影院座位设计摘要本文研究了电影院的座位设计问题，观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角，视角越大，仰角越小，满意度就越大根据这一条件，建立模型，进行比较，提出了增加观众平均满意度的设计改进方案问题一：当一定时，满意程度主要取决于视角与仰角，由图中的几何关系建立的数学模型，以数形结合结合的方法进行分析，利用Matlab软件作图，通过图像得知视角与仰角的变化关系，在时取到最佳位置，此时最大值为，其对应的x的值为1.7282米，结合实际考虑离散化的情形，相邻两排座位间的间距相等，取为0.8米【1】这个最佳位置应当是影院的第四排问题二：运用题目中的已知条件，在某一座位选定时（即x的值确定时），通过分析视角与地板线倾角的内在关系，随着地板线倾角的增大，视角逐渐增大；并且，由与的关系，角越大，角不超过的区域越大，即仰角不超过条件的座位所占比例越大给出合理的约束条件，找到约束条件下的最优解，考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的值，解出时达到平均观众满意度的最大值问题三：先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高角的平均值。
再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方，由问题二中的模型求解知当时，观众的平均满意度最大由引理，考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施如果考虑到人的眼睛到头顶的距离0.1m，若后排不被前排挡住视线，地板线倾角在范围内变化利用C语言进行搜索求出最大平均视角，，倾角.座位安排为第一排被抬高3.1m的倾斜直线，过直线首尾端点，以高于直线0.01m,采用x为y的二次曲线进行拟合，得到的拟合二次函数的表达式为：.最大平均视角将在原有基础上提高，得出改进后的地板线会提高观众的平均满意程度关键词：最佳位置；平均满意度；座位排列形状；二次拟合1.问题的重述 影院中，观众在座位上的满意程度主要取决于视角α和仰角β视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，仰角太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感一般要求仰角不超过30°. 现假设影院屏幕高h，上边缘距地面高H，地板线倾角，第一排与屏幕水平距离d，最后一排座位与屏幕水平距离D，观众平均坐高c为已知条件其中h=1.8m,H=5m,d=4.5m,D=19m,c=1.1m） 现有以下几个问题：（1） 地板倾角，试找出最佳座位在什么地方；（2） 试求所有观众满意程度最大的时候的倾角（一般不超过）；（3） 地板线设计成什么形状时，可以进一步提高观众的满意程度。
2．问题的分析 问题要求我们从不同的角度考虑影院设计对观众满意程度的影响观众在座位上的满意程度主要取决于视角α和仰角β视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，前两问我们可以用建立直角坐标系并找到相关量的关系并建立相应函数的方法来解决第三问是较为开放的一问要求我们开放思维，去大胆并且合理地设想符合条件的最优化的座位排列方式，先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高角的平均值再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方并结合相应的数学模型，给出较为严谨的数学推导与证明仰角在满足条件的范围内,最佳座位处视角最大4） 根据要求β一般不超过30°，所以β[ 0，30°]，我们知道，实际中影院的座位是离散的，而非连续的故我们要在符合题目条件的情况下找到最接近连续情况下考虑的最优解的离散解，从而找出最佳座位在什么地方接下来考虑视角α和仰角β，试求所有观众满意程度最大的时候的倾角（一般不超过），再通过考虑视角α和仰角β及角，给出地板线设计成什么形状时，可以进一步提高观众的满意程度。
3．模型的假设与符号说明3．1 模型的假设（1）忽略观众看电影时，个人视力因素的影响；（2）观众席座位等高；（3）各排座位之间距离相等；（4）同一排座位，观众的满意程度相同.；（5）最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；（6）影院的的地板成阶梯状；（7）把观众的眼睛看作一个点；（8）观众的平均满意度只取决于视角和仰角，其他因素忽略不计；（9）相邻两排座位间的间距相等，取为0.8米【1】 ；(10) 假设屏幕的长度与座位的排长相等;3．2 符号说明: 观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角）（单位：度）: 观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角）（单位：度）: 地板线倾角（单位：度）: 影院屏幕高（单位：m）: 上边缘距地面高（单位：m）: 第一排座位与屏幕水平距离（单位：m）: 最后一排座位与屏幕水平距离（单位：m）: 观众平均坐高（指眼睛到地面的距离）（单位：m）4．模型的准备为了建立模型，解决问题，首先我们准备一下工作：以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：BOMNP屏幕地面地板视觉线图1 影院座位设计的剖面图xyA其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。
