山西省城市体系规模结构与空间结构的分形研究摘要：本文应用分形理论，对山西省城市体系规模结构与空间结构现状进行了定量分析，通过计算规模结构的分形维数、空间结构的聚类维数和关联维数，发现山西省城市体系具有分形特征，城市规模分布过于集中，首位城市不突出；空间结构比较集中，但也存在不合理之处基于以上结论对山西省城市体系发展提出了一些建议关键字：分形理论 城市体系 山西省1 引言城市体系是指一个相对完整的区域或者国家中,由不同职能分工、不同等级规模、联系密切、互相依存的城镇所组成的集合[1] 周一星. 城市地理学[M] . 北京: 高等教育出版社, 2006: 148其中城市体系的规模结构和空间结构是其两个重要特征，由于城市所处的内外条件条件不同，形成城市的不同规模;区域内城市不是孤立存在的，城市之间不断地进行着物质、能量、人员、信息的交流，这种交流把空间上彼此分离的城市结合成一定结构的有机体，从而形成城市的空间结构城市体系的规模结构和空间结构是区域自然经济因素长期发展在城市系统空间布局上的综合反映，是区域经济发展到一定阶段的产物，也是城市带动区域最有效的组织形式。
因此研究一个区域的城市体系规模结构和空间结构, 并揭示其规律对发挥城市特色, 加强区域城市体系内聚力, 推进城市体系发展, 促进区域经济增长都具有极为重要的意义山西省地处黄河中游地段、太行山西侧的黄土高原东部，黄河以东地理坐标为北纬34°34'——40°43'、东经110°14'——114°33'东西宽约290公里，南北长约550公里，全省总面积15.6万平方公里，约占全国总面积的1.6%人口3410万人，现辖太原、大同、朔州、阳泉、长治、忻州、吕梁、晋中、临汾、运城、晋城等11个地级市，共 85个县，11个县级市，23个市辖区本文选取山西省的11个地级市进行城市体系分形特征研究，揭示其分形规律，并为其城市体系优化提出建议2 分形理论的简介及研究框架2.1分形理论分形理论（Fractal Theory）是美籍法国科学家曼德尔布罗在20世纪70年代中期创立的一门非线性自组织理论[2] B.B. Mandelbrot. Fractal Geometry of Nature[J] . W.H.Freeman:1982.，其产生于科学研究中线性科学向非线性科学的转变。
[3] 李海毅, 汤洁, 斯蔼.分形理论在吉林西部干旱指数预测中的应用[ J].东北师大学报: 自然科学版, 2007, 39(1) : 126-130.分形理论的研究对象主要是不光滑、不规则甚至支离破碎的空间形态, 如海岸线, 雪花的轮廓等[4] 于绍璐.山东省城市体系规模分布的分形特征[J] .首都师范大学学报（自然科学版) 2009, 10（5) : 81.随着分形定义的逐步明确, 分形研究的对象也逐渐由仅限于几何物体的形态和结构扩大到动态系统的时间分形, 经济社会的信息分形及生命科学中的功能分形分形理论的原理就是从自相似性出发去认识描述事物，描述事物的相似性特征量叫做分维数通过对经典的欧氏（整数) 维的定义进行拓广[5] 岳文泽, 徐建华, 司有元, 徐丽华. 分形理论在人文地理学中的应用研究[ J] . 地理学与国土研究, 2001, 17（2) : 51-56. , 人们已得出多种分维计算方法豪斯道夫(Hausdorff) 维、相似维、关联维、信息维等2.2城市体系分形研究框架城市体系是非线性的复杂系统, 城市体系各要素通过物质流、能量流和信息流的传输和交换, 相互作用, 协同发育, 产生比速增长机制, 使得区域城市的空间分布显示出一定的规律, 这便是城市体系空间分布的自相似性分形结构[6] 陈彦光, 刘继生. 豫北地区城镇规模分布的分形研究[J] . 人文地理, 1998, 13（1) : 7-11.。
认识城市体系的分形特征，可以为城市体系规划的现状分析提供一个很好的视角，本文应用分形理论，以山西省为例，通过建立城市体系规模结构、空间结构的分形模型，计算山西省城市体系规模结构的分形维数，空间结构的聚类维数和关联维数，分析山西省城市体系规模结构与空间结构现状特征，并对山西省城市体系发展提出建议其研究框架如下（图1）规模结构的分型模型规模结构分维数规模结构分析城市体系的空间数据空间聚集分型模型空间集聚分维数空间结构分析空间关联分型模型空间关联分维数城市体系分型特征分析 图1 山西省城市体系分形研究框架图3山西省城市体系分形特征3.1山西省城市体系规模结构分形假定一个区域分布若干聚落, 由于城市与乡镇之间无明显界限, 可以设定一个人口尺度r 来度量,规定人口规模S = r 的聚落为城市, 显然, 改变人口尺度r, 区域城市的数目N （r） 也会改变, 当r 由大变小时, N （r) 不断增大, 当满足关系式: (1)C , D 为参数, 即区域城市累计数与人口尺度成负幂率分布时, 可以认为城市规模分布为分形, D 为分维。
