第6章船舶运动控制系统建模应用6.1引言数学模型化(mathematical modelling)是用数学语言(微分方程式)描述实际过程动态 特性的方法在船舶运动控制领域，建立船舶运动数学模型大体上有两个目的：一个目 的是建立船舶操纵模拟器(ship manoeuvring simulator)，为研究闭环系统性能提供一个基 本的仿真平台；另一个目的是直接为设计船舶运动控制器服务船舶运动数学模型主要 可分为非线性数学模型和线性数学模型，前者用于船舶操纵模拟器设计和神经网络控制 器、模糊控制器等非线性控制器的训练和优化，后者则用于简化的闭环性能仿真研究和 线性控制器(PID, LQ, LQG, H膜棒控制器)的设计船舶的实际运动异常复杂，在一般情况下具有6个自由度在附体坐标系内考察， 这种运动包括跟随3个附体坐标轴的移动及围绕3个附体坐标轴的转动，前者以前进速 度(surge velocity) 〃、横漂速度(sway velocity) u、起伏速度(heave velocity) w 表述，后者以 艏摇角速度(yaw rate) r、横摇角速度(rolling rate) p及纵摇角速度(pitching rate) q表述；在 惯性坐标系内考察，船舶运动可以用它的3个空间位置x ,j ,z (或3个空间运动速度 . .. 0 0 0x ,j , z )和3个姿态角即方位角(heading angle) W、横倾角(rolling angle)中、纵倾角0 0 0 —. •(pitching angle)。
或3个角速度W,(PQ )来描述，(W,中,)称为欧拉角［4］(见图6.1.1) 显然［u,u, w］T和［x0, J0, z0］T以及［p,q,r］t和叩,(p,O'］t之间有确定关系［4］但这并不等于 说，我们要把这6个自由度上的运动全部加以考虑数学模型是实际系统的简化，如何 简化就有很大学问太复杂和精细的模型可能包含难于估计的参数，也不便于分析过 于简单的模型不能描述系统的重要性能这就需要我们建模时在复杂和简单之间做合理 的折中对于船舶运动控制来说，建立一个复杂程度适宜、精度满足研究要求的数学模 型是至关重要的图6.1.1的坐标定义如下：Xo*Z0是惯性坐标系(大地参考坐标系)，口为起始 位置，OX0指向正北，OY0指向正东，OZ°指向地心；o- xyz是附体坐标系，口为船首 尾之间连线的中点，ox沿船中线指向船首，oy指向右舷，oz指向地心；航向角W以正 北为零度，沿顺时针方向取0〜360舵角5以右舵为正对于大多数船舶运动及其控 制问题而言，可以忽略起伏运动、纵摇运动及横摇运动，而只需讨论前进运动、横漂运 动和艏摇运动，这样就简化成一种只有3个自由度的平面运动问题图6.1.2给出图6.1.1 经简化后的船舶平面运动变量描述。
船舶平面运动模型对于像航向保持、航迹跟踪、动力定位、自动避碰等问题，具有足够 的精度；但在研究像舵阻摇、大舵角操纵等问题时，则必须考虑横摇运动本章根据刚体动 力学基本理论建立船舶平面运动基本方程，据此进一步导出状态空间型线性和非线性)及传 递函数型船舶运动数学模型，并考虑了操舵伺服系统的动态特性和风、浪、流干扰的处理方 法这些结果将作为设计各种船舶运动控制器的基础计及横摇的四自由度船舶运动数学模 型参见文献［5］图6.1.2船舶平面运动变量描述6.2船舶平面运动的运动学(1) 坐标系及运动学变量1) 惯性坐标系及与之相关的速度分量 取Xo*为固定于地球的大地坐标系，原点 设为船舶运动始点或任取，地球的曲率在此可不考虑，不过在涉及大范围航行的航线设 计问题时，需单独处理设船舶运动速度向量-在OX0方向上的分量为uo，V在or0方向 上的分量为匕，船舶当前的位置是30,*)，时间变量以t表示，显有(6-2-1)舄(t) f°(0) = J ou °dt, y (t) - y (0) = Jtv dt0 0 J0 0 J设船舶的艏摇角速度〃顺时针方向为正，有W (t) -w (0) = j ydt(6-2-2)2) 附体坐标系及与之相关的速度分量 取附体坐标系oxy位于满载水线面内。
