第三章 随机信号的功率谱估计郑宝玉2008.4.11 现代谱估计功率谱估计空间谱估计ARMA谱估计 (差分模型)最大熵方法 (信息论)Pisarenko谐波分析 (特征值分解)扩展Prony方法 (复指数模型拟合)等价关系波束形成器Capon空间谱MUSIC 子空间方法ESPRIT 广义特征值分解2 内内 容容vv 随机信号的特征随机信号的特征随机信号的特征随机信号的特征vv 经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计vv 参数模型法概述参数模型法概述参数模型法概述参数模型法概述vv 基于基于基于基于ARAR模型的谱估计法模型的谱估计法模型的谱估计法模型的谱估计法vv 最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法最大熵谱估计算法 vv 最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计vv 基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计vv 高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计3 高阶谱估计高阶谱估计Ø研究的必要性研究的必要性Ø高阶统计量高阶统计量Ø高阶谱高阶谱Ø高阶累积量和多谱的性质高阶累积量和多谱的性质Ø三阶相关和双谱及其性质三阶相关和双谱及其性质Ø基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的相位谱估计Ø基于高阶谱的模型参数估计基于高阶谱的模型参数估计Ø多谱的应用多谱的应用 参考:《现代数字信号处理》(184-199；204-205)4 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性v 关于关于模型参数估计问题模型参数估计问题•所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列(如模如模型输出端所观测到的信号型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型来估计图中随机信号模型的参数，的参数，)•与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引入的噪声入的噪声v(n).∑ H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n)5 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性v 基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷• 前述前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称盲相。
即含信号的相位特性，亦称盲相即• 这种模型只适合于高斯随机信号，因为高斯信号仅用这种模型只适合于高斯随机信号，因为高斯信号仅用 二阶统计量二阶统计量(均值和方差均值和方差)就能加以描述就能加以描述6 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性v二阶统计量方法的基本限制二阶统计量方法的基本限制 前面讨论的方法中，一般都假设：前面讨论的方法中，一般都假设：• 信号模型中的系统信号模型中的系统H(z)是最小相位的是最小相位的• 激励信号激励信号u(n)是均值为零，方差为是均值为零，方差为 的高斯白噪声的高斯白噪声• 测量信号测量信号v(n)是均值为零，方差为是均值为零，方差为 的高斯白噪声；的高斯白噪声； 且且v(n)与与信号信号x(n)统计无关，即统计无关，即v(n)不影响信号的谱形状不影响信号的谱形状 故有故有 7 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性v 二阶统计量方法存在的问题二阶统计量方法存在的问题 • 在在许多实际应用许多实际应用( (如地震勘探、水声信号处理、远程通如地震勘探、水声信号处理、远程通 信信) )中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。
