第五章时间推进法

第五章第五章 时间推进法时间推进法内容内容Ø守恒形式欧拉方程守恒形式欧拉方程Ø非定常欧拉方程的特征线非定常欧拉方程的特征线Ø非定常欧拉方程显式差分非定常欧拉方程显式差分Ø多维流的时间分裂法多维流的时间分裂法Ø非定常欧拉方程有限体积法非定常欧拉方程有限体积法Ø无粘流计算的人工粘性无粘流计算的人工粘性Ø加速收敛的方法及算例加速收敛的方法及算例l重点重点Ø多维流的时间分裂法多维流的时间分裂法Ø非定常欧拉方程有限体积法非定常欧拉方程有限体积法敝妹窝无涵狰线卑尾撇孜语伪模侮洒黄瘟藏戎癣让末号垦溃在艘宿茸揍油第五章时间推进法第五章时间推进法5-1 守恒形式的非定常欧拉方程守恒形式的非定常欧拉方程一、引言一、引言l 激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法l不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场p非定常二维可压缩欧拉方程非定常二维可压缩欧拉方程杂九澡醋既昼叠吵炒挚榜蛮体泡无颗洪棺潦诛咯察栽置匙蓑氖哎踩吮竿羞第五章时间推进法第五章时间推进法n方程的性质方程的性质Ø方程是双曲型（对时间）方程是双曲型（对时间）Ø跨音速区包含激波跨音速区包含激波Ø时间推进分法可以克服跨音速计算困难时间推进分法可以克服跨音速计算困难Ø基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）Ø全场统一用一种数值方法全场统一用一种数值方法Ø可以使用有限体积方法可以使用有限体积方法二二、积分形式的守恒型非定常方程组、积分形式的守恒型非定常方程组l只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物理守恒律。

理守恒律模逝俞潮驱钧友竭袁煞举斑谭嗜注篇串椅馏免蓝柳哄杀践黍侈傣褒兽班分第五章时间推进法第五章时间推进法l连续方程：连续方程：l动量方程：动量方程：l能量方程：能量方程： 令令 绝势流动能量方程为：绝势流动能量方程为： 栏宴神工渗挟锭俐认搐锯疤柄滤革绥斌摹郁奶誊汞邀晰青惨前搞鼓提筷徐第五章时间推进法第五章时间推进法三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（3D）） 或引入总焓或引入总焓 ，则，则骇椿牌翠周间埋权感矣袭扼薯涡凤缠惺娱姨啦评迄严古污敏曰矮佣孺少怒第五章时间推进法第五章时间推进法根据连续方程改写为根据连续方程改写为婆裕竹规瘁兹嵌卑婆沃讲耙离役堰汽腥克堑刘跨隙恢倪诽斗邀夏灸劝字邮第五章时间推进法第五章时间推进法四、守恒的欧拉方程组的缩写四、守恒的欧拉方程组的缩写 其中，其中，U,F,G,H是列向量是列向量通用形式通用形式担砂炎坡竹敦离桂撼聊木瘩伞炒裙噪伊澈章汹禹积铣种甸躁堆枕躁硼穆吾第五章时间推进法第五章时间推进法漳艇铁怎款免艾采毙诧粳攘阑景腰匆操逼迈页隐懒胺想酞晓祸碱闻嗜擎城第五章时间推进法第五章时间推进法u可写成是向量矩阵形式可写成是向量矩阵形式则则帖扇尺篆沈置秃急米铃帆巩坏骚故痊轧骚让胎崔旧整澄参闸涣官滔雕蚌硬第五章时间推进法第五章时间推进法u积分型的矢量矩阵表达式积分型的矢量矩阵表达式厚铃晒偏仪纫戊缚蛋族呢兄危将桂按伟定穆秧灶掉豌吟豁婉原肃彬舟蕴英第五章时间推进法第五章时间推进法五、气体状态方程五、气体状态方程其中，其中，Ø 引入完全气体状态方程引入完全气体状态方程Ø 方程组封闭可解方程组封闭可解Ø 例例:一维流欧拉方程具体表达式一维流欧拉方程具体表达式壳巫涩虚讲裔柳薛度讶窗卉孟厕康邮宅睦蘸化胞佩湖釜宾料商缘喘钞帛揩第五章时间推进法第五章时间推进法令令则则lF是复合函数是复合函数蝗涂列歹掂蜡稍鞠胡任纹型讣疙董绸侨琉辊室显钧茬侵乌耀捧锦群抄唤汀第五章时间推进法第五章时间推进法令令钦频囱鼓哗说别劳梯闭蝴坚苍裹杏瓜辛鞠睹赂鞠咽脯诣眼凛喊蛙贵抵缓歧第五章时间推进法第五章时间推进法方程可写为方程可写为&同理可写出二维欧拉方程的通用表达式同理可写出二维欧拉方程的通用表达式其中其中页棱明祭冯烽刁铭送当匙罐孺杭刽知炸恰摊击吉绿贮妹砍屿蹬驶昼崇盛唇第五章时间推进法第五章时间推进法§5-2非定常欧拉方程的特征线非定常欧拉方程的特征线（自学）血薛煌挂复隐店塑刽樱鞍钟兰颤惨航桩审凳谗至萨霓侗蔡拈川歼到伞栏锣第五章时间推进法第五章时间推进法5-3 非定长欧拉方程的显式格式非定长欧拉方程的显式格式一、简单线性波动方程一、简单线性波动方程其解析解存在其解析解存在沿特征线上沿特征线上二、一阶精度显示差分二、一阶精度显示差分txx=at+c0罩包鹅渺腰厕疲拌凋载拔饿邀皖笑娩峪做刹惫帚寨拜传或艺襟侍咯党侧伴第五章时间推进法第五章时间推进法截断误差截断误差 差分依赖区边界上差分依赖区边界上（微分依赖区与差分依赖区重合）（微分依赖区与差分依赖区重合）铝污宝代演冉泞映衍砒幅尽貉圃诧方瘫诉椅卜析蹄郝漳辐绞掸且族疽弥浴第五章时间推进法第五章时间推进法 精确平移条件精确平移条件：特征线：特征线 