近世代数(2)-2

近世代数,主讲教师：张广祥,,课程五,置换群（续）,注.表法2要点:=(i1i2is)(j1j2 jt) ,不同括号内可由文字不相交,每个括号称为一个循环,长为1的循环略去不写,恒等置换记为1. 例 n次对称群Sn,阶为n!. S4={1,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34), (13)(24),(14)(23),(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432)} 定理2.6.2 每个n元置换都能表为文字不相交的循环之积.,置换群（例题）,例1 = = =(12)(456), = (154)(26), =(16)(25), =(16)(24) -1 =(12)(465)(154)(26)=(16425) 例2 证明Sn的每个元都可以表为若干个形如(12),(13),(14),…(1n)的2-循环之积. 证 看任一个循环(i1i2…it),若1{i1,i2, …,it},则(i1i2…it)=(1i1)(1i2)…(1it) (1i1),若1{i1,i2, …,it},则(1 i2…it)=(1i2)…(1it). 例3 (1234)(56)=(12)(13)(14)(15)(16)(15) (123)(456)=(12)(13)(14)(15)(16)(14)=(12)(13)(45)(46),循环群 要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群.,定义 群G如果仅含某一个元a的方幂,则G称为由a生成的循环群,记为G=(a),G的阶也称为a的阶. 例1. 整数加群Z是一个无限循环群,生成元为1. 2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元是[1],阶为n. 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于整数模n剩余类加群. 证 设G=(a).作影射:ZG使i  ai .若 |a|无限,则是群同构ZG.若|a|=n,则(kn)=1, 是群同构Zn G.,子群 重点 子集是子群三个充分必要条件.,定义 群G的子集H如果在G的乘法之下也成为一个群,则H称为G的子群,记为HG. 例 偶数加群是整数加群的子群.对称群S3 S4. 定理2.7.1 设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当(1)a,bHab H (2)aHa-1 定理2.7.2 设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当a,bHa-1b H. 定理2.7.3 设H是群G的有限非空子集,则H是子群当且仅当a,bHab H. 证 必要性显然,下证充分性.因为这时H满足条件(1)(2)(3’),由定理2.3.1是子群.,子群(续) 生成元集,定义 设G是一个群,SG.记G的全体包含S的子群的交为(S),称为S生成的子群.特别地,若(S)=G,则称S是G的生成元集.循环群是由一个元素生成的群. 例 S4=((123),(1234)) 证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14), (1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324), (1324)-1(14)(1324)=(13), 故((123),(1234))=((12),(13),(14))= S4.,子群的陪集 重点 陪集分解,定义 设H是G的子群，a∈G，把子集aH= {ah│h∈H} 称为H在G中的左陪集，注意a∈aH，同样把Ha= ah│h∈H 称为右陪集. 引理 设H≤G，a，b∈G若aH∩bH≠φ则aH=bH. 证 若x∈aH∩bH则x=ah1=bh2，h1，h2∈H，于是a=bh2h1－1∈bH，aH bH.同样bH aH，因此aH=bH. 定理2.9.1 设H≤G，则H在G中左陪集个数等于右陪集个数。

记这种共同的个数为│G：H│，称为子群H在G中的指数.,子群与陪集(续),证 由引理G分解为互不相交的左陪集的并集G=a1H+…+asH(加号代表并集符号),这一等式称为左陪集分解.容易证明每aiH=Hai－1,因此G=Ha1－1+…+Has－1.于是G共含s个左陪集，同时G也共含s个右陪集，因此│G：H│=s. 定理2.9.2(Lagrange)如果G是有限群，H≤G则│G│=│G:H│·│H│，特别地│H││G│. 证 由H在G中的左陪集分解G=a1H+…+asH得│G│=s·│H│=│G:H│·│H│,证明阶为pm(p为素数)的群一定包含一个p阶群. 证 取1aG.因|G|=pm,由Lagrange定理|a|= ps, sm.只要a1,则有| |=p.,子群与陪集(例),同态与不变子群,重点 不变子群是一类特重要的子群,由不变子群可以构造商群 定义 若H≤G且对每a∈G有aH=Ha,则H称为G的不变子群，记为H△G表示 定理2.10.1-2 设N是G的子群,则下面三个条件等价 (1)N△G (2)每a∈G，aNa－1=N (3)每a∈G，n∈N有ana－1∈N 定理2.10.3 若N△G，则G/N={ aN│a∈G} 在陪集的乘法之下成为一个群,这个群称为商群. 例 整数模n剩余类加群实际上是商群Zn=Z/(n).,同态与不变子群（续）,重点 本节四个定理指出了群同态、不变子群、商群三者的密不可分的关系。

定理2.11.1 每个群G必与它的任何商群G/N同态 证 命φ(a)=aN,则φ:GG/N是群同态 定理2.11.2 反过来若有群同态φ:G～ ，则同态核K={x∈G│φ(x)= （G的单位元）}△G 且 G/K 证 φ(xy-1)= -1= , 故核K是子群,进一步K是正规子群(x)=xK,则是群同构同态与不变子群（再续）,定理2.11.3 设φ：G～ 是群同态，则 （1）对G每个子群H，H的同态象 =φ(H)也是G的子群 （2）G的每个不变子群N的象 =φ(N)也是G的不变子群 定理2.11.4 设φ:G～ 是群同态，则 （1） 的子群 的逆象H={x∈G|φ(x)∈ }也是G的子群 （2） 的子群 的逆象N={x∈G|φ(x)∈ }也是G的不变子群 同态与不变子群（例）,例 设两个有限循环群G~H,|G|=m,|H|=n.证明 n | m. 证 记同态核为K,由定理2.11.2 G/KH,故n=|H|=|G/K| | |G|=m. 注 上面例中,对一般的两个群(不必循环群),只要有群同态G~H,则总有|H| | |G|.,。