中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的• 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数 匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息• 若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点映原信号的非最小相位特点• 当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差8 研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性v 解决问题的方法解决问题的方法 • 从从观测数据中提取相位信息观测数据中提取相位信息• 信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力 因此，必须用高阶谱因此，必须用高阶谱( (高阶统计量高阶统计量) )来分析信号来分析信号9 随机信号的高阶特征随机信号的高阶特征 不同不同ARMA过程具有相同形状的功率谱过程具有相同形状的功率谱, ,即即模型的多重性模型的多重性两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和指数分布两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和指数分布 白色噪声显然是不同的随机过程白色噪声显然是不同的随机过程, ,但它们的功率谱相同但它们的功率谱相同用这样两个白色噪声激励同一个用这样两个白色噪声激励同一个ARMA模型模型, ,产生的两个产生的两个 ARMA过程显然是不同的随机过程过程显然是不同的随机过程, ,但它们的功率谱相但它们的功率谱相同同两个灰度图相同的图像有可能是不同的图像。
两个灰度图相同的图像有可能是不同的图像以上事实说明以上事实说明:要准确地刻画随机信号要准确地刻画随机信号, 仅使用相关函仅使用相关函数数(二阶统计量二阶统计量)是不够的是不够的, 还必须使用更高阶的统计量还必须使用更高阶的统计量三阶和更高阶的统计量统称三阶和更高阶的统计量统称高阶统计量高阶统计量相关函数相关函数： 刻画信号的粗糙像高阶统计量高阶统计量：刻画信号的细节10 高阶统计量v 特征函数与高阶矩特征函数与高阶矩Ø 特征函数特征函数：随机变量：随机变量 x 的特征函数定义为的特征函数定义为或或其中其中 f(x) 是随机变量是随机变量 x 的概率密度函数的概率密度函数Ø 高阶矩高阶矩：对：对(1b)求求k 阶导数，得阶导数，得则则随机变量随机变量x 的的k 阶矩阶矩(即即k 阶原点矩阶原点矩)定义为定义为由于由于k 阶矩由阶矩由 生成，故特征函数生成，故特征函数 为随机变量为随机变量x的矩的矩生成函数生成函数(矩母函数矩母函数)，，又成为第一特征函数又成为第一特征函数11 高阶统计量v 累积量生成函数与高阶累积量累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)Ø累积量生成函数累积量生成函数或或称为累积量生成函数称为累积量生成函数(第二特征函数第二特征函数或或累积量母函数累积量母函数)。
Ø高阶累积量高阶累积量：随机变量：随机变量x x 的的k k 阶累积量阶累积量定义为定义为 即累积量生成函数的即累积量生成函数的k k 阶导数在原点的值阶导数在原点的值12 高阶统计量v累积量生成函数与高阶累积量累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)Ø高阶矩与高阶累积量的关系高阶矩与高阶累积量的关系• 关系关系:(注意注意：：k 阶中心矩定义为阶中心矩定义为 )• 结论结论: －－ 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为 零时零时, 就是二、三阶相关就是二、三阶相关(矩矩) －－四阶以上的累积量不等于相应的中心矩四阶以上的累积量不等于相应的中心矩13 高阶统计量v 累积量的物理意义累积量的物理意义 Ø高斯随机变量的高阶矩与累积量高斯随机变量的高阶矩与累积量· 高斯随机变量可用二阶矩完全描述实际上高斯随机变量可用二阶矩完全描述实际上,零均值高斯零均值高斯 随机变量的随机变量的k 阶矩阶矩(或零均值的或零均值的k 阶中心矩阶中心矩)为为· 高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累 积量为零积量为零, 它不提供新的信息。
即它不提供新的信息即可见，其高阶矩仍然取决于二阶矩可见，其高阶矩仍然取决于二阶矩 · 若若任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩, 则累则累积积 量就是它们高阶矩的差故有如下累积量的物理意义量就是它们高阶矩的差故有如下累积量的物理意义14 高阶统计量v 累积量的物理意义累积量的物理意义 一一阶累积量－数学期望阶累积量－数学期望:描述了概率分布的中心描述了概率分布的中心 二阶累积量－方差：二阶累积量－方差： 描述了概率分布的离散程度描述了概率分布的离散程度 三阶累积量－三阶矩：三阶累积量－三阶矩： 描述了概率分布的不对称程度描述了概率分布的不对称程度累积量累积量衡量衡量任意随机变量任意随机变量偏离偏离正态正态(高斯高斯)分布的分布的程度程度Ø物理意义物理意义Ø偏态与峰态偏态与峰态 将三阶矩除以均方差的三次方将三阶矩除以均方差的三次方 ,得偏态系数或得偏态系数或偏态偏态：： 将四阶累积量除以均方差的四次方将四阶累积量除以均方差的四次方 ,得得峰态峰态:15 高阶谱高阶谱功率谱的缺点功率谱的缺点：由功率谱只能恢复 ,不可能恢复基于自相关函数的辨识系统，无法辨识非最小相位系统 “模型的多重性” “自相关函数等价性” “功率谱等价性”16 高阶谱（续）高阶谱（续） 含义含义：高阶谱高阶谱(Higher-order spectrum),又称多谱又称多谱(polyspectrum), 是信号多个频率的能量谱。