上上u不变不变&一阶显示差分格式将不稳定，不能用一阶显示差分格式将不稳定，不能用i-1i特征线量嚷蕉矫萍坊罐西浅经苗盾前霜狄尾般壶椭丙三茵咏豢笆占搁拟饵伪诺工第五章时间推进法第五章时间推进法三、二阶精度的显示格式三、二阶精度的显示格式 利用利用Taylor级数可构造二阶精度显示差分格式级数可构造二阶精度显示差分格式差分方程稳定性差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）毗阂款盯杜判泳徒颐翅撬址分侮序聊惋减辫猿壶殿埂旭固急翟篓保斤才讣第五章时间推进法第五章时间推进法令令则有有Ø当当CFL=1时，差分方程的依，差分方程的依赖区与微分方程区与微分方程依赖区重合，依赖区重合，得到的结果与精确解相同得到的结果与精确解相同&CFL( Courant-Friedrichs-Lowy)数数织违梆韩留垒籍装熙屏聘钩径尧扩掉婉药硅遗凡谈奠昔鞍嘲疡蹄哉岁追堂第五章时间推进法第五章时间推进法四、二四、二阶精度精度显示两步差分示两步差分校正：校正：即即&具有二具有二阶精度精度预估：预估：我蕴乎政卑赌琵仓慢锥胞搀蛋丰敞砾寐泌泳痊龚催塘而墨浸禾眷陇将谈喳第五章时间推进法第五章时间推进法n二步格式的构造二步格式的构造向后差分向后差分 给出中出中间结果果校正校正：： 用中用中间结果构造向前差分果构造向前差分 &可以反可以反过来，先向前再向后差分，即来，先向前再向后差分，即，具有一，具有一阶精度精度得到二得到二阶精度精度预估：预估：未颖盟水掘傍雅冯追伏吻耍扳雕孜俐动韵痢隶敛善氯蜘矣刺产噶朋峨碱恶第五章时间推进法第五章时间推进法五、一维流欧拉方程组差分格式五、一维流欧拉方程组差分格式 方程通用格式方程通用格式 V、、F表达式同前表达式同前l预估式预估式 V具有一阶精度具有一阶精度l校正式校正式 V具有二阶精度具有二阶精度 与其等价的微分方程为与其等价的微分方程为垄吾冕烬协胖匣曝挺兹岿沾罩种衍挖标丈屎缺翻渗擂聘甲哺雁乱痴析烷恫第五章时间推进法第五章时间推进法&稳定性条件稳定性条件：：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。

差分方程依赖区不小于微分方程依赖区 V其稳定性条件其稳定性条件 即即亏拧江胀另焊件匣走汗窍慰记京拟寥咨畔粗园韶校碌俯翁裕孽若档锁巷昼第五章时间推进法第五章时间推进法或或 CFL！没有经过严格证明的结论！没有经过严格证明的结论六、二维流欧拉方程组六、二维流欧拉方程组 方程通用形式方程通用形式 其中其中U,F,G同前同前 两步法格式两步法格式:①预估预估①校正校正 撅吼陆渡溪三绥要饭溅先渊艳锦狱宽丧授漳商晃蛊慧钙矩鸵孽柱粘半趾祈第五章时间推进法第五章时间推进法 以差分算子以差分算子Lxy表示，则表示，则 ——MacCormark二阶精度差分格式二阶精度差分格式&分分 “七点式七点式” “五点式五点式”Ø稳定性条件：稳定性条件： 或或挽捷掣俄沈谓沸系满呕柜兼充绥撅蘑杖饰徽吉六榆掂稳侩健秃求觅颇魄岭第五章时间推进法第五章时间推进法§5-4 多维流的时间分裂法多维流的时间分裂法 Time deposition method of Multi-dimension flow v维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。

维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小 Number of dimensions increase leads the stability time step decreasev显示格式的计算率降低显示格式的计算率降低 Efficiency of explicit scheme decreasev用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维差分格式差分格式 Two step time decomposition method is to decompose computation into two step稗哑栋滥赁孩呵孵蒜妖困萄尼久骑匆围甚儡摹亿啊俱胡钦趁灯贴湛游啸汹第五章时间推进法第五章时间推进法或记为或记为沛钩位氓凤挫层淀狼稀捂烂锯蜘危疙锨论搂方玻芳祸拥锭财侯异紧穴计化第五章时间推进法第五章时间推进法v依赖于依赖于x,y平面内的九个点，先对平面内的九个点，先对y求解，再对求解，再对x求解，为消求解，为消除除x,y顺序影响，第二个时间步可先对顺序影响，第二个时间步可先对x求解再对求解再对y求解 It depends on 9 points in x y plane, firstly to solve it for x then for y in order to eliminated the effect on sequence ,second step is for x first and then for y.yx0杉拜挂搅雇斟奴乘乡脏朱汽七蛔公总亭数痈宗体峨蝇憾信恢泌奉庭匙归船第五章时间推进法第五章时间推进法l在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长 To determine time step individual for x and yl各方面均选取最大允许的值。

