材料力学第八章组合变形

第八章第八章 组合变形组合变形组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合目录一一一一、、、、组合变形组合变形组合变形组合变形的的的的概念概念概念概念 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形, , , ,则构件则构件则构件则构件的变形称为组合变形的变形称为组合变形的变形称为组合变形的变形称为组合变形. .二、解决组合变形问题的基本方法二、解决组合变形问题的基本方法二、解决组合变形问题的基本方法二、解决组合变形问题的基本方法－－－－叠加法叠加法叠加法叠加法 叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求: : : :内力内力内力内力、、、、应力应力应力应力、、、、应变应变应变应变、、、、变形等与外力之变形等与外力之变形等与外力之变形等与外力之间成线性关系间成线性关系间成线性关系间成线性关系. . . .§8-1 §8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理l 基本变形基本变形u 拉伸、压缩拉伸、压缩u 剪切剪切u 弯曲弯曲u 扭转扭转叠加原理叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成如果内力、应力、变形等与外力成线性关系线性关系，则复杂，则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的形等的叠加叠加而得到，且与各组载荷的而得到，且与各组载荷的加载次序加载次序无关。

无关l 叠加原理成立的叠加原理成立的条件条件(1) 应力应变关系为线性关系，即应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律满足胡克定律；；(2) 变形是变形是小变形小变形，可以用，可以用原始尺寸原理原始尺寸原理下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立压弯组合变形压弯组合变形三、组合变形工程实例三、组合变形工程实例10-1拉弯组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例1.1.1.1.外力分析外力分析外力分析外力分析 将外力将外力将外力将外力简化并沿主惯性轴分解简化并沿主惯性轴分解简化并沿主惯性轴分解简化并沿主惯性轴分解, , , ,将组合变形分解为基本变形将组合变形分解为基本变形将组合变形分解为基本变形将组合变形分解为基本变形, ,使使使使之每个力（或力偶）对应一种基本变形之每个力（或力偶）对应一种基本变形之每个力（或力偶）对应一种基本变形之每个力（或力偶）对应一种基本变形3.3.3.3.应力分析应力分析应力分析应力分析 画出危险截面的应力分布图画出危险截面的应力分布图画出危险截面的应力分布图画出危险截面的应力分布图, , , ,利用利用利用利用叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理 将基本变形下的将基本变形下的将基本变形下的将基本变形下的应力和变形叠加应力和变形叠加应力和变形叠加应力和变形叠加, ,建立危险点的强度条件建立危险点的强度条件建立危险点的强度条件建立危险点的强度条件四、处理组合变形的基本方法四、处理组合变形的基本方法四、处理组合变形的基本方法四、处理组合变形的基本方法2.2.2.2.内力分析内力分析内力分析内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图, , , ,确定危险截面确定危险截面确定危险截面确定危险截面. . . .分分分分别别别别计算计算计算计算在每一种基本变形下构件的应力和变形在每一种基本变形下构件的应力和变形在每一种基本变形下构件的应力和变形在每一种基本变形下构件的应力和变形研究内容研究内容斜弯曲斜弯曲拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形弯扭组合变形外力分析外力分析内力分析内力分析应力分析应力分析F laS一、受力特点一、受力特点一、受力特点一、受力特点 杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸 （压缩（压缩（压缩（压缩 ）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形 作用在杆件上的外力既有轴向拉作用在杆件上的外力既有轴向拉作用在杆件上的外力既有轴向拉作用在杆件上的外力既有轴向拉( ( 