是信号多个频率的能量谱 定义定义：高阶谱定义为：高阶谱定义为k阶累积量的阶累积量的k-1维维DFT，，即即 条件： “绝对可求和”通常将通常将 的累积量谱称为的累积量谱称为高阶谱高阶谱或或多谱多谱常用常用:常用的高阶谱是三阶谱常用的高阶谱是三阶谱(双谱双谱)和四阶谱和四阶谱(三谱三谱) 17 高阶谱（续）高阶谱（续）二阶谱二阶谱即为即为功率谱功率谱，，它是单个频率的谱它是单个频率的谱三阶谱三阶谱为为双谱双谱(bispectrum)，，即两个频率的谱即两个频率的谱四阶谱四阶谱为为三谱三谱(trispectrum)，，即即三个频率的谱三个频率的谱18 高阶谱（续）高阶谱（续）功率谱功率谱：双谱：三谱：（（1 1））双谱估计的直接方法双谱估计的直接方法：19 高阶谱（续）高阶谱（续）（（2））双谱估计的间接方法双谱估计的间接方法：2D-FT峰度峰度归一化峰度归一化峰度高斯信号亚高斯信号超高斯信号20 高阶谱（续）高阶谱（续）归零化峰度高斯信号： 零峰度亚高斯信号: 负峰度超高斯信号： 正峰度21 高阶累积量和多谱的性质v 主要性质主要性质 (8个性质) 最重要的性质如下最重要的性质如下: Ø 和和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。
的累积量等于累积量之和，累积量因此得名Ø 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号 的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积Ø信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h(n)，， 即用信号模型的输出信号即用信号模型的输出信号(即观测到的信号即观测到的信号)y(n)的高的高 阶累积量就能决定阶累积量就能决定h(n) 22 高阶累积量和多谱的性质v 主要性质主要性质(续续)Ø 确定性序列的多谱确定性序列的多谱: 确定性序列确定性序列{h(1),…,h(k)}的的k阶累量阶累量其其 k 阶谱为阶谱为式中23 高阶累积量和多谱的性质v用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因 用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因：用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因：Ø 理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响，理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响， 高阶矩不能做到这一点高阶矩不能做到这一点。
Ø高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数, 其谱是多维其谱是多维 平坦的平坦的, 但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点；但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点；Ø累积量问题的解具有唯一性累积量问题的解具有唯一性(因特征函数唯一地确定概因特征函数唯一地确定概 率密度函数率密度函数)，但矩问题不具有唯一性；，但矩问题不具有唯一性；Ø两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积 量之和，这一结论对高阶矩不成立量之和，这一结论对高阶矩不成立 24 三阶相关与双谱及其性质• 三阶相关：三阶相关： 设设x(n)为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为•双谱双谱 Rx(m1,m2)的的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为v 性质性质• 三阶相关函数的对称性三阶相关函数的对称性• 双谱的对称性、周期性和共轭性双谱的对称性、周期性和共轭性v 定义定义25 三阶相关与双谱及其性质v双谱中的相位信息双谱中的相位信息其中这表明这表明双谱包含信号模型的相位信息 ；而功率谱 不含相位信息 。
