机器人学导论机器人学导论( (第第三、四三、四章）章）新疆大学机械工程学院新疆大学机械工程学院 第三章 操作臂运动学v操作臂运动学研究的是手臂各连杆间的位移关系，速度关系和加速度关系 本章只讨论位移关系PUMA560机器人 3.1 概述v什么是操作臂运动学？ 操作臂运动学研究操作臂的运动特性，而不考虑使操作臂产生运动时施加的力v例如： 知道操作臂的连杆长度和关节转角，怎么求它的位姿？v方法在操作臂运动学中，将要研究操作臂的位置、速度、加速度以及位置变量的所有高阶导数(对于时间或其他变量)因此，操作臂运动学涉及所有与运动有关的几何参数和时间参数 v正运动学v知道操作臂的关节转角，去确定操作臂末端执行器的位姿 3.2连杆描述v 操作臂可以看成由一系列刚体通过关节连接而成的一个运动链，我们将这些刚体称为连杆通过关节将两个相邻的连杆连接起来 3.2连杆描述v当两个刚体之间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，连接相邻两个刚体的运动副称为低副低副图3-1所示为六种常用的低副关节l关节类型（低副）1.转动副2.移动副3.圆柱副4.平面副5.螺旋副6.球面副 3.2连杆描述v在进行操作臂的结构设计时，通常优先选择仅具有一个自由度的关节作为连杆的连接方式。
大部分操作臂中包括转动关节或移动关节在极少数情况下，采用具有n个自由度的关节，这种关节可以看成是用n个单自由度的关节与n-1个长度为0的连杆连接而成的v关节的行为能够用单一参数来描述：对于移动关节是关节转角，对于移动关节是位移 3.2连杆描述v 从操作臂的固定基座开始为连杆进行编号，可以称固定基座为连杆0第一个可动连杆为连杆1，以此类推，操作臂最末端的连杆为连杆n 3.2连杆描述v在机器人运动学中，连杆被看作是定义两个相邻关节轴之间关系的刚体一个连杆的运动参数是由连杆两端关节轴的相对关系决定的，可以用两个参数描述这种关系:连杆的长度a连杆转角α 3.2连杆描述v在上页图中，关节轴i一1和关节轴i之间公垂线的长度为ai-1,即为连杆长度 连杆转角:假设作一个平面，并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直，然后把关节轴i一1和关节轴i投影到该平面上，在平面内轴i-1按照右手法则绕ai-1转向轴i，测量两轴线之间的夹角用转角ai-1定义连杆i一1的扭转角 3.3关于连杆连接的描述v相邻两个连杆之间有一个公共的关节轴沿两个相邻连杆公共轴线方向的距离可以用一个参数描述，该参数称为连杆偏距在关节轴i上的连杆偏距记为di。
用另一个参数描述两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角，该参数称为关节角，记为θi v即连杆偏距di连杆偏距的表示方法如图所示当关节i为移动关节时，连杆偏距是一个变量描述相邻两连杆连接关系的第二个参数是ai-1的延长线和ai之间绕关节轴1旋转所形成的夹角，即关节角θi，如图所示 3.4、连杆参数和连杆坐标系连杆参数和连杆坐标系(续续)首、末连杆 v连杆参数v机器人的每个连杆都可以用四个运动学参数来描述，其中两个参数用于描述连杆本身，另外两个参数用于描述连杆之间的连接关系通常，对于转动关节， 为关节变量，其他三个连杆参数是固定不变的;对于移动关节， 为关节变量，其他三个连杆参数是固定不变的这种用连杆参数描述机构运动关系的规则称为Denavit-Hartenberg参数 3.4、连杆参数和连杆坐标系连杆参数和连杆坐标系(续续)三、连杆坐标系 3.4、连杆参数和连杆坐标系连杆参数和连杆坐标系(续续)首、末连杆 3.4、连杆参数和连杆坐标系连杆参数和连杆坐标系(续续)中间连杆 3.4、连杆参数和连杆坐标系连杆参数和连杆坐标系(续续)连杆坐标系与连杆参数间的关系 v需要注意的是，连杆坐标系的规定不是唯一的，总体上说建立坐标系应该做到v“瞻前顾后，模型最简” 3.4、连杆参数和连杆坐标系连杆参数和连杆坐标系(续续)连接基座连接基座连连接接手手爪爪 3.5、连杆变换和运动学方程连杆变换和运动学方程 3.2连杆变换和运动学方程连杆变换和运动学方程相对于动相对于动坐标系而坐标系而言，遵循言，遵循“从左到从左到右右”的原的原则。
则 3.5 连杆变换和运动学方程连杆变换和运动学方程(续续) D-H坐标系举例 例1.下图所示为一个平面三杆操作臂因为三个关节均为转动关节，因此有时称该操作臂为RRR(或3R)机构右图为连杆坐标系的布局 D-H坐标系举例 D-H坐标系举例 v下面举例 求 一、建立D-H坐标系 X X1 1Z Z1 1Z Z2 2X X2 2Z Z3 3X X3 3 X X1 1Z Z1 1Z Z2 2X X2 2Z Z3 3X X3 3二、列写D-H参数表 三、写出连杆变换矩阵 四、写出运动方程（求出 ） 3.4、PUMA560机器人运动学方程机器人运动学方程 3.4 PUMA560机器人运动方程 PUMA560变换矩阵 将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵什么是机器人运动学正解？什么是机器人运动学反解 第四章 操作臂逆运动学v在上一章中讨论了已知操作臂的关节角，计算工具坐标系相对于用户工作台坐标系的位置和姿态的问题在本章中，将研究难度更大的运动学逆问题:已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿态，如何计算一系列满足期望要求的关节角?v第3章重点讨论操作臂的运动学正问题，而本章重点讨论操作臂的运动学逆问题。