压压压压 ) )力力力力, ,还有横向力还有横向力还有横向力还有横向力二、变形特点二、变形特点二、变形特点二、变形特点§8-2 拉伸（或拉伸（或压缩）与弯曲的）与弯曲的组合合F F F F1 1 产生弯曲变形产生弯曲变形产生弯曲变形产生弯曲变形F F2 2 产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形F Fy yF Fx xF Fy y 产生弯曲变形产生弯曲变形产生弯曲变形产生弯曲变形F Fx x 产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形F F1 1F F2 2F F2 2 示例示例示例示例1 1 示例示例示例示例2 2三、内力分析三、内力分析三、内力分析三、内力分析x xy yOz zMMz zF FN N 横截面上内力横截面上内力横截面上内力横截面上内力 2.2.2.2.弯曲弯曲弯曲弯曲  1.1.1.1.拉拉拉拉( ( ( (压压压压) ) ) ) : :轴力轴力轴力轴力 F FN N弯矩弯矩弯矩弯矩 MMz z剪力剪力剪力剪力F Fs s 因为引起的切应力较小因为引起的切应力较小因为引起的切应力较小因为引起的切应力较小, ,故一般不考虑故一般不考虑故一般不考虑故一般不考虑. . F FS S 横截面上任意一点横截面上任意一点横截面上任意一点横截面上任意一点 （（（（ z, yz, y）））） 处的正应处的正应处的正应处的正应力计算公式为力计算公式为力计算公式为力计算公式为四、应力分析四、应力分析四、应力分析四、应力分析 1.1.1.1.拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力 2.2.2.2.弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力 x xy yOz zMMz zF FN N( ( z,yz,y) ) 轴力轴力轴力轴力 所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/23.3.3.3.危险截面的确定危险截面的确定危险截面的确定危险截面的确定 作内力图作内力图作内力图作内力图 弯矩弯矩弯矩弯矩xxFN图图M图图F2F1l l/4 拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力 最大弯曲正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力 杆危险截面杆危险截面杆危险截面杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为下边缘各点处上的拉应力为下边缘各点处上的拉应力为下边缘各点处上的拉应力为4. 4.计算危险点的应力计算危险点的应力计算危险点的应力计算危险点的应力F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2  - 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时, ,应分别建立应分别建立应分别建立应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件. .五、强度条件五、强度条件五、强度条件五、强度条件 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态, ,故其强度条件为故其强度条件为故其强度条件为故其强度条件为: :例例1已知已知：：P = 8kN,AB为工字钢，为工字钢，材料为材料为A3钢，钢，[ ] = 100MPa。

解解：：求求: 工字钢型号工字钢型号AB受力如图受力如图这是组合变形问这是组合变形问题题  压弯组合压弯组合取取AB, 受受力如图力如图l 求约束反力求约束反力l 内力图内力图l 危险截面危险截面C 截面截面l 设计截面的一般步骤设计截面的一般步骤u 先根据先根据弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号；选择工字钢型号；u 再按组合变形的再按组合变形的最大正应力最大正应力校核强度，必要时选择大一号或校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢；大二号的工字钢；u 若剪力较大时，还需校核剪切强度若剪力较大时，还需校核剪切强度l 按按弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号选择工字钢型号选选16号工字钢号工字钢l 按按最大正应力最大正应力校核强度校核强度可以使用可以使用l 本题不需要校核剪切强度本题不需要校核剪切强度拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是单向应力状态例题例题例题例题2 2 小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示. .