5．模型的建立与求解5．1 问题1的模型建立与求解仰角在满足条件的范围内,最佳座位处视角最大根据要求β一般不超过30°，所以β[ 0，30°]以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：BOMNP屏幕地面地板视觉线图1 影院座位设计的剖面图xyA其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线则由图可设视觉线上任意一点的坐标为，屏幕上下点的坐标分别为，，的斜率记为,的斜率记为由斜率公式得：，则直线和的斜率与夹角满足如下关系：【1】当=10°时，tan=0.176, 【2】将【2】式中x的表达式及相关已知量的值代入【1】式中可得：通过matlab作图可以得到与的关系图像如下：（程序见附录一）由图像可以看出，时，随着的增加而增加由题时，会导致观众不舒适，故只考虑的情况并且我们由题可以知道，的值时越大越利于提高观众满意度，所以可以推得最佳的位置应当在处，利用matlab可以算的此时，,最佳位置距墙的距离为6.2282m. 但是我们知道，实际中影院的座位是离散的，而非连续的故我们要在符合题目条件的情况下找到最接近连续情况下考虑的最优解的离散解，这就要考虑影院座位前后间距的问题了。
根据有关资料可以查的，一般影院的座位前后间距约为0.8m，故x的值可离散化为如下以0.8【1】为公差等差数列：0，0.8，1.6，2.4，3.2，4.0，4.8，5.6，6.4，7.2，8.0，…，14.4. 因此，符合题意并考虑到实际情况的最后解应当为x=2.4,处，即影院座位的第四排处当然，在不同座位间距下，我们仍然可以依照此法快速求出最佳位置的排数5.2 问题2的模型建立与求解由题分析可知，要使观众的满意程度达到最大，有两个方面因素：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大并且，为了保证后排观众的满意程度，我们限定最后一排观众的眼睛不超过屏幕上边缘 结合问题1中的结论，可得与的关系式为：【1】易得与的关系如下： .由此可见，在某一座位选定时（即x的值确定时），随着地板线倾角的增大，视角逐渐增大；并且，角越大，角不超过的区域越大，即仰角不超过条件的座位所占比例越大考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的值应当满足，即.因此综上，取到时所有观众的平均满意程度最大5.3 问题3的模型建立与求解问题2中求得的最优解中，第一排的，超过了条件中的，因此改进计划中第一要解决的就是使角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高角的平均值。
引理 竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大证明见附录二于是似乎地板线设计成水平面，高度为 ，即屏幕的垂直平分线，这样所有点的视角都最大但实际上某人的视角范围内里有其他人时，视角就要减小，如上述水平面，只有第一排观众视角最大，其它排的视角为其一半，若考虑眼睛到头顶的高度，则视角更小可见，第一排观众的视高不能超过屏幕下边缘的高度，否则后面的人就会被挡住也就是说座位（考虑人的视高）的平均高度要尽量接近屏幕的中垂线，且要尽量防止前排观众挡住后排观众的一部分视线（可通过增加排间高度差来实现）这正好验证了第 2 问的结论，地板线倾角时，平均视角最大，因为这样才能使所有的点距屏幕中垂线最近那么如何进一步提高观众的满意度呢？考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施 由题，各排的排间高度差相等时，则观众眼睛连线为直线如果考虑到人的眼睛到头顶的距离（按照平均水平并理想化，这个距离给定为0.1m），若后排不被前排挡住视线（理想简化模型，不考虑靠后的座位视角下边被前排遮挡的情况），则地板线倾角应当至少为.经过进一步分析，平均视角最大的情况只可能在一下条件下发生：（1）最后一排观众的视高在范围内变化；（2）地板线倾角在范围内变化。
因此，我们在这两个条件的约束下求解最优解设最后一排的坐标，列出直线方程：，于是，观众眼睛的位置可以表示为：我们利用C语言进行搜索（具体程序见附录三），求出最大平均视角，，倾角.座位安排的示意图如下：在直线阶梯状的基础上充分考虑到，的限制因素，平均满意度主要取决于视角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除以就得到，于是我们就得到下列关系式：为了保证第排座位所在的位置应高于第排座位所在的高度；前一排的观众不会挡住后一排，同时满足观众的视线视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近，且仰角大的座位所占的比例尽可能小因此，对原直线模型各排的座高尽可能改进到视角尽可能大，现设计如下模型：平均满意度最大的地板线设计改进后的地板线运用第一问中的三个模型分别探讨第二问要就的值，使观众的平均满意度最大由平均座高1.1m可求出倾角的最大值为只有未知量，且，其中在直线模型的基础上，不改变第一排及最后一排的位置，为达到平均视角最大，仰角较小，对中间各排座位的高度进行一下调整，设计趋近直线型的抛物线递增型，且其导函数递减型的座高模型，以提高平均视角，即进一步提升观众的满意度，x分别为0，0.8，1.6，2.4，3.2，4.0，4.8，5.6，6.4，7.2，8.0，8.8，9.6，10.4，11.2，12.0，12.8，13.6，14.4，且有曲线上的点（0,4.194）、（4.8,4.802）、（14.5，5）通过曲线的二次拟合给定抛物线形如图所示。
程序见附录四）得到的拟合二次函数的表达式为：. 易得此时观众的平均视角得到进一步提升，仰角在条件范围内的区域增大，即观众满意度得到了进一步提升6．模型结果的分析与检验 我们可以看到，我们的模型中有许多结合实际考虑的部分，例如考虑到实际座。