几何定值和极值1. 几何定值问题(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了探 求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对， 定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题2. 几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小 问题；角的最大最小问题等例题分析】例1.已知AABC的两边的中点分别为M、N,P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E,求证:AD AE~D^ + ~EB为定值分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到MAD AE 0 AM时，D点将与A点重合，而A M = MB，于是应+ ~eb =走+ M = 0 + 1 = 1，于是转入—般证明证明：连结 APAESSS-S二 AAEC :=AAEP=AAECAAEPEBSSS-SABECABEPABECABEPAESADS即=AAPC同理•=AAPBEBSDCSABPCABPCAEADSSS -S + = —NAPC + —NAPB = ―AABC ABPCEB DC S S SABPC ABPC ABPC••• S = - BC- h, S = - BC丄hAABC 2 ABPC 2 2:.S = 2SAABC ABPCAE AD S:. + = ABPC = 1EB DC SABPC例2•两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B，交另一圆于A'、B，AB 与A' B交于点C，求证：ZC为定值。
分析：设两圆为OO. o O，现从运动极端分析，因为直线AA'与BB都是以p为固定点运动的当AA' 与BB重合时，便成了左图的情况，而AC和A' C分别成了两圆的切线且PQ^AAX BB') ,QA、QA分别为直径容易求得 ZC = 180°—ZAQA'= ZQAP + ZQA' P =2(ZQOP + ZQO'P)这就是所求的定值证明：如右图，连结PQ、BQ、A'Q则有ZC = ZPB' A'-ZPBA=180O-ZPQA'-ZPBA = ZQA' P + ZQPA'-ZPBAZQA' P + ZQBA -ZPBA = ZQA' P + ZQBP=1 (ZQOP + ZQO' P)为定值例3.在定角X0Y的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与0X相交，靠近0点的交点为A，O与 OY 相交，分析：先探求定值，根据特殊化求定值，一般证明的原则，先看图(2)，如果以角平分线上任意一点 P 为圆 心，以 OP为半径作圆，此时，A点与O点重合，/APB = ZOPB••• ZPOB = ZPBO = 1ZXOY2・•・ZAPB = 180O-ZXOY为定值证明：如图⑴，作PM1OX于M, PN1OY于N• AOPM 仝 AOPN(AAS) ・ PM = PN又PA = PB,・ RtAPMA = RtAPNB :.ZPAM = ZPBN :. 0、B、P、A四点共圆・ ZAPB = 180O-ZXOY为定值例4.已知E、F分别是四边形A BCD的AB、CD边上的中点 求证：EF < _ (AD + BC)分析：本题即证EF的最大值为2( AD + BC，因此可先考虑特殊情况，以找出等号成立的条件，再证 一般情况。
证明：(1)当四边形中 AD//BC 时，如左图I EF是梯形ABCD的中位线・•・ EF = 1(AD + BC)(2)当AD不平行 BC时，如右图连结A C，取 AC的中点G，再连结EG、FG在 AACD 中，GF = 1AD在 AABC 中，EG = 1 BC・ EG + GF = 1( AD + BC)又• 在 AEFG 中，EF < FG + GE:.EF < 1( AD + BC)综合⑴(2)，得ef・2(ad+BC【考点解析】例1•如图，AD是0的直径，B是AD延长线上一点，BE 切O0于点E, AC^BE交BE延长线于点C， 若 ED = DG，弦 eg 交 AD 于点 F求证：CE = FG证明：连结 AE、ED• AD是©O直径.ZAED = 90AC1BC.Z3 + Z4 = 90•BC切OO 于点E.Z2 = Z3・Z1 = Z4•ED = DG, AD是OO直径B.EF1AD, EF = FG-EF1AD, EC1AC, Z1 = Z4EC = EFCE = FG点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平 分线的性质等知识。