已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力 [ [   t t] =30MPa ] =30MPa , ,许用压应力许用压应力许用压应力许用压应力 [ [   c c] =160MPa] =160MPa. .试按立柱的强度确定压力试按立柱的强度确定压力试按立柱的强度确定压力试按立柱的强度确定压力机的许可压力机的许可压力机的许可压力机的许可压力F F. .yzz0z15050150150350FF解：（解：（解：（解：（1 1）确定形心位置）确定形心位置）确定形心位置）确定形心位置A A=15=15   1010-3 -3 mm2 2z z0 0 =7.5 cm=7.5 cmI Iy y = 5310 cm= 5310 cm4 4 计算截面对中性轴计算截面对中性轴计算截面对中性轴计算截面对中性轴 y y 的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩yzz0z15050150150350FFF FnnFNMy（（（（2 2）））） 分析立柱横截面上的内力和应力分析立柱横截面上的内力和应力分析立柱横截面上的内力和应力分析立柱横截面上的内力和应力 在在在在 n n- -n n 截面上有轴力截面上有轴力截面上有轴力截面上有轴力 F FN N及弯矩及弯矩及弯矩及弯矩 MMyn nn n350350F FF Fyzz0z15050150150 由轴力由轴力由轴力由轴力 F FN N产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为F FnnFNMyn nn nyzz0z1350350F FF F5050150150150 由弯矩由弯矩由弯矩由弯矩 MMy y产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为5050150150yzz0z1拉拉n nn n350350F FF FF FnnFNMy（（（（3 3）叠加）叠加）叠加）叠加在截面内侧有最大拉应力在截面内侧有最大拉应力在截面内侧有最大拉应力在截面内侧有最大拉应力[ [F F] ]     45.1 kN 45.1 kN5050150150yzz0z1拉拉压压n nn n350350F FF FF FnnFNMy 在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力[ [F F] ]     171.3 kN 171.3 kN[ [F F] ]     45.1 kN 45.1 kN所以取所以取所以取所以取5050150150yzz0z1拉拉压压n nn n350350F FF FF FnnFNMylaABCF研究对象研究对象研究对象研究对象: : 圆截面杆圆截面杆圆截面杆圆截面杆受力特点受力特点受力特点受力特点: : 杆件同时承受转矩和横向力作用杆件同时承受转矩和横向力作用杆件同时承受转矩和横向力作用杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点变形特点变形特点变形特点: : 发生扭转和弯曲两种基本变形发生扭转和弯曲两种基本变形发生扭转和弯曲两种基本变形发生扭转和弯曲两种基本变形§8-3 扭扭转与弯曲的与弯曲的组合合一、一、一、一、 内力分析内力分析内力分析内力分析 设一直径为设一直径为设一直径为设一直径为d d 的等直圆杆的等直圆杆的等直圆杆的等直圆杆AB, BAB, B端具有与端具有与端具有与端具有与ABAB成直角的刚臂成直角的刚臂成直角的刚臂成直角的刚臂. . 研究研究研究研究ABAB杆的内力杆的内力杆的内力杆的内力. . 