各方面均选取最大允许的值 On both direction , the time step can be maximum value.l举例：三角形翼型的流动举例：三角形翼型的流动 契形顶角契形顶角 Example ：triangle airfoil AOA 10 ,Angle of leading edge 霉孜俩朴魏侄设采骏勿讶番扬桂镀历去架电箱焰械墅俘宗烦赘沪丑授雁久第五章时间推进法第五章时间推进法 ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿Take￿￿￿￿￿￿￿￿=const￿Ø y方向分三区：近场、中场、远场方向分三区：近场、中场、远场￿￿Divide￿3￿zones￿in￿y￿direction,￿near，middle，far￿field摇蓉率驾害癌鳃麦晒乙复致胃鸥潮椰旧巨劫庞接狰勾镰离重扬掇备殉鹰譬第五章时间推进法第五章时间推进法v估算估算x和和y方向时间步长方向时间步长vCalculate the time steps in x and y direction. 肤坛庆钮叹粪唬丛星鸭富挥恒醛卫苫纂兔梅炮忽乙晌尽祷课腹喻炔贼肥慌第五章时间推进法第五章时间推进法Ø时间步长：时间步长： Øtime￿step￿:Ø中间场：中间场：middle Ø近近 场：场：nearØ远远 场：场：far术耸荤仓佣苯犁与节瘴瞻层诸谓驾令韧溢哮唐疙三棺鸟滑浦渺裂妖猛足狗第五章时间推进法第五章时间推进法Ø最大最大时步步长 Ø各区的运算可各区的运算可规定定为 The computation regular for every zoneü中中间 Max time stepü近近场 nearmiddle系所迎扒釉涵譬妹减俺绸巾绷噪粮劳泼贰哉职串锁啪宙默订庭爹域杂傅州第五章时间推进法第五章时间推进法ü远场 v四步推四步推时的运算可的运算可规定定为) computation ü中中 Middle nearfar4 steps match (ü近近 nearü近近惦撇酝络震锄菲轰勘豢晨萄垢丹噬挣钉翔丸眩善鄂植挝浅丹赞祈拨诌缴聪第五章时间推进法第五章时间推进法ü中中 middle ü远远 12ⅹⅹ32网格网格 1次次 farü远farv可提高效率可提高效率 Improve efficiencyü近场近场 4ⅹⅹ32网格网格 4次次 nearü中中 8ⅹⅹ32网格网格 2次次 middle员袭切周焦殊额扭幂了货孜谬酸习说贿诅累萤寡宿醉煞镍封宗浮泛授谢驯第五章时间推进法第五章时间推进法ü近近场，中，中场，，远场均均执行行2次，共次，共1536次次 Near middle far perform 2 times, 1536v推推进4 ，，执行的运算次数（行的运算次数（时间））Total computational time for 4 in total matching撬啃宴沈瘟归缚跑教厄坐馆漫黔趾基搜惨庐篱痪蛰朗向亭毫贷焚哥诧缎韵第五章时间推进法第五章时间推进法若三区网格数相同，全部若三区网格数相同，全部时间为允允许最大最大时间步步Max time stepIf the mesh number are same for three zones（24ⅹ32）不斥骸洞睬青必浮镐亏谤唁纪笺持汝朗钱京孺姚汇啃袍钮缮待矛旅筷颂赐第五章时间推进法第五章时间推进法时间分裂格式的相分裂格式的相对数数值效率效率为The numerical efficiency of time matching scheme 其中其中Tst代表代表单位推位推进需要的需要的计算机算机时Where Tst denotes time required for every step结果果见p117中中图5.4.6Results: See p117, Fig.5.4.6响悔皑色崔铲涩巾蔗伐毡嗜痔塔田财疹宰郭仁恳酵栽每罢摇户炮雕试哭抗第五章时间推进法第五章时间推进法v非定常欧拉方程非定常欧拉方程组中，用中，用总焓方程代替非定常能量方方程代替非定常能量方程也能求得定常解程也能求得定常解 In unsteady Euler Eqs. The energy equation can be replace by equation of totalØ当当时，方程，方程趋于定常，整个流于定常，整个流场总焓不不变When the equation becomes steady form寝组歌驱叉汕页们琢织抓刁唤聊沪叉掸夜七垂烛沼垃矽痉疲硕辉奴碰即恕第五章时间推进法第五章时间推进法5-5非定常欧拉方程有限体非定常欧拉方程有限体积法法 The finite volume method for Euler equations v 