例2. 如图，在AABC中，"BC = 90 o是A B上一点，以0为圆心，0B为半径的半圆与AC切于 点D,与AB交于点E，若AD = 2，AE = 1，求tg/ADE的值和四边形BCDE的面积分析：求tg/ADE的值，需要用转化的思想，因为AADE不是直角三角形，所以要转化到直角三角形 中解决问题因为"DE = ZDBA，所以可以把问题转化到RtADBE中解决问题求四边形可以用 割补的方法，把四边形分割成RtADBE和等腰ADCB两个三角形分别求解解：连结BD，过D点作DF丄BC于点F•••半径OB丄BC于点B・•・BC切OO于点B• AC切OO 于点D・ CD = CB• AC切OO于点D, BE是直径・ /1 = /2 ,/BDE = 90/. tgZ2 =DEBD••• Z1 =Z2, ZA = ZA, AD = 2, AE = 1・•・NADE〜AABDDE = AE = 1・ tgZADE = tgZ 2ED = 1BD_ 2设 CD = CB = x(x > 0)又得AD2 = AE - ABAB =AD 2"AE• ZABC = 90AB2 + BC2 = AC2 即 42 + x2 = (2 + x)2 ・ BC = x = 3・ DF丄BC, AB丄BC・ DF / / AB・ CF:FB = CD:AD = 3:2Z3=Z2tgZ3=BE = 1DF_ 2・ S = - BC - DF = - x 3 x12 = 3.6ABCD 2 2 5£ 12又BD = V5BF = 6 <5 ED = - BD = - -v'55 2 5[ [ A 2・ S = BD - ED = — x 5 x 5 = 18 abde 2 2 5 5・ S = 5.4（平方单位）四边形BCDE点评：本题主要运用了转化的思想，把求tgZADE转化到了 RtADBE中来解决。
考査了相似三角形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识模拟试题】一. 几何定值问题1. 求证：正三角形一点到三边距离之和为定值2. 在正方形A BCD的外接圆的A D上任取一点P,则(PC + PA)： PB为定值CB3.在正方形A BCD,以A点为顶点作ZEAF = 45且AEAC H ZFAC ,设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于E、F,自E、F分别作正方形对角线AC的垂线，垂足为P、Q求证：过B、P、Q 所作圆的圆心在 BC 上4•已知 CD是半径为R的0的直径，AB是动弦, AB与CD相交于E,且成45角，求证：AE 2 + BE 2为定值D二. 几何极值问题5.在AABC中，D是AB的中点, AADE与ABDF的面积之和E、F分别是AC、BC上的点，试证明ADEF的面积不超过的周长6.如图，AABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且Z1= Z2 = Z3，如果NABC. AEBD、AADC依次是m、m］、m2 ，证明：7.已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延长线与CB的延长线相交于Q,问P点在什 么位置时，使得AP + BQ的值最小？8•设AB是0的动切线，与通过圆心0而互相垂直的两直线相交于A、B,。
0的半径为r,求0A +0B的最小值疑难解答】A. 教师自己设计问题:1 . 本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题？2 . 解答题的 8 个题各属于几何定值和极值的哪种类型？它们的解题思路是什么？B. 对问题的解答：1. 本周的几何定值和极值问题综合性较强,而且一般都在解答题中出现,选择题和填空题出现极少,因 此本周的模拟试题都是解答题2. 答：解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题；第3题是几何定值中的定形问题； 第5到第8题是几何极值问题下面就这8个题的解题思路分别作以下的说明第1题：已知P为正NABC任意一点，它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD,求证：PD + PE + PF 为定值分析:点P可以在三角形任意运动，当P点运动到正三角形的一个顶点时，显然就是正三角形的高，因此， PD + PE + PF 必取定值，这个定值，就是NABC的高h证明：连结 PA、PB、PC 显然有：S = S + S + SAABC APAB APBC APAC1BC - h = 1 AB - PD + - BC - PE + - AC - PF 2 2 2 2••• AB = BC = CA・•・ PD + PE + PF = hB E C■<2 ABABC第2题：分析：用运动法令P与D重合，则(PC + PA)： PB变为(DA+ DC)： DB,显然其定值为。
由于图中直角比较多，所以可做垂线构造相似形证明证明：由 A 引 AE1PB, • ZAPC = ZAEB = 9°且 ZABE = ZACP・ AABE^AACPPA PC AC・ = = (1)AE BE AB• ZAPB = ZACB = 45ZAEP = 90・AE = PE,代入⑴式得：PA + PC = PA + PC = AC PE + BE PB AB ・(PA + PC): PB为定值第3题：本题属于定形问题，要证B、P、Q三点所确定的圆的圆心在BC 上，若命题正确，则B点就是半 径的端点，且AB=BC，AB就是圆的切线，APQ是割线，那么必有AB2 = AP- AQ，证明即可 证明：如图，• ZBAE = ZCAF = 45O-ZEAC又• ZB = ZAQF = RtZ兰=竺⑴AQ AFAP AE得 = AD AF同理 AAEPsAAFD⑵由⑴⑵屁=APAD又• AD = ABAABEsAAQFAB2 = AP - AQ•- AB是过B、P、Q三点所作圆的切线，BC过切点B垂直于AB,它必通过圆心，也就是过B、P、Q所作 圆的圆心在 BC 边上第4题：这是定值问题，既然AB是。
0的动弦，而且与0的定直径CD保持夹角为45°，则可把这些动。