船舶运动 速度V在ox方向上的分量为u，称为前进速度，V在oy方向上的分量为v，叫做横漂速度 同一速度向量V在惯性坐标系的分量(u0,v0)及附体坐标系的分量(u,v)有下列明显的关「u ]0=c o V一 s i nV「uvL 0」s invco Vv3) 两种坐标系内运动学变量之间的关系 在惯性坐标系内船舶的位置和姿态由[^0(t), J0(t),w (t)]T确定，在附体坐标系内船舶之运动速度和角速度由L(t),v(t),r(t)b表示 由式(6-2-1)，式(6-2-2)和式(6-2-3)知V (t)刊(0) + "r(t)dt ^x0 (t) = x0 (0) + " [u(t) cosV (t) 一 v(t) sinV (t)]dt > J0(t) = J0(0) + J 0 [u (t )sin V (t) + v(t )cosv (t )]dt(6-2-4)可见，要确定船舶在任意时刻的位置和姿态，首先应该求出在附体坐标系内u,v,r的变 化规律，为此需要建立船舶运动的动力学方程2) 平面运动中船舶各点上速度之间的关系1) 刚体运动分解为移动和转动从运动控制角度将船舶视为刚体是足够准确的，因此其 运动是由移动(translation)和转动(rotation)叠加而成；可以取船上任意一点为参考点，船舶一 方面整体地随该参考点平行移动，另一方面绕该参考点同时发生旋转运动；移动速度即参考 点的速度，故与参考点选择有关，转动角速度则与参考点无关，即对任意的参考点均为同值， 对于船舶平面运动，该转动角速度即为艏摇角速率r。
2) 船舶任意点P处的合速度 取o为参考点(图6.2.1)，船上任一点P对o点向径为 P o = xi + yj,i, j为ox及oj轴上的单位向量以向量形式表示旋转角速度，有/ = rk,k为沿 o/轴的单位向量，切即为艏摇角速度向量由理论力学，因刚体转动而造成的速度为V r =切x p故P点的合速度是=(u - yr)i + (v + xr) j(6-2-5)注意：单位向量X乘所得向量满足右手法则，女Ok x i，右手从k的正方向逆时针握向i 的正方向，大拇指所指方向即j的正方向，如果方向与j的正方向相反，结果加负号移动与转动速度的合成图 6.2.1考虑船舶质心其对o点之向径为p c = %i + yCj，则c点之速度为VC = V + 必 xp C = (u - yCr)i + (v + xCr) j = ui + (v + xCr) j(6-2-6)上式最后一步是由于船舶配载对称于纵舯剖面，yC = 0如果取质心c为参考点，应 该从oxy坐标系过渡到C3坐标系，后者是前者沿ox方向平行移动距离PC而得P对C 的向径为d =导+E，于是有Vp = VC + 切xd = (uC 一门r)i + (vC +gr)j(6-2-7)6.3船舶平面运动的动力学在推导船舶运动方程时，做下列假设：更船舶是一个刚体；三大地参照系是惯性参照 系；*水动力与频率无关，水的自由表面做刚性壁处理。
