博士家园考研丛书 （2010 版） 全国重点名校数学专业考研真题及解答 数学分析与高等代数 考研真题详解 南京大学数学专卷 南京大学数学专卷 博士家园 编著 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 《 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 》 编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书， 对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说， 历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的 为了帮助广大 同学节约时间进行，为了使教师手头有更加详尽的材料，我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题， 其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要 有些试 题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园( ), 这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高 校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审 稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无 闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出： “要把中国建成 21 世纪的数学大国。
”每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研， 但是过程是艰难的 我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站 本站力图成为综合性全国数学信息 交换的门户网站， 旨在为科研人员和数学教师服务， 提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流 的数学科学信息交流中心之一 由于一般的院校可能提供一些往年试题， 但是往往陈旧或者 没有编配解答， 很多同学感到复习时没有参照标准， 所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题，由众多编委共同编辑整理成书在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校 的教师参与解答以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们 的丛书系列也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试 题： 博士家园主页网址： 博士数学论坛网址： 数学资源库: 欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：www.boss@ www.boss@ 博士家园 二零一零年二月 2 博士家园系列内部资料 数学分析与高等代数考研真题详解数学分析与高等代数考研真题详解 南京大学考研数学专卷南京大学考研数学专卷 目录目录 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2002 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 2008 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 2009 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 2010 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 南京大学 南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题 2000 年 一、求下列极限 1）设 n n n x x x + + = + 3 )1 (3 1 ， （为已知） ，求； 0 1 x n n x ∞→ lim 解：另外用归纳法也是可以的 1 (33)(3) 3,,0 3 ,, n nn n x xn x x + −− −=∀ + 根据压缩映像原理 知收敛 不难得到答案为 3 2）； 22 )(lim 22 0 0 yx y x yx + → → 解： 2 博士家园系列内部资料 22 22 22222222222 22 0000 23 220 0 0 ln()ln()ln()|2ln| 1 ln lim2lnlimlimlim0 11 2 lim()1 x y zzzz x y x y xyx yxyx yx yzz z z zzz zz xye →→→→ → → +=+ − 1−∃∀ ≥− +=∫adxxxaaI π . 解： () 2 222 0 2 2222222 00 2 ( )lncossin,(0) 121 '( )2tan (tan)(1tan)1()(1) 2 () 1221 ( )ln(1)(1) ( )ln11 2 (1)0 I aaxx dx a a1 I aadxd axxaaxx a aaa dI dIdaI aaCa I adaaa I π π πππ ππ π π +∞ =+ == ++−++ −= −+ ⎫ =⇒=⇒=+++ ⎪ ⇒=++ ⎬ ⎪ = ⎭ ∫ ∫∫ x− 六、试求指数λ， 使得dyr y x dxr y x λλ 2 2 −为某个函数()yxu,的全微分， 并求， 其中 ()yxu, 22 yxr+=. 解：利用二阶混合导数相同的性质，来解决该问题 5 博士家园系列内部资料 2 2 2 2 223 22 222 22 22 2223 22 220 2 (0 2 (0) ()1 ( , )( ) x xxFF r dxr dydxdy yyxy Fx r xy Fx r yy FxFxx rxrrr y xyx yyy FxFx r y xyx yy x xyxyx xyt u x ydtf y y y ty λλ λ λ λλλλ λ λλ λ λλλ −− ∂∂ −=+ ∂∂ ∂⎧ = ⎪ ∂ ⎪ ⇒⎨∂ ⎪ = − ⎪∂ ⎩ ∂∂ = −+== −−≠ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ = −== −= ∂ ∂∂ ∂ ⇒++= −⇒= − + =+= + ∫ 矛盾 1− )λ 七、计算下列曲线积分和曲面积分 ) 1 ()()() ∫ +++−++= c dzzyxdyyxdxzyxI,22 3 其 中c为与 的交线，从原点看去是逆时针方向. 12 22 =+ yx zyx−=+ 22 2 解：z=-1，所以 dz=0.如果使用 Stokes 定理反而更麻烦。
