第七章 线性变换7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取 对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美 ---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞 数缺形时少知觉，形少数时难入微 ---华罗庚（1910－1985）7.1 线性映射一、内容分布7.1.1 线性映射的定义、例.7.1.2 线性变换的象与核. 二、 教学目的:1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核． 7.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间.定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2）例1 对于 的每一向量 定义σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影.根 据射影的性质， 是 到 的一个线性 映射. 例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空间的 每一向量 规定： 是一个m×1矩阵，即是空间 的一个向量， σ是 到 的一个线性映射.例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W 的一个线性映射，叫做零映射. 例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数 k，对于任意 定义 容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一 个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映 射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射. 例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定容易验证，σ是 到F的一个线性映射，这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性 型. 例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身的一个线性映射. 例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一 规定仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射. 7.1.2 7.1.2 线性变换的象与核线性变换的象与核定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在σ之下的象. (2) 设 那么 叫做 在σ 之下的原象.定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间 在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间. 特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个 子空间，叫做σ的象, 记为 即另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，记为 即定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么 (i) σ是满射 (ii) σ是单射 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量. 反过来设ker(σ) = {0}.如果那么 从而所以 即σ是单射.如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射.建议同学给出证明. 7.2 线性变换的运算 一、内容分布 7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式 二、 教学目的: 掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的 多项式. 三、 重点难点: 会做运算. 7.2.1 加法和数乘令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个 线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的 集合，设 定义:加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换. 可以证明: 和 都是V 的一个线性变换. 令 ，那么对于任意 和任意 证明 所以 是V的一个线性变换 令 ，那么对于任意 和任意 所以kσ是V的一个线性变换. 线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对 于任意 ,以下等式成立: (1) (2) 令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然 具有以下性质：对任意 有： (3)设 σ的负变换－σ指的是V到V的映射容易验证，－σ也是V的线性变换，并且 （4）线性变换的数乘满足下列算律：这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间. 7.2.27.2.2线性变换的积线性变换的积 设 容易证明合成映射 也是V上的线 性变换，即 我们也把合成映射 叫 做σ与τ的积，并且简记作στ 。
除上面的性质外， 还有： 对于任意 成立证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地 验证设 我们有因而（9）成立 7.2.3 7.2.3 线性变换的多项式线性变换的多项式 线性变换的乘法满足结合律： 对于任意 都有 因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂 这里n是正整数我们再定义 这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换这 样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义 进一步，设 是F上一个多项式，而 以σ代替x，以 代替 ，得到V的一个线性变换 这个线性变换叫做当 时f (x)的值，并且 记作 （1）因为对于任意我们也可将 简记作 ，这时可以写（2）带入法：如果 并且 那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有 7.3 7.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 一、内容分布7.3.1 线性变换的矩阵7.3.2 坐标变换7.3.3 矩阵唯一确定线性变换7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵 二、教学目的:1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n 阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换． 2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐 标．3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另 一个基的矩阵。
三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵7.3.1 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一 个线性变换，取定V的一个基 令 ………………………………………设 N 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 的 矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式: (1) 7.3.2 7.3.2 坐标变换坐标变换设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 而 σ(ξ)的坐标是 问: 和 之间有什么关系? 设因为σ是线性变换，所以 （2）将（1）代入（2）得 最后，等式表明， 的坐标所组成 的列是 综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 的矩阵是 如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 ， 而σ(ξ)的坐标是 ， 那么例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单 位向量 作为 的基.令σ是将 的每一向量旋 转角θ的一个旋转. σ是 的一个线性变换.我们有 所以σ关于基 的矩阵是设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么 7.3.3 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换 引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个基，那么对于V 中任意 n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变 换σ，使得:证 设 是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映 射σ：我们证明，σ是V的一个线性变换。
设那么 于是 设 那么 这就证明了σ是V的一个线性变换线性变换σ显然 满足定理所要求的条件：如果τ是V的一个线性变换，且 那么对于任意从而 ■定理7.3.3 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间，是V 的一个基，对于V 的每一个线 性变换σ，令σ关于基 的矩阵A与 它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L（V）到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一 个双射，并且如果 ,而 ， 则(3)(4) 证 设线性变换σ关于基 的矩阵是A那么 是 的一个映射是F上任意一个n阶矩阵令 由引理7.3.2，存在唯一的 使 反过来，设显然σ关于基 的矩阵就是A. 这就证 明了如。