设设则有则有且有v确定性序列的双谱确定性序列的双谱 设设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示为表示有限长确定性序列，其双谱可表示为26 基于高阶谱的相位谱估计v自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到信自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到信号的相位谱号的相位谱v实实际际应应用用中中，，基基于于三三阶阶累累积积量量的的双双谱谱和和基基于于四四阶阶累累积积量量的的三谱已经够用三谱已经够用27 基于高阶谱的模型参数估计v基本原理基本原理 • 与与AR功率谱估计功率谱估计(即单谱估计即单谱估计)相类似，相类似，AR过程的多谱过程的多谱 估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多 谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量说明如下：谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量说明如下：• 设用设用p 个值个值x(n)作线性预测，即作线性预测，即则预测误差则预测误差其其多谱为多谱为式中式中28 基于高阶谱的模型参数估计v基本原理基本原理 ( (续续) ) • 如果选择系数如果选择系数ak ，，使得使得 式中式中 为一常量为一常量，，则有则有 上式表明：上式表明：x(n)是由是由的的非正态白噪声激励参数为非正态白噪声激励参数为{ak}(k=1,…,p)的的AR过程产生的。
过程产生的结论结论：预测误差的多谱的平坦度可用作：预测误差的多谱的平坦度可用作AR过程多谱与实过程多谱与实际多谱接近程度的一种度量际多谱接近程度的一种度量29 基于高阶谱的模型参数估计v 不稳定问题及其解决方法不稳定问题及其解决方法 • 不稳定问题不稳定问题：用单谱(功率谱)和多谱估计AR模型参数时 都存在稳定性问题• 解决办法解决办法 －当用单谱估计AR模型时，只要把不稳定极点替换为其 倒数极点(反演技术)即可，这是因为 －当用多谱估计AR模型时,不能作这种替换. 以双谱为例而故30 多谱的应用v 多谱应用多谱应用: 用于信息学、海洋学、地球物理学、生物医学、用于信息学、海洋学、地球物理学、生物医学、机械学和经济时间序列分析等学科领域机械学和经济时间序列分析等学科领域v对信号处理而言对信号处理而言，，多谱可应用于自适应信号处理、阵列信多谱可应用于自适应信号处理、阵列信号处理和多维信号处理号处理和多维信号处理v信号处理中多谱的作用信号处理中多谱的作用• 从从正态信号中提取信息正态信号中提取信息• 检测和定性分析系统的非线性特征检测和定性分析系统的非线性特征• 从有色正态噪声中提取信号（如水下信号、空间信号等）从有色正态噪声中提取信号（如水下信号、空间信号等）• 提取非正态信号的相位信息提取非正态信号的相位信息31 双谱在目标识别中的应用双谱在目标识别中的应用特性：特性：（（1 1）保留了幅值特性）保留了幅值特性（（2 2）保留了相位特性）保留了相位特性（（3 3）平移不变性）平移不变性 应用应用: :（1）飞机目标）飞机目标——机动飞行机动飞行 希望目标特性于飞机飞行姿态无关（平移不变性）希望目标特性于飞机飞行姿态无关（平移不变性） （（2）飞机的电磁波辐射合散射特性）飞机的电磁波辐射合散射特性 天线罩、发动机、出去口、蒙皮材料（天线罩、发动机、出去口、蒙皮材料（“相位天线相位天线”）） （（3）飞机尺寸（机长、翼宽）（）飞机尺寸（机长、翼宽）（“幅值特性幅值特性”））32 双谱在目标识别中的应用（续）双谱在目标识别中的应用（续） 积分双谱（二维积分双谱（二维 一维一维）（（1 1））径向积分双谱径向积分双谱(RIB:radically integrated bispectrum)（（2 2））轴向积分双谱轴向积分双谱(AIB:axisially integrated bispectrum)（（3））圆周积分双谱圆周积分双谱(CIB:circulaly integrated bispectrum)33 双谱在目标识别中的应用（续）双谱在目标识别中的应用（续）特点特点：被选择的积分路径上所有双谱的总作用被选择的积分路径上所有双谱的总作用“强强”缺点缺点：“平凡双谱平凡双谱”合合“交叉项交叉项”不可避免不可避免 选择双谱选择双谱：Fisher信息，类可分度信息，类可分度34 双谱在目标识别中的应用（续）双谱在目标识别中的应用（续）选择双谱的优点选择双谱的优点：只选择那些对分类作用最强的双谱作为特征向量。
只选择那些对分类作用最强的双谱作为特征向量因此，这种方法可避免积分双谱方法共有的平凡因此，这种方法可避免积分双谱方法共有的平凡双谱合交叉项等缺陷双谱合交叉项等缺陷。