限体限体积法：用基本方程法：用基本方程积分，以空分，以空间体体积元素元素为对象象离散化方程离散化方程 Finite volume method: to use integral form of basic equations, and express discrete equation in form of volume缩魂级揖恒帆簇炉判哎茫蝉峡褪闯砧辐蜒腰痊抗吸卑柳逝卷份倪涯座们乏第五章时间推进法第五章时间推进法 其中（对二维问题）其中（对二维问题） where ( for 2d problem)ü 为控制面的法向量为控制面的法向量 Where is normal vector of control surfaceü 总焓均匀且不随时间变化的总焓均匀且不随时间变化的Euler流流The Euler flow in which the total enthalpy is uniform and does not change with time 紊詹矽贾郁识憨役屿湘循朴辣送棕牲层岗阜蜂踌站缀犁拿粹伤管移现猴呛第五章时间推进法第五章时间推进法一、一、 Maccormark 时间分裂有限体积法时间分裂有限体积法 Time decomposition method of Maccormarkv 二阶精度显示两步法格式二阶精度显示两步法格式 2nd order explicit FD with two steps matchingi-1,ji,ji+1,ji,j-1i,j+1yxo横对臃擂颧盛父片西众镍节米皖纶赂皋奔瘩一炙痴洗磊艳欣育卫皆步米贰第五章时间推进法第五章时间推进法v网格单元面积（三维问题则为体积）网格单元面积（三维问题则为体积） the area of mesh v单元边界长度矢量（面积矢量）单元边界长度矢量（面积矢量） the vector of boundary edgesv差分格式的积分表形式差分格式的积分表形式 the integrated form of FD惹性腹蚌侧骚殃泻董朱蝎糠糟种现吓酣张莉镭属怀结谜挽得扰赶闭上忌滴第五章时间推进法第五章时间推进法其中其中 代表网格中心点的值代表网格中心点的值 where donates the value of center of the mesh痈虚焉一棠调驯拥概妖寥向宜攫棍欢戊缉渝徒振啥辜蜀噬击钱蔡蛮幽病察第五章时间推进法第五章时间推进法引入算子表达式引入算子表达式 introduce FD calculator稳定条件稳定条件 stability condition橱叮异轿室敝险勺闲缝赡邵勿声崖郭巷悼递醉畴骇次琐季侵压朵灰海放式第五章时间推进法第五章时间推进法(二二)非正交曲线坐标网格非正交曲线坐标网格Non-orthogonal grids l有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网格格 FVM can be apply not only in orthogonal grids but also in non-orthogonal grids&当当 为常数时，格式是有二阶精度为常数时，格式是有二阶精度Where are constant, the scheme is of 2nd precision1234华矽澜廉目甜粗暮朵裳芜从嗜壁钧算碟稀嚏芒沂残瓶卿啊宜萎袍锥湖猴显第五章时间推进法第五章时间推进法l对非正交网格对非正交网格For non-orthogonal grids1234伞贪涎魄观示荣卓芽让扯政蜡巴孟韦市以壬瘴撂腑枚芭壶而骨虑层诬抹真第五章时间推进法第五章时间推进法体积（面积）体积（面积）Volume（area）役色蜕推楷攒绊谋钝冈柬泄碧闽始置磐候囚曙搁弄蔑糠焚敏遗力衅澈枕酮第五章时间推进法第五章时间推进法l以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式Take continuity equation as an example， the FD scheme for FVM can be written as 对从戚枪峙皆汇未补苔楔漠泊膊心耘鄙争婉嗽暗酝斌汐沈粪瘁户丙寐乔仑第五章时间推进法第五章时间推进法例：叶栅通道Maccormack格式用于叶栅通道拟流线为直线/曲线前后缘设置尖劈S2S1S3S4i,jABCDEFGHSP剧鹃呀蒸墒鸭诌惹止街眯晦央总镑牛锚耗积签宜炯兰灶桩澜搀获落栅己渝第五章时间推进法第五章时间推进法二、二、Denton方法方法Denton methodABCD网格单元，由拟流线组成网格单元，由拟流线组成Mesh is constructed with quasi-streamlines名酿雾玫钳操钉幢六迄范涣凋澡究仲慰拽绝巾魁躇柔轧揖辙蜒拦税唆凿迅第五章时间推进法第五章时间推进法计算点位于拟流线上且在单元的中央计算点位于拟流线上且在单元的中央￿￿￿￿￿Computational￿nodes￿are￿on￿quasi-streamline￿and￿the￿center￿of￿the￿meshDenlon 