将力将力将力将力 F F 向向向向 ABAB 杆右端截面的形杆右端截面的形杆右端截面的形杆右端截面的形心心心心B B简化简化简化简化得得得得 横向力横向力横向力横向力 F F （引起平面弯曲）（引起平面弯曲）（引起平面弯曲）（引起平面弯曲） 力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩 MM= = FaFa （引起扭转）（引起扭转）（引起扭转）（引起扭转） AB AB 杆为弯曲与扭转局面组合杆为弯曲与扭转局面组合杆为弯曲与扭转局面组合杆为弯曲与扭转局面组合变形变形变形变形BA AFMxlaABCF F 画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面 固定端固定端固定端固定端A A截面为危险截面截面为危险截面截面为危险截面截面为危险截面AAFMMFlA截面截面 C3C4T      C3C4      C2C1二、应力分析二、应力分析二、应力分析二、应力分析 危险截面上的危险点为危险截面上的危险点为危险截面上的危险点为危险截面上的危险点为C C1 1 和和和和 C C2 2 点点点点　　最大扭转切应力　　最大扭转切应力　　最大扭转切应力　　最大扭转切应力   发生在截面周边发生在截面周边发生在截面周边发生在截面周边上的各点处上的各点处上的各点处上的各点处. .     C2C1　　危险截面上的最大弯曲正应力　　危险截面上的最大弯曲正应力　　危险截面上的最大弯曲正应力　　危险截面上的最大弯曲正应力    发生在发生在发生在发生在C C1 1 、、、、C C2 2 处处处处 对于许用拉压应力相等的塑性材对于许用拉压应力相等的塑性材对于许用拉压应力相等的塑性材对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆料制成的杆料制成的杆料制成的杆, ,这两点的危险程度是相同这两点的危险程度是相同这两点的危险程度是相同这两点的危险程度是相同的的的的. .可取任意点可取任意点可取任意点可取任意点C C1 1 来研究来研究来研究来研究. . C C1 1 点点点点处于平面应力状态处于平面应力状态处于平面应力状态处于平面应力状态, , 该该该该点的单元体如图示点的单元体如图示点的单元体如图示点的单元体如图示C C1            三、三、三、三、强度分析强度分析强度分析强度分析1.1.1.1.主应力计算主应力计算主应力计算主应力计算C1  2.2.2.2.相当应力计算相当应力计算相当应力计算相当应力计算　　第三强度理论　　第三强度理论　　第三强度理论　　第三强度理论, ,计算相当力计算相当力计算相当力计算相当力　　第四强度理论　　第四强度理论　　第四强度理论　　第四强度理论, ,计算相当应力计算相当应力计算相当应力计算相当应力  3.3.3.3.强度校核强度校核强度校核强度校核 该公式适用于图示的平面应力状态该公式适用于图示的平面应力状态该公式适用于图示的平面应力状态该公式适用于图示的平面应力状态. .    是危险点的正应力是危险点的正应力是危险点的正应力是危险点的正应力, ,    是是是是危险点的切应力危险点的切应力危险点的切应力危险点的切应力. .且横截面不限于圆形截面且横截面不限于圆形截面且横截面不限于圆形截面且横截面不限于圆形截面 讨讨 论论C C1             该公式适用于弯扭组合变形该公式适用于弯扭组合变形该公式适用于弯扭组合变形该公式适用于弯扭组合变形; ;拉（压）与扭转的组合变形拉（压）与扭转的组合变形拉（压）与扭转的组合变形拉（压）与扭转的组合变形; ;以以以以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形及拉（压）扭转与弯曲的组合变形及拉（压）扭转与弯曲的组合变形及拉（压）扭转与弯曲的组合变形（（（（1 1））））　　弯扭组合变形时　　弯扭组合变形时　　弯扭组合变形时　　弯扭组合变形时, ,相应的相当应力表达式可改写为相应的相当应力表达式可改写为相应的相当应力表达式可改写为相应的相当应力表达式可改写为（（（（2 2）对于圆形截面杆有）对于圆形截面杆有）对于圆形截面杆有）对于圆形截面杆有C C1            　　式中　　式中　　式中　　式中WW为杆的抗弯截面系数为杆的抗弯截面系数为杆的抗弯截面系数为杆的抗弯截面系数. .MM, ,T T分别为危险截面的弯矩和扭分别为危险截面的弯矩和扭分别为危险截面的弯矩和扭分别为危险截面的弯矩和扭矩矩矩矩. . 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆. .l 内力图如图内力图如图l 危险截面危险截面E截面截面E截面的内力截面的内力34l 对圆截面杆对圆截面杆可将两个方向的弯矩按可将两个方向的弯矩按矢量合成。

