我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四奥数定义新运算同学们熟运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被知除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研（j究 这个问题这些新的运算及其符号，在中、小学课 本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习 都大有益处定义1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运 算，然后进行计算（2） 我们还要知道，这是一种人为的运算形式它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 _、△、？、■等来表示的一种运算C（3） 新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的2、一般的解题步骤是：一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算二、初步例题诠释例1、 对于任意数a， b，定义运算“ * ”： a*b=a x b-a-b求12*4的值分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32例 2、假设 a ★ b = ( a + b ) 宁 b。
求 8 ★ 5分析与解：该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商这里要先算括号里面的和，再算后面的商这里a代表数字8，b代表数字58 ★ 5 = (8 + 5 ) - 5 = 2.6例 3、如果 a©b=ax b-(a+b)求 6©( 9©2)分析与解：根据定义，要先算括号里面的这里的符号“◎”就是一种新的运算符 号6©( 9©2)=6© [9 x 2- (9+2)]=6© 7=6x 7- (6+7)=42-13=29例 4、如果 1 A 3=1+11+111; 2A 5=2+22+222+2222+22222 8A 2=8+8&求 6A 5分析与解：仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别 是一位数，二位数，三位数，,,“ A ”后面的数字是几，就有几个加 数因此可以按照这个规律进行解答6A 5=6+66+666+6666+66666=74070例 5、女口果规定：2=1 x 2X 3，： 3=2X 3X 4，： 4=3X 4X 5,计算(分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为:X=（X-1）X XX（X+1）。
由于把数代入算式中计算比较麻烦， 我们可以先化简算式后，再计算丄-丄)X J：.'：■ 2 :3 :31 X ®2 1 X 空工3 W; 3 工31 X ： 2：3 - 3x( 1-1®3 )2 3 4 2 3 41X( 1 )2 3 4 4321例 6、规定 a^b=5a+-ab-3b求2（80 5）^ X=264中的未知数分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可8^ 5)^ X=2641(5X 8 + X 8X 5-3 X 5)^X=264245^ X=26415X45+ — X 45XX-3X=264245 6 X225+ X- =2642 239225+—X=264239 —X=392X=2三、边学边试【例11 A , B表示两个数，定义A△ B表示(A+B)宁2,求(1)(3^ 17) △ 29;(2) [(仏9) △ 9] △ 6分析与解】定义新运算符号“△”表示 A△ B=(A+B)宁2,即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值•如17=(3+17)十2=10，再用10与29做运算，10A 29=(10+29)十 2=19.5(1)原式=[(3+17) - 2] △ 29(2)原式={[(1+9) - 2] △ 9} △ 6=[20 - 2] △ 29=$△ 9] △ 6=10^ 29=[(5+9) - 2] △ 6=(10+29)十 2=7^ 6=39-2=(7+6)十 2=19.5【 试一试 1=6.51、A, B表示两个数，定义 A*B=2 X A-B.试求：(1)(8.5X 6.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)2、设 a b=aX b+a-2b,按此规定计算:(1) 8^ 1.25 (2)(4▽ 2.5) ▽ 7例 2】已知 2*3=2+22+222=246， 3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3 ; (2)4*5 ; (3)若 1*x=123，求 x.分析与解 】观察两个已知等式可以发现， “* ”定义的是连加运算，第一个加数是 “ * ”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同， 而“ * ”后边的数恰好是加数的个数。
1 ) 3*3=3+33+333=3692) 4*5=4+44+444+4444+44444=493803) 提示：因为 1* x=1+11+111+, =123所以倒着算： 123-1=122 122-11=111 111-111=0即： 1+11+111=1*3=123从而可知 x=3试一试 】已知 5^3=5X 6X 7, 3^6=3X 4X 5X 6X 7X 8,按此规定计算:(1) (4^3) + (6A2) (2) (3^ 2)X( 4^3)【例 3】设 A ® B=2X( A+B ) -2X( A十 B),计算：(1) (12® 4)® 13; (2) 70®( 18® 4)分析与解】观察已知等式可知：“® ”定义表示的是两个数和的 2倍与商的2倍的差如：12® 4=2X( 12+4) -2 X( 12-4) =26(1)原式=[2 X( 12+4) -2 X( 12 -4) ] ® 13=[2X16-2X3] ® 13=26® 13=2X( 26+13) -2 X( 26- 13)=2X 39-2X 2=78-4 =74(2)原式=70® [2 X( 18+4) -2 X( 18-4)]=70® [2 X 22-2X 4.5]=70® 35=2X (70+35)-2 X (70 - 35)=206【 试一试 】1、规定a© b=(a+b)* (a-b),按此规定计算：(1)210 5 (2)(18 © 9) © 22、设 a#b=5a-2b,计算：(12.5#8) #19.72【例 4】小辉用电脑设计了 A， B， C， D 四种装置，将一个数输入一种装置后，会 输出另一个数.装置A:将输入的数加上5;装置B:将输入的数除以2;装置C:将输入 的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B,就写成A • B,输入1后，经过A • B输出了 3.那么，输入9,经过A • B • C • D 输出几 ?【分析与解】A • B • C • D=[(9+5) - 2-4] X 3=9所以输出的是 9试一试 】同学们在做这样一个数字游戏 :一张带有数字的卡片在 A，B，C， D 四位同学 间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2 传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D将该数字减去9 后交给主持人，如果一张卡片经过 A传递给B记为A - B,那么一张带有18的数 字卡片，经过A - B-C-D的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少 ？【理一理】新定义运算注意的问题 :(1)新定义运算一般不满足运算定律女口 £△ bM a a^ (»△ c)工(aA b) △ c(a*b) △ cm (aA c)*(bA c)⑵“+” “-” “x” J”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序四、练一练1、规定 a*b=4a-3b，计算：(1.5*0.8) *0.52、设a, b都表示自然数，规定a^ b=3a+b* 2，计算:(1) 5^6 (2) 6^5(3) ?☆( ?>☆ 5)(4) (!☆ 3)^53、规定 3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，, 按此规定计算： 11*54、如果 仁 1! , 1 X 2=2! , 1 X 2X 3=3! , , 1 X 2 X 3X 4X , X 99X 100=100!那么 1! +2！ +3！ +4！ +, +100！的个位数字是几？5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△” 表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。
以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊， 狼与狼在一起还是狼， 但是狼与羊在一 起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼 这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊， 狼和狼在一起还是狼， 但由于羊能战胜 狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了对羊和狼， 可以用上面规定的运算做混合运算， 混合运算的法则是从左到右， 先 算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼求下列结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）。