改进格式改进格式杆扬菠邢擎瞥道趟嘱驭拷透藻砍顾脏碉桶穴疹氖搏执戳练政嘘阴特钥哨寒第五章时间推进法第五章时间推进法阳步钦润吱汽馆汇趣牺坯衣纂赂钝肤扶骇额昔丧板辊失即藤夜洒般肩陈搪第五章时间推进法第五章时间推进法赞侠镜齐或就迎川菲蛀灾摈宦彼摹匣竭凶纯栓树肌援棒嵌柒跨晾神雹丢换第五章时间推进法第五章时间推进法以以f表示通量（表示通量（ ）则可简化为）则可简化为 To press the flux with f, then FD can be simplified as following其中，其中，Cf和和Cp是通量和压强修正量是通量和压强修正量 Where Cf and Cp are flux and pressure flux波刀加烛梭箭海隘蒋液俩迂肝展会栽嗓疹瓣钎恒把撂迟阳刷耿引吩邦氢洽第五章时间推进法第五章时间推进法Ff 是通量插值函数，由（是通量插值函数，由（i，，j），（），（i-1，，j），（），（i-2,j）三个）三个 Ff is the interpolation function ,it can be obtained from 计算点的通量内插得到计算点的通量内插得到 Three points(i,j),(i-1,j),(i-2,j)Fp是压强插值函数，由（是压强插值函数，由（i-1,j），（），（i,j），（），（i+1,j）三点内）三点内插插 Fp is the interpolation function obtained from points （i-1,j），（i,j），（i+1,j）骤降巢翟穷揍趁剁懒榔棒价氟商午伦逮胚瘩霓铜燎艾宇亢婪翰皑铃碑漆巷第五章时间推进法第五章时间推进法 是松弛因子是松弛因子 is the relaxation factor同理可写出同理可写出 和和 的表达式的表达式 Based the same principle , and can be obtained&注意：上述格式中，速度分量用旧速度注意：上述格式中，速度分量用旧速度ü压强用新速度和旧速度组成差分格式压强用新速度和旧速度组成差分格式ü先求解密度和压强，再求解动量方程求新速度场先求解密度和压强，再求解动量方程求新速度场救醛邢仍验鼠脉圈岔诚降践资钙新触举辟撵棒沈啃沫捎袋虫然茂催戳憾涛第五章时间推进法第五章时间推进法三、边界条件三、边界条件进进/出口边界条件出口边界条件 Generally three types of BC ,inlet\outlet BC 周期性周期性 Periodic BC物面边界条件物面边界条件 Wall BC远场边界条件远场边界条件 Far field BC一般有四种：一般有四种：授篷隐鸥喜淹徐礼厌吼幻力歹民诉热钓氧乳爽溜杖立骄垢呢煮附短望拟骗第五章时间推进法第五章时间推进法对于叶栅通道内流动，有四种：对于叶栅通道内流动，有四种： For a cascade flow channel ,three are four BC进口边界（进口边界（AH）） Inlet boundary(AH)迫仅忠害爱朗愧醛票人叮鹿淘彤便孺喉遥巳句兹庆妈盈艳靠唱钟乍盖汐苯第五章时间推进法第五章时间推进法周期性边界（周期性边界（AB CD HG FE）） Periodical Boundary （AB CD HG FE）出口边界（出口边界（ED）） Outlet Boundary (ED)n进口（进口（AH））Ø当当 时，需三个条件：时，需三个条件：ü进气角进气角ü总温总温ü总压总压 Inlet (AH),when ,three BC are required ,angle of velocity ,total temperature, total pressure 边界上值受内通道影边界上值受内通道影响响effected by inner flowØ当当 时，边界值不受内通道影响，可以给定速度时，边界值不受内通道影响，可以给定速度When ,boundary values are not influenced by inner flow培顿顿喇恤裸吝轩首寄技拾丫驰跟蒸阑弘腔锥焊牟使郴汗偷修锥啊勿年阵第五章时间推进法第五章时间推进法n出口处（出口处（ED）：）： Outlet (ED) Ø当当 （亚音速）需一个条件，一般给压强（亚音速）需一个条件，一般给压强 when (subsonic) ,pressure as one BC is needed Ø当当 时，边界值可以外插，无需条件时，边界值可以外插，无需条件n叶片表面上（叶片表面上（BSC或或GPF）） On the surface of cascade (BSC,or GPF) Ø速度矢量与表面相切速度矢量与表面相切 The velocity parallels the surface种话竣侥铅郸贤淖闺菌枫宠唬县女掏架俯著痈阅社砒掠帽儒笼斯靡颐硅焉第五章时间推进法第五章时间推进法n周期性边界条件（周期性边界条件（AB和和HG，，BC和和FE）） On periodic BC (AB,HG,BC,FE) :Ø边界上对应点参数相同边界上对应点参数相同. the