若区域城市总数, 令P （r） = N （r） / 表示人口规模大于或等于门槛值r 的城市数目百分比, 则: (2)参数A = N （r） /, 式(2) 便是城市体系规模分布的Pareto 公式, 它在本质上与式（1) 相同另一方面, 如果我们将区域城市按人口规模由大到小排序, 可得如下模型: (3)这便是著名的Zapf 公式, 式中k 为城市位序, P （k）为位序为k 的城市人口数, 系数在理论上为首位城市人口数, 参数q 被称为Zapf 指数 可以证明, 式（1) 与式（3) 在理论上等价, 可知q= 1/D, Zapf 指数具有分维性质, 故有人称之为Zapf 维Zapf 维数可以反映城市体系规模分布的几何特征, 在式（3) 中, 令, 则有: (4)这里Pn 为最小城市的人口数目, 为区域城市总数, 易见:当q= 1 时, D= 1, 此时 , 即首位城市与最小城市的人口规模之比恰为区域内城市总数, 城市体系系统性态良好, Carroll 称此种形态为约束型位序- 规模分布[7] 许学强, 朱剑如. 现代城市地理学[M] . 北京: 中国建筑工业出版社, 1988: 25.;当q> 1, D < 1 时, , 这时城市规模分布比较分散, 人口分布差异程度较大, 首位城市的垄断性较强, 区域内城市体系发育还不成熟;当q< 1, D> 1 时, , 此时人口规模分布比较集中, 人口分布比较均衡, 中间位序的城市发育, 整个城市体系发育已较成熟。
Pareto 分布和Zapf 分布的区别在于: 在应用中前者对人口尺度以等间距取值, 后者对城市数目以等间距取值（转为位序) , 而它们的数理本质却是相同的. 需要说明的是, 计算分维, 从理论上讲最好采用Pareto 公式, 此时人口尺度r （相当于P （k)） 按一定步长变化, 但人口累计数N （r） （相当于k) 的变化是不规则的. 显然由此计算的D 值会与q 值有一定的差异. 利用Pareto 公式的缺点是:人口尺度的步长对分维值的计算结果有一定干扰.尺度的步长相当于空间分析的分辨率, 分维的计算在理论上与尺度无关, 但对分辨率肯定有依赖[8] Kaye. BH. A Random Walk Through Fractal Dimensions [M]. New York: VCH Publishers, 1989. ,依赖的程度越小, 表明系统的自相似性越强. 寻找最佳步长比较麻烦, 所以本文采用Zapf 公式:将(3) 式两边取对数, 得:lnP （k） = lnP1 - q lnk （5)（5) 式中的k 为所选城市的位序. 首先将城市按人口规模排序（表1）, 然后将点列（lnk, lnP （k）） 进行一元线形回归, 绘成位序-规模的双对数坐标图（图2)。
表1山西省人口规模序位单位：万人城市名 市辖区非农人口数序号太原 235.671大同118.932阳泉673长治 53.94临汾37.215晋中316晋城27.37运城23.678朔州 19.389忻州19.3510吕梁 15.2511图2得规模结构分型维数D=1.227，相关性系数R =0.963，分形维数D>1,说明山西省城市人口都具有分形特征，城市间的规模差异较小，人口分布比较均衡，城市规模分布趋于集中，首位城市不突出，中间位序的城市数目较多3.2山西省城市体系空间结构分形城市空间结构是城市体系的重要特征之一，描述城市在地域空间上分布的自相关特性是空间集聚分维数假定城市体系按照某种自相似规则围绕中心城市呈凝聚态分布，城市体系向各个方向均匀变化，则可借助几何测度关系确定半径r的圆周内城市数目N(r)与半径r的关系，有 ，类似于豪斯道夫(Hausdorff) 维数公式，D是空间聚类的分维数，现实中区域一般不是圆形，因此r直接取值可能会导致错误的分维，应该将其转化为平均半径，平均半径定义为 (6)式中：是平均半径，S是一定范围内城市点数目，是从中心城市到第i个城市的距离，整个公式的含义是由S个点集聚的平均半径。
半径与城市数目之间存在如下关系：也可以表示成D为城市体系空间聚集维数, 其地理意义在于: 当D< 2 时,城市体系呈集聚分布，从中心逐渐向四周衰减, 呈非线性、不均匀变化, 越往四周衰减速度越快；当D= 2 时, 城市体系由中心向四周是均匀分布；当D> 2 时, 城市体系由中心向四周呈递增趋势，城市体系分布呈漏斗状离散分布，这种结构发育呈非正常状态[9] 刘继生, 陈彦光. 城镇体系空间结构的分形维数及其测算方法[ J] . 地理研究, 1999, 18（2) : 171-178. 以太原市为中心城市，从地图上测量太原市与各个地级市间的直线距离，可以求出平均半径（表2）以lnS为纵坐标，ln为横坐标，做散点图（图3），进行线性回归分析，得聚类维数D=0.827，相关系数R =0.998 D<2,说明山西省城市空间分布有明显的聚类特征，城市密度由中心向四周逐渐减小表2 山西省城市数目与平均半径统计表 单位：千米城市名城市序号（s）平均半径（）太原10晋中22．6205。