专题09阿氏圆问题解题策略模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．模型解读：如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值；4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值．经典例题【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；②由，即可求出结果；③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；④由，即可求出结果．【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．∵在中，．∴的最小值为；②∵，∴的最小值为；③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．∵在中，．∴的最小值为；④∵，∴的最小值为．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标，（3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可．(1)解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，∴，，解得， 抛物线解析式为：，(2)当，即，解得，，，设直线解析式为，，解得，直线解析式为，设，过点作轴交直线于点，则，，四边形的面积为16， ，解得，或，(3)如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，是抛物线的对称轴， ，，，，，，在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则 ，，，，，，，， ，当三点共线时，取得最小值，最小值为，．则的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【分析】（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．（2）利用（1）中结论计算即可．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）的值为 ；（Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+E'B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明） 通过取格点K、T，使得OH：OD＝2：3，构造相似三角形将E′B转化为E′H ．【分析】（1）求出OE，OB即可解决问题．（2）构造相似三角形把E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．【解答】解：（1）由题意OE＝2，OB＝3，∴＝，故答案为：．（2）如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交于E′，连接BE′，点E′即为所求．故答案为：通过取格点K、T，使得OH：OD＝2：3，构造相似三角形将E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．培优训练一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 ．【分析】在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQ＝PB，则PB+PC＝PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求．【解析】如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．【解析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案为：．3．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF＝PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．【解析】如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．【分析】在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP＝3AP，则3PA+PB＝PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．【解析】如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．5．（2021•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 4 ．【分析】由2AB+AC＝2（AB+）得，再将AB+AE转化成一条线段BP，可证出∠P是定角，从而点P在△PBC的外接圆上运动，当BP为直径时，BP最大解决问题．【解析】∵2AB+AC＝2（AB+），∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+）的最大值，过C作CE⊥AB于E，延长EA到P，使得AP＝AE，∵∠BAC＝60°，∴EA＝，∴AB+＝AB+AP，∵EC＝，PE＝2AE，由勾股定理得：PC＝，∴sinP＝，∴∠P为定值，∵BC＝6是定值，∴点P在△CBP的外接圆上，∵AB+AP＝BP，∴当BP为直径时，AB+AP最大，即BP'，∴sinP'＝sinP＝，解得BP'＝2，∴AB+AP＝2，∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝4，故答案为：4．6．（2020•。