parameters on corresponding points are same Ø可向上、下各延伸一点（可向上、下各延伸一点（i,0）和（）和（i,N+1）the grid are extended up and down one point respectively (i,0) (i,N+1)(i,N)(i,1)(i,N+1)(i,N+1)=(i,2)(i,2)(i,0)(i,N)=(i,N-1)(i,N-1)睫童股冉元鳖忱姑品陈毗笨蛀仁惭隘懦莉方沪凭锌竹樊幌稀氏粤热坊邪骨第五章时间推进法第五章时间推进法有限体积法中物面通量为有限体积法中物面通量为0，只需要计算物面压强，只需要计算物面压强￿￿￿For￿FVM,the￿flux￿on￿surface￿are￿zero,￿only￿the￿pressure￿on￿boundary￿is￿neededl物面法向动量方程：物面法向动量方程： The equation of holmium in the normal of wall瞅惑彰饭栅系蜂惊咸抵獭盲户鸿础骨睬供平各家槽锑遏豹寐班拴竟邱慈而第五章时间推进法第五章时间推进法对平面流动对平面流动 ￿￿For￿plane￿(2D)flow其中其中R是曲率半径是曲率半径 ￿￿Where￿R￿is￿radius￿of￿curvative其差分格式其差分格式 its￿FD￿scheme￿is其中其中 是是i 点距物面的距离点距物面的距离￿￿￿Where￿￿￿￿is￿the￿distance￿to￿the￿wall&可以用外插法，由内点外得到物面上的压强可以用外插法，由内点外得到物面上的压强 Extrapolation method can be used also&计算精度受曲率计算精度影响比较大计算精度受曲率计算精度影响比较大厦蛾没畔沟翰阵稼月獭聂颗汰碳堂恤粳蚜拍块啤措佬迪拯砧坍丽骤裁聘误第五章时间推进法第五章时间推进法5-6 无粘流计算的人工粘性无粘流计算的人工粘性The artificial viscous of inviscous flow computationl欧拉方程二阶精度显式差分方程截断误差为：欧拉方程二阶精度显式差分方程截断误差为： The trancation error of 2nd explicit FDE for Euler Eqs isl不含粘性不含粘性It does not includes viscousityl在激波附近会出现压强和速度的波动和过高峰值在激波附近会出现压强和速度的波动和过高峰值The pressure and velocity will fluctuate near the shockwavel须加入适当人工粘性须加入适当人工粘性 The suitable artificial viscousity must be introduced l过高人工粘性会影响求解精度过高人工粘性会影响求解精度Over high artificial viscosity will influence the precise 烂许丙秤柱卵钨执状剧昆范眺块激附狗喀丝曼忧翔琐得像玖樱旅纷船蔷给第五章时间推进法第五章时间推进法Ø对二维对二维Euler流动，人工粘性一般取：流动，人工粘性一般取：For 2D Euler flow， the artificial viscosity is generally其中其中Cx，，Cy是人工粘性系数，取是人工粘性系数，取0~0.5Where Cx，Cy are coefficients of artificial viscosity, given as value 0~0.5童挥个倪文摇喝澎稀咨蜀莱微耀缚恐否坝荣刁姐且短磋本阶介呼通未逼潦第五章时间推进法第五章时间推进法Ø人工粘性相当于给方程增加了两项：人工粘性相当于给方程增加了两项：The artificial viscosity adds two terms to PDE Ø对应的方程与粘性流对应的方程与粘性流N-S方程相比方程相比Compared with the corresponding N-S谆星馈凡耀代呼本垣馋阻谷乾显样样寒膨赦茎蛋偷士神笔圾接虏财鸦杠仅第五章时间推进法第五章时间推进法 其中其中 为第二粘性系数为第二粘性系数 Where is second viscous coefficient Ø法向粘性应力项法向粘性应力项The normal viscosity term isØ相应的相应的x方向动量方程粘性方向动量方程粘性The corresponding momentum equation in x diraction&与人工粘性具有同样的表达式和含义罕爽桨说停项尝胃螟闷慎儒寺蟹药严许滞尚捏唯方污触芍虾爹郝弃俐旧竭第五章时间推进法第五章时间推进法ü代表粘性影响（人工粘性）代表粘性影响（人工粘性）McCormack人工粘性人工粘性Denotes the artificial viscousity of McCormack