有了第一个假设就不用考虑每个质 量元素之间的相互作用力的影响，而第二假设则可以消除由于地球相对于恒星参照系的运动 所产生的力1) 平移运动方程的建立1)刚体的动量刚体被看做无数质量微团的集合体，各微团保持其形状及彼此之间的距 离不变刚体动量G为各微团动量Vpdm的积分，即G = J Vp dm =J (VC + & x d )dm = VC J dm + 切 xj ddm上式最后一项按照质心的定义应为零，设m是刚体的总质量，则G = mVC (6-3-1)2)刚体动量定理 牛顿运动定律指明，刚体动量的变化率等于其所受外力之和以f = Xi + Yj代表合外力，其中，x是作用于ox方向上的外力，y是作用于0y方向上的外力， 有dG /dt = F (6-3-2)利用式(6-2-6)、式(6-3-1)和式(6-3-2)，且注意到di/dt = rj,dj/dt = -ri (因整个坐标系是 建立在附体坐标系基础上的，而附体坐标系是随着船舶的移动和转动而移动和转动的，故其 导数存在如果在惯性坐标系，则其导数为0)，参见图6.3.1，经整理得(6-3-3)m(U - vr - xCr2) = Xm(V + ur + x r) = Yjdj = -rdt - idi = rdt - j图6.3.1单位向量微分关系式(6-3-3)即为船舶平移的动力学基本方程，注意其形状与熟知的牛顿方程有所差异，这 是由于建立船舶运动数学模型应用的oxy是非惯性坐标系所致。
式(6-3-3)左端附加项-mvr 及mur是船舶宏观旋转中向心惯性力分量；附加项-mxcr2及mxcr分别是由于质心C对 原点o做旋转运动产生的向心惯性力及切向惯性力(离心惯性力)2) 旋转运动方程的建立1) 刚体的动量矩 刚体对质心C的动量矩HC为各微团对C动量矩d x (Vpdm)的积分， 即Hc =f (d x Vp )dm = f (d x V/dm + f (d xm x d)dm = f (耳 +中)x rk x(§ +^j)dm = r[f (&2 +平)dm]k = I^^rk(6-3-4)其中1篁=f (62 +n2)dm为船舶对过C点的垂直轴(oq )的惯性矩2) 对质心C的动量矩定理 同样由牛顿运动定律，运动着的刚体对质心C的动量矩变 化率等于其所受外力矩之和，以Mc = Nck表示后者，Nc为外力矩之代数和，于是dH c Idt = M c即 y = Nc (6-3-5)3) 对于坐标系oxy原点的动量矩定理 形式为式(6-3-5)的动量矩定理只适用于质心C现由该式出发对力矩和动量矩进行变换以导出适用于 o点的动量矩定理表达式以M广Nk表示外力矩之和，其中N是作用于船舶的绕z轴的外力矩，以I^表示船舶对oz 轴的惯性矩，由理论力学的力矩和惯性矩移轴公式，有M o = Mc + p c x F及 I^ = I篁+ mpC，这样由式(6-3-4)和式(6-3-5)可推出 °Nk = I rk + x i x Yj = I rk + x m(V + ur + x r)k 甄 c 甄 c cI r + mx (V + ur) = N(6-3-6)式(6-3-6)即为船舶转动的动力学基本方程，其形状与式(6-3-5)的区别在于，左端的附加 项mxc\^及mx(ur分别代表由于质心C对原点o做旋转运动所产生的离心惯性力矩和向心 惯性力矩。
6.4船舶平面运动的线性化数学模型综合式(6-3-3)和式(6-3-6)，得下列形式的船舶平面运动基本方程m(u - vr - x r2) = Xm(^ + ur + x r) = Y >cI r + mx (V + ur) = N(6-4-1)当附体坐标系原点取在质心C时，xc = 0,可得最简形式的船舶平面运动基本方程m(U - vr) = X m(V^ + ur) = Y > I r = n ^(6-4-2)式(6-4-1)代表着3种力的平衡关系：左端是船体本身的惯性力和力矩，右端是流体对船 体运动的反作用力，实际上包含了流体惯性力和力矩及黏性力和力矩式(6-4-1)本质是非线 性的，其左端显式地出现ur。