所以化简再用 Green 公式 ()()() ()() () 3 cos 2 sin 3 2 2 3 0 22 42 00 22 22 sin2 (cos )sincossincos 22 1212 2 sincos 224 c x y c Ixy z dxxy dyxyz dz xydxxy dy dd dd θ θ π ππ θ θθ θθθθ θ θ θθ θπ =⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ =++−+++ =−+−⎯⎯⎯⎯→ =−+− + =+= ∫ ∫ ∫ ∫∫ ? ? )2()()() 2 222 222 :,RczbyaxSdxdyzdzdxydydzxI S =−+−+−++=∫∫. 解：基本同 1992 年的那道题目，我只是把那道题目的结果稍加修改 6 博士家园系列内部资料 22 22 222 1 ' 2 2 000 22 0000 zc,S' 2() cos :sin ()[ ()(cossin )] () S V RRz V RRz Ix dydzy dzdxz dxdy xyz dxdydz xar ybr zcz xyz dxdydzr abcrrz d drdz abcdzrdrdzdzrdrd π π θ θ θθθ θθ − − = =++ =++ =+⎧ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =+ ⎩ ++=+++++ =+++ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ 补齐的平面 形成封闭的曲面 代换 22 00 4 3 4 3 1 222 2 4 322 12 2() 34 4() 32 4() 32 RRz z c abcR R abcR IR Ic dxdycR abcR IIIRcR π ππ π π π π ππ − = ++ =+ ++ =+ == ++ =+=++ ∫∫∫ ∫∫ 八、设,( )ln n n uxxx=[]0,1x∈ 1) 试讨论在 1 ( ) n n ux ∞ = ∑ ](0,1上的收敛性和一致收敛性； 2) 计算 1 0 1 ln n n xxdx ∞ = ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∫ . 解：此题与第三题属于完全相同的题目 1） 7 博士家园系列内部资料 11 1 1 1 1 limlnln ,10 ( )ln 11 0,0,1 1 ( )lnlimln 1 ln 1(0,1],,0, ln(1) 11 ln 1 1 21 1 1 |()| |(1) n n n n nn n M nM n n n Mn M n M MM n N nN n xx xxxx uxxx xx x x uxxxxx x xM x xxx x x n ux N εδ δε δ δ ε δ ∞∞ →∞ == −+ ∞∞ →∞ == − − = ⎧− =⎪ == −−⎨ ⎪ = ⎩ − == − ∈−∀∃= − − =可见 内闭一致收敛 在不一致收敛 （2）其实内闭一致收敛积分号就可以和 lim 相互穿越了。
不用非要用定义去 做 11 [0,1] 111 001 111 1 0 1 ( )( )lnlimlnln 11 (0 )(0),(1 )(1) max |( )| lnlimlnln,0 (ln ) 1 n n n n nn x N nnn N nnn xx f xuxxxxxx xx ffff f xM xxdxxxdxxxdx x x dx x δ δ δ ∞∞ →∞ == +− ∈ ∞∞ − −→∞ === − ==== −− == ⎪⎢⎥ ⎜⎟ =⎨ ⎝⎠⎣⎦ ⎪ = ⎩ 0 ( )( , )I xf x t ∞ =∫dt) (0x 1）讨论( )I x在(上的一致收敛性，并证明 )0,+∞ 2 00 lim ( ) 2 x x I xedx π + +∞ − → == ∫ 2）计算( )I x. 8 博士家园系列内部资料 解： （1） 2 2 2 2222 2 2 2 2 2 000000 2 exp,0,0 ( , )( ) 0,0,0 1 0( , )( 2),( ) ( ) lim ( )limlim [] t NN x x ttt t xxx x x ttx f x tI xt tx f x t dtedtFNF x I x I xeedxeedtedt edxe ξ π +++ ∞∞ − − − +∞+∞+∞ −−− →→→ +∞ − −∞ ⎧⎡⎤ ⎛⎞ −+ ⎪⎢⎥ ⎜⎟ =⎨ ⎝⎠⎣⎦ ⎪ = ⎩ ⎩ = =−−=+− = − ⇒== ∫ ∫∫ 2001 年数学分析 一、求下列极限 1） 设),2( , 4 3 , 0 1 1 ≥ + == − n a aa n n 求； n n a ∞→ lim 解： （这道题目没有什么好讲的吧） （1）利用数学归纳法：证明该数列单调递增且有界，小于 1 （2）直接求出通项公式 1 1 1 2 n n a − = − 2） 求极限： 1 2 2 0 1 lim x y x y xe y + −+ →+∞ → ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ 解：这道题目ex总是比x大无穷阶，猜出答案来解决 9 博士家园系列内部资料 () () 1 22 2 0 222 22 24 1 2 2 0 1 limlim () 0 () limlim0 1 lim0 x yx xx yy x y x yx y x x y xx y x y x y xexye y xyxy xye ee xyx e e xe y + + −+ 2y−+ →+∞→+∞ →→+∞ −+ ++ + →+∞→+∞ →+∞ −+ →+∞ → ⎛⎞ +=+ ⎜⎟ ⎝⎠ ++ ∀∃−∃= − −≤−+−= = ∫∫ ∫∫∫ ∫ 首先 从而命题成立，似乎也仅仅。