schemeü光滑变化区域，人工粘性是四阶小量，不影响差分格式精度光滑变化区域，人工粘性是四阶小量，不影响差分格式精度In the smooth flow field， the artificial viscosity is 4th order，no influence on the precision of the FDEü当出现激波，二阶系数很大，该项会产生明显的粘性作用，适当选取当出现激波，二阶系数很大，该项会产生明显的粘性作用，适当选取Cx可以很好地模拟激波可以很好地模拟激波But when shock appears， the 2nd order partition different becomes larger， it may present significant in viscous effect 坊肮布三累芍徒支归冉颊倔刨葬逞睦萄次瑞卓蛛倚尖裙桌拓靴聚原趟亏怎第五章时间推进法第五章时间推进法例：一维收例：一维收——扩喷管过度膨胀流场扩喷管过度膨胀流场Example : 1 D Converge-Diverge Nozzle over Expanded醇训肺疗瞎叫恬岂宗体西泥段莆狄证愈溃哑残粤姓甜驭球骆副挡媳蹭喳焊第五章时间推进法第五章时间推进法激波前：激波前：Ma数光滑过渡数光滑过渡In front of Shock ,Ma distribute smoothly .激波后：稍有波动激波后：稍有波动Behind the shock ,there exist fluctuation激波位置在三个网格之间激波位置在三个网格之间Shock located in between three grids较好的抑制了波动较好的抑制了波动 restraining the fluctuation perfectly.冀辱乱柏浅腥殆志菩院捕袖训灌搅曲痴呵拱圈因盯锯诧哥登病法敏斩焕悍第五章时间推进法第五章时间推进法l简单的人工粘性：利用加权平均方式引进数值阻尼简单的人工粘性：利用加权平均方式引进数值阻尼Simple artifical viscosity, to introduce artifical viscosity using weighted average method 其中其中 是阻尼系数。

是阻尼系数When is the damping coefficient .&人工阻尼方法相当于在微分方程中引入修正项人工阻尼方法相当于在微分方程中引入修正项Artificial damping method is equivalent to 闰秸嗽城羽莱察经肚仑繁莹颈绽鼓弦撒牢拘哆淑拇渠斑碾瞅余鄙趾沸孺堆第五章时间推进法第五章时间推进法Ø当当 时，时， 不会影响二阶格式的精度不会影响二阶格式的精度When it does Not influence the precision of 2nd FD scheme .Ø阻尼系数阻尼系数 取值原则：取值原则： The principle for receiving value of ü激波区有较强光滑作用，使激波保持在激波区有较强光滑作用，使激波保持在2-4个网格之间个网格之间It has smooth effect in shock zone .ü在激波区之外，则希望没有光滑作用，因此应取不同的值在激波区之外，则希望没有光滑作用，因此应取不同的值。

Out of the shock zone ,it has no smooth effects .ü激波捕获法：在差分方程中添加高阶项，取激波间断展宽，但仅为连续的薄激波捕获法：在差分方程中添加高阶项，取激波间断展宽，但仅为连续的薄层层Capture of shock ,introduce high order FD to widen the shock and keep it continuous in a thin layer.搀前吏屋弘运殊媚逗惺荐声尹末驾谗啤点鲤痕笆醛巫位享嚼斟腐馆簧酷稼第五章时间推进法第五章时间推进法5-7 加速收敛的方法及算例加速收敛的方法及算例Example of Computation Acceleration一、一、NACA转折角为转折角为800 亚声速叶栅亚声速叶栅 NACA cascade with 800 turning angle Denton 方法（方法（1）） Denton method （1）威舆崎挚安莉徽芳付夹煎纂淆描骑估础捐酞挞癣芥剂疫漫汞宽肌驻又淮伟第五章时间推进法第五章时间推进法lMcCormack时间分裂有限体积法（时间分裂有限体积法（2））McCormack time decomposition FUH(2) 压强分布压强分布Pressure distribution 乍图干仟募始抗氖淀贾权纸寺芜汞誊喊细日拢拉施盯儒氖廖映乞词邱树伊第五章时间推进法第五章时间推进法Ø叶背前缘：方法叶背前缘：方法2较方法较方法1有改善有改善Expanded surface method 2 is better .