矢量合成l 危险点的应力危险点的应力u 扭转切应力扭转切应力u 弯曲正应力弯曲正应力u 弯曲切应力弯曲切应力一般可忽略一般可忽略35l 矩形截面矩形截面杆的弯扭组合变形问题杆的弯扭组合变形问题u 两个方向的弯矩不宜合成，可分别计算应力两个方向的弯矩不宜合成，可分别计算应力u 扭转切应力按矩形截面扭转公式计算扭转切应力按矩形截面扭转公式计算例例 3 (书例书例8.5)已知已知：： 传动轴传动轴, 45号钢，号钢，d=35mm, [ ]=85 Mpa, 输入功率输入功率 N= 2.2kW，，n=966r/minD=132mm，，F+f = 600N齿轮E的的d1=50mm求求：：校核轴的强度校核轴的强度解解：：l 求外力求外力u 力偶矩力偶矩u 皮带张力皮带张力又又u 齿轮作用力齿轮作用力l 将各力向轴线简化将各力向轴线简化l 画出内力图画出内力图l 危险截面危险截面B截面截面l 危险截面危险截面B截面截面l B截面内力截面内力l 强度校核强度校核按第三强度理论校核按第三强度理论校核安全安全例例 4 (书例书例8.6)已知已知: 曲轴曲轴, 碳钢碳钢,各几何尺寸已知。

各几何尺寸已知P =32kN, F = 17 kN, 曲柄的惯性曲柄的惯性力力C=3kN, 平衡重平衡重的惯性力的惯性力C1=7kN, [ ]= 120 MPa 求求：：校核曲轴的校核曲轴的强度强度解解：：l 求外力求外力对主轴的扭矩对主轴的扭矩(1) 连杆轴颈的强度计算连杆轴颈的强度计算l 危险截面危险截面连杆轴颈的中点连杆轴颈的中点l 强度校核强度校核按第四强度理论按第四强度理论MzMyTQzQyl 计算内力计算内力取左半部分取左半部分(2) 主轴颈的强度计算主轴颈的强度计算l 危险截面危险截面II-II截面截面MzMyTQzQyl 强度校核强度校核按第四强度理论按第四强度理论l 计算内力计算内力取右段取右段(3) 曲柄的强度计算曲柄的强度计算l 危险截面危险截面III-III截面截面u 取下半部分取下半部分l 计算内力计算内力QzQxQzQxA点点,l 强度校核强度校核u 危险点危险点B点u A点点单向应力状态单向应力状态u B点点平面应力状态平面应力状态本题中：本题中：作线性插值，得：作线性插值，得：s 扭转切应力扭转切应力系数系数 根据比值根据比值h/b查表查表3.2(p.116) 确定。

确定s 弯曲切应力弯曲切应力QzQxB点的两种点的两种切应力方切应力方向相同B点的应力状态如图点的应力状态如图安全安全49例题例题例题例题5 5 F F1 1=0.5kN,=0.5kN,F F2 2=1kN,[=1kN,[   ]=160MPa.]=160MPa.（（（（1 1）用第三强度理论计算）用第三强度理论计算）用第三强度理论计算）用第三强度理论计算 AB AB 的直径的直径的直径的直径（（（（2 2）若）若）若）若ABAB杆的直径杆的直径杆的直径杆的直径 d d = 40mm, = 40mm,并在并在并在并在B B端加一水平力端加一水平力端加一水平力端加一水平力 F F3 3 = 20kN,= 20kN,校核校核校核校核ABAB杆的强度杆的强度杆的强度杆的强度. .F F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400F F1 1F F2 2A AB BC C400400MMe e解解解解: :将将将将F F2 2向向向向ABAB杆的轴线简化得杆的轴线简化得杆的轴线简化得杆的轴线简化得 AB AB为弯扭组合变形为弯扭组合变形为弯扭组合变形为弯扭组合变形F F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400　　固定端截面是危险截面　　固定端截面是危险截面　　固定端截面是危险截面　　固定端截面是危险截面F F3 3 AB AB 为弯为弯为弯为弯, ,扭与拉伸组合变形扭与拉伸组合变形扭与拉伸组合变形扭与拉伸组合变形 固定端截面是危险截面固定端截面是危险截面固定端截面是危险截面固定端截面是危险截面（（（（2 2）））） 在在在在 B B 端加拉力端加拉力端加拉力端加拉力 F F3 3F F3 3F F1 1F F2 2A AB BC C400400MMe eF F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400固定端截面最大的正应力为固定端截面最大的正应力为固定端截面最大的正应力为固定端截面最大的正应力为最大切应力为最大切应力为最大切应力为最大切应力为F F3 3F F3 3F F1 1F F2 2A AB BC C400400MMe eF F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400由第三强度理论由第三强度理论由第三强度理论由第三强度理论小结小结1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法、了解组合变形杆件强度计算的基本方法2、掌握拉（压）弯组合变形杆件、掌握拉（压）弯组合变形杆件 的应力和强度计算的应力和强度计算3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算条件和强度计算。