数相同且最多”即求48和36的最大公因数（12人）；男生排数：48÷12＝4（排）；女生排数：36÷12＝3（排）3. 拓展题：练习十五第11题题目：“三根小棒分别长12cm、16cm、44cm，要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？”学生解答：求12、16、44的最大公因数（4cm），强化“三个数的最大公因数”的求法。
四）课堂小结，升华认知提问：“今天我们用最大公因数解决了哪些实际问题？解决这类问题的关键是什么？”学生发言后，教师总结：“我们解决了铺地砖、锯正方体、排队等实际问题，关键是要找准问题中的‘公因数’内涵，将实际问题转化为求‘公因数或最大公因数’的数学问题，再运用所学方法解答五）布置作业完成练习十五第5～11题六、板书设计最大公因数（2）例3：贮藏室长16dm，宽12dm，铺整块正方形地砖，求可选边长及最大边长1. 关键转化：地砖边长→16和12的公因数；最大边长→16和12的最大公因数2. 计算过程：16的因数：1、2、4、8、1612的因数：1、2、3、4、6、12公因数：1、2、4；最大公因数：43. 解答：可以选择边长1dm、2dm、4dm的地砖，边长最大是4dm4. 解题步骤：① 找长、宽（或相关数）的因数；② 找公因数；③ 找最大公因数（按需）。