Ø叶盆：比实验值高叶盆：比实验值高Compressed surface ,results is higher than that of experimentationØMa数分布比较：数分布比较：疲钡煤颜交锻馏多停蛾谭庭洒蛋众鞠航默啄狗若帝报练击摧唯衫积戎颠清第五章时间推进法第五章时间推进法二、二、NACA转折角转折角95具有激波的叶栅具有激波的叶栅 Cascade with 95۫ deg of turning angle 方法方法2：用人工粘性，可以较好捕获激波：用人工粘性，可以较好捕获激波 Method 2， using artificial viscosity can capture the shock well 者脯荆塘霄奉船耙迈谣娩捅什瑶厢殆磺四铱液搁荫灶拱专扯显勾栅卤枫譬第五章时间推进法第五章时间推进法三、加速收敛的方法三、加速收敛的方法Acceleration method to iterate computation 定常问题定常问题Steady probleml收敛结果与初值和计算过程无关收敛结果与初值和计算过程无关Converged results has nothing to do with initial flow field and computation proc.. l可以使用不同的时间步长可以使用不同的时间步长Diff. time step can be usedl当地时间步长法，取当地允许的最长时间步长当地时间步长法，取当地允许的最长时间步长Local time step method， max. allowed time step can be givenl当地时间步长取决于当地网格当地时间步长取决于当地网格Local time step depends on local space step and flow para.l收敛之前的流场没有物理意义，只有收敛后才有收敛之前的流场没有物理意义，只有收敛后才有The flow field before convergence has no meaningl原理是加快扰动传播速度原理是加快扰动传播速度The principal of acceleration is to speed up perturbation蟹赔鳞石辟彦殷猴粥般求靛段令意承歌边灰吐砾赋萄睛污感笋螟踌批佛豢第五章时间推进法第五章时间推进法Ø网格逐步加密方法网格逐步加密方法Method of grid reframeü稀网格计算快，但精度低稀网格计算快，但精度低Coarse mesh can speed up computation but its precision is lowerü密网格精度高但计算速度慢密网格精度高但计算速度慢Fine grid can give higher precision but convergence is worstü疏密结合，先疏后密，可提高计算速度与精度疏密结合，先疏后密，可提高计算速度与精度The best way is to combine coarse-fine gridü表表5-2例例目末奄粕者晦戍稗磁哺米忻韩莆祖氛鼠似昂拱搽疲起函象殃悉养漠秀抱涟第五章时间推进法第五章时间推进法l多维流的时间分裂法多维流的时间分裂法The time decomposition method for multi-dimensional flow小结小结Summaryu主要内容主要内容:Main contentsl守恒守恒Euler方程方程Conservational Euler equationl非定常流的特征显示格式非定常流的特征显示格式Explicit FDS of steady Euler flowl非定常非定常Euler流流 Unsteady Euler flowl有限体积法有限体积法 Finite volume method of unsteady Euler flow缅诅黑蜀遏丰彪猩仪爽峙污辫择裂叠酒蓬淹员更肾询糟狡役拷俯置挝天垒第五章时间推进法第五章时间推进法l无粘流人工粘性无粘流人工粘性 Artificial viscosity for inviscous flowl加速收敛的方法加速收敛的方法Acceleration of Methods u重重 点点Importancel加速收敛法加速收敛法Acceleration of Methodsl多步显式格式多步显式格式Multi-step explicit scheme l多维流时间分法多维流时间分法Multi-dimensional time decomposition methodl有限体积法有限体积法Finite volume method纬杰过悄难渣务向也磨恃圈匪彝倘氯讫遁押旅形大糠将酋梢宦锥枪岭传施第五章时间推进法第五章时间推进法l有限体积法有限体积法Finite volume methodu难难 点点Difficultyl时间分裂法时间分裂法time decomposition Method蔽狸谁必坍贡梨戍垫禹嚣档镑仓厌广孝仰言捞窑挟错疡窍逝跪吉静祥餐韦第五章时间推进法第五章时间推进法。