运动学逆问题§多解性，剔除多余解原则v根据关节运动空间合适的解v选择一个与前一采样时间最接近的解v根据避障要求得选择合适的解v逐级剔除多余解§可解性v所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大v如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解 运动学反解运动学反解1）解的存在性和工作空间 （灵活工作空间，可达工作空间） 通常将反解存在的区域称为机器人的工作空间当操作臂的自由度小于6时．其灵活空间的体积为零．不能在三维空间内获得一般的目标的位姿2）解的唯一性和最优解 机器人操作臂运动学反解的数目决定于关节数目、连杆参数和关节变量的活动范围在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程’的准则来择优、即使每个关节的移动量为最小由于工业机器人前面三个连杆的尺寸较大，后面三个较小故应加权处理，遵循“多移动小关节、少移动大关节”的原则 v3）可解性（封闭解，数值解）v所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度机构都是可解的.(数值解)v封闭解存在的两充分条件：1）三个相邻关节轴交于一点2）三个相邻关节轴相互平行 三、求解方法v操作臂运动学反解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、在进行反解时总是力求得到封闭解。
因为封闭解的计算速度快，效率高，便于实时控制而数值法不具有些特点为v操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到：代数解和几何解 代数解法与几何解法v代数解法v仍以第三章所介绍的三连杆平面操作臂为例，其坐标和连杆参数如下 代数解法v按第三章的方法，应用这些连杆参数可以求得这个机械臂的运动学方程： v为了集中讨论逆运动学问题，我们假设腕部坐标系相对于基坐标系的变换，即 已经完成这个操作臂通过三个量x,y和φ很容易确定这些目标点如下给出的 就确定了目标点的位姿，这个变换矩阵如下 v令 和 相等，可以求得四个非线性方程，进而求出θ1，θ2和θ3： v将 和 同时平方，然后相加，得到v解得：v上式有解的条件是上式右边的值必须在-1和1之间 vS2的表达式为v最后利用2幅角反正切公式计算θ2，得 v注意如果x=y=0,则是（4-27）不确定，此时θ1可取任意值v最后，由式（4-8）（4-9）能够求出θ1 ，θ2 ，θ3的和：v由于θ1 ，θ2 已知，从而可以解出θ3v总之，用代数方法求解运动学方程是求解操作臂的基本方法之一。
几何解v在几何方法中，为求出操作臂的解，须将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数用这种方法在求解操作臂时（特别是α1=0或±90°）是相当容易的然后应用平面几何方法可以求出关节角度 应用余弦定理可得讨论：①为了保证解存在，目标点(x,y)应满足②在满足解存在的前提下，有两个解 为了求出,首先计算出和由图易得， 几何解法 其中当时取“+”号 当时取“－”号 可由解出关节角 PUMA560机器人运动学反解 PUMA560机器人运动学反解 PUMA560机器人运动学反解 3.8 关节空间和操作空间vn个自由度的操作臂的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量，记为q所有的关节矢量构成的空间称为关节空间关节空间v末端操作手的位姿x是在直角坐标空间中描述的，因此，称该空间为操作空间操作空间或作业定向空间作业定向空间v机器人各关节驱动器的位置统称为驱动矢量s，由这些矢量组成的空间称为驱动空间驱动空间 例：描述第三章中如下图所示的三连杆操作臂 的子空间已知 的子空间为：式中，x,y给出了腕关节的位置，φ给出了连杆末端的姿态当x,y可以任意取值时就得到了子空间。
3.9坐标系的标准命名v为了规范起见，有必要给机器人和工作空间专门命名和确定专门的“标准”坐标系图3-27所示为一典型的情况，机器人抓持某种工具，并把工具末端移动到操作者指定的位置图3-27所示的五个坐标系就是需要进行命名的坐标系基坐标系{B}工作台坐标系{S}腕部坐标系{W}工具坐标系{T}目标坐标系{G} v工具的定位v机器人的首要功能之一是能够计算它所夹持的工具(或未夹持工具)相对于规范坐标系的位姿，也就是说需要计算工具坐标系{T}相对于工作台坐标系{S}的变换矩阵只要通过运动学方程计算出，就可以应用第2章所述的笛卡儿变换计算{T}相对于{S}的变换矩阵求解一个简单的变换方程，得出v方程(3-18 )在某些机器人系统中称为WHERE函数，用它可计算手臂的位置对于图3-28中情况，WHERE的输出是轴销相对于工作台顶角处的位姿。