第3章 机械故障诊断的 时序模型分析方法3.1 时间序列模型结构特征 3.2 自回归模型的参数、阶次的 确定 3.3 自回归谱的概念和应用 3.4 设备状态变化趋势性及预测3.1 时间序列模型结构特征§ 3.1.1 机械设备运行过程数据序列的特点 离散的时间序列：{xk, k=1,2,...，N ｝：Ø（1）时间序列是平稳或可近似认为是平稳的 随机离散信号；Ø（2）产生这一随机时间序列的原因无法确知 ；Ø（3) 对时间序列的分析，由于机械系统相互 偶合作用变得十分复杂3.1.2 时序模型的概念§ 设： {yk}(k=1,2,...，N)，E yk =y≠0为平稳时间序列令 xk= yk - y ，序列{xk}(k=1,2,...，N)，E xk =x=0，仍是平 稳时间序列§ 1. 自回归模型AR(m)Ø任何一个时刻k上的数值xk可表示为过去m个时刻上数值的 线性组合加上k时刻的白噪声： xk = 1 xk-1+ 2 xk-2 +...+ m xk-m + ak (3.1)Ø式中：{ak}(k=1,2,…)--白噪声， 且Eak=0，Dak=a2 (00,m≠0 。
2. 滑动平均模型 MA(n)§xk可表示为白噪声{ak}在 k时刻和k时刻以前n+1个 时刻上数值ak-1， ak-2，...，ak-n的加权和，或者说滑 动和的形式：xk = ak -1 ak-1 - 2 ak--2-...-n ak-n (3.2)§ 式中：常数n叫做阶次；常数系数I (i=1，2，...，n)称为滑动平均 系数， 且n >0, n≠03．自回归滑动平均模型ARMA(m,n)§ 线性差分方程xk -1 xk-1- 2 xk-2 -...- m xk-m = ak -1 ak-1 - 2 ak--2-...-n ak-n (3.3)Ø其中：m>0, n>0， m ≠0, n ≠0；常数m，n--自回归滑动平均模型的阶次Ø自回归滑动平均模型的含义是：在时刻k的输出xk是系统在 k时刻前的m个输出xk-1，xk-2 ，...，xk-m与由k- n到k时刻中 n+1个互相独立的白噪声输入的线性和§ 模型转换 Ø在ARMA(m,n)(3.3)式中取m>0, n= 0，变成AR(m)(3.1) 式 ；如果取m= 0, n>0，(3.3)式又变成MA(n)(3.2)式；Ø自回归滑动平均模型是较一般的模型，自回归模型和滑动 平均模型是它的特殊形式。
§ 自回归模型可以逼近ARMA模型Øak是系统的白噪声输入，xk是系统的输出Ø对式(3.3)的等式两端进行z变换，由自谱密度 和传递函数的关系：Sx=|H(z)|２Sa ，3.2 自回归模型的参数、阶次 的确定 v3.2.1 AR模型参数的最小二乘方估计 AR(m)模型xk = １xk-1+ 2 xk-2 +...+ m xk-m + ak ak ~ NID(0, a2) 参数估计：根据观测数据{xk}(k=1,2,...，N )，估计出i (i=1，2，...，m)和a2 这m+1个参数v ak = xk-1xk-1+ 2 xk-2 +...+ m xk-m a2是模型残差序列{ak }的方差，故有 估计出i (i=1，2，...，m) ，即可按上式估计a2 1．几个基本命题v (1) 当k≠j 时，Eakaj=0，即在不同时刻，ak 是相互独立的，ak与ak-1, ak-2...均不相关； v(2) ak的分布是正态的，即 ak ~ NID(0, a2) ；v(3) 当j>0时，E xk-jak=0，即ak与xk-1，xk-2，... 均不相关，这从基本命题(1)，即可看出。
2. 样本自相关函数v平稳序列{xk}（k=1,2,...，N ），因为E xk =0，所 以自相关函数和自协方差函数相同，为， k=0,1,2, ...,K (K S1Rmax时，控制系统即可发出换刀信号n第二，直接采用第二主峰605~656Hz的幅值S2R作 为判据 S1T n) 式中： Mk—预测值（观测序列平均值）；xk —观测序列实际值；n —预测资料期(滑动平均包含的观测值的个数) l例如，设近期三个月的实测数据为x1、x2、x3，则预测第四 个月和第五个月的数据分别为：滑动平均法预测误差：l取决于滑动平均所包含的观测值个数nln值越大，对实际值的修正作用越强，预测线越平滑，灵 敏度也就越差，其结果只能反映预测事件的发展方向和趋 势；ln值越小，预测线接近实际值，灵敏度越高l如果要求预测值比较准确，n值应取小一些，可在3~5之间 ；l如果想得到事物变化的大致趋势，n值可取的大一些，可 在10~30之间l滑动平均法只适合作近期预测2）加权滑动平均预测法l根据距离预测期的远近，分别赋予各个观测数据一个不 同的权数，近期数据对于预测值的影响较大，其权数大 些，远期数据的影响相对较小，其权数可小些。
(k>n)式中： M—预测值（观测序列平均值）；x —观测序列实际值；w —数据的权数，wk-1> wk-2 >…；w=1, 0m) ，在上式中取k=k+l ，并在等式两边取估计值，得到l由基本引理，得l其中0=x(1-1-…-m) l取l=1，2，…，可分别得到一步、二步，…预报： l一步预报误差： l即k时刻一步预报误差等于第k +1时刻的白噪声的数值 一般情况下，l正态平稳时间序列{xk}，一步预报误差ek(1)服从正态分 布所以即 置信概率为0.95的一步预报绝对误差的范围为2 例 某条河流上的一个水文站从1915年到1973年记录的每年最大径流量见表3-4 yk栏，共59个数据要求建立AR模型，并预报今后三年的年最大径流量 解：1）先计算均值 l令xk = yk -8669， xk的数据表3-4中的xk栏l 2）根据xk的数据，建立二阶自回归模型AR(2)计算模型 参数估计所需的自相关函数所以 ， l估计模型参数所以l得到关于xk的线性模型l将xk = yk –8669代入上式，得到关于yk的线性模型化简得l3) 由上式AR(2)的模型方程，得到预报公式为l利用 y73年=9300， y72年=10000，得到又又l得到了74、75、76年年最大径流量的预报值。
l 4) 一步预报误差 l因而。