第05讲 巧用平方根的概念解决相关题目类型一：巧用非负性求值类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值类型三：巧用算术平方根的最小值求值类型四：巧用平方根的定义解方程【类型一：巧用非负性求值】1.（2023秋景姚市期中）已 知 后4 +（n+9）2=o,则1的 值 是（）mA.9 B.J.C.2 D.N4 4 2 2【分析】先根据非负数的性质求出m、n 的值，进而可得出结论.【解答】解：.V +（n+9）2=0，/.m-4=0,n+9=0,解得 m=4,n=-9,.n _ -9 _m 4 4故选：B.2.（2023春扉云县期末）已知仁 历+b-1 1=0.那 么（a+b）2 0 2 3的 值 为（）A.-1 B.1 C.3 2 0 2 3 D.-3 2 0 2 3【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出a、b 的值，再代入计算即可.【解答】解：运+|b-l|=0./.a+2=0,b-1=0,即 a=-2,b=l,.（a+b）2 0 2 3=（-2+1）2 0 2 3=-1,故选：A.3.（2023春 至 华 区校级期中）已知x,y 满 足 正 工+（y+1）2=0,那么x-y 的平方根是（）A.7 3 B.5/3 C.1 D.1【分析】利用算术平方根的定义以及偶次方的性质得出x,y 的值，再利用平方根的定义求出答案.【解答】解：y 满足V x-2+（y+l）2=0,x=2,y=-1,x-y2-（-1）3,，x-y 的平方根是：故选：A.4.（2023秋区东区期中）G I+|b+2|=0,则J（a+b）2的 值 是（）A.0 B.2018 C.-1 D.1【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a,b 的值，代入计算得出答案.【解答】解：根据题意得a-1 =0,b+2=0,解 得:a=l,b=-2,则 Y （a+b）2 =（1-2）2 =1.故选：D.5.（2023春至岗区月考）已 知（4-a）2与 后 j 互为相反数，则 a-b 的平方根是（）A.V5 B.V 3 C.V5 D.土 6【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出a、b 的值，再求出a-b 的值，由平方根的定义进行计算即可.【解答】解：由题意得，（4-a）2+J而=0,而（4-a）22o,.*.4-a=0,b+l=0,解得 a=4,b=-1,a b=5,a-b的平方根是故选：C.6.(2022秋E 龙坡区期末)已知a、b、c 都是实数，若互+|2 b|+(c+2 a)2=0，则 J 的值等2 a+4 b于()A.1 B.-2 C.2 D.-23【分析】先根据平方，绝对值和算术平方根的非负性求出a,b,c 的值，再将a,b,c 代入卓-中 即 可a+4 b求解.【解答】解：V a-2 +|2 b|+(c+2 a)2=0，7a2 0,i _|0,(c+2 a)2o,.a -2 0,2 b -=0,c+2 a=0,2：.a=2,b t c=-4,4.a-c _2-(-4)_2+4 =2a+4 b 2+4 x 2+14故选：C.7.(2023春亥罕区期中)已知则a2+b2的 值 为()A.2 B.V2 C.1 或-1 D.1【分析】由已知得W l-b 2=l-b A l-a2,两边平方整理可得(l-a 2-b 2)2=0,从而可选出正确答案.【解答】解：aVl-b2=l-b Vl-a2 则两边平方得a?(i-2)=l+b2(l-a2)-2 b Vl-a2 整理得 2 b Vl-a2=1 +b 2-a 2，两边平方得 4b2 (1-a2)=(1+b2-a2)2=(1-a2)2+2b2(1-a2)+b4,所 以(1-a2)2 -2b2 (1-a2)+b4=0,即(1-a2-b2)2=0,所以 1 -a2-b2=0,即 a2+b2=i,故选：D.8.(2023 春 山 区 校 级 月 考)Va-b-3+l2a-4 1=0，贝 U a+b=()A.a+b=-1 B.a+b=l C.a+b=2 D.a+b=3【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a-b-3=0,2a-4=0,从而得到a=2,b=-l,即可求解.【解答】解：vVa-b-3+l2a-4 I =0,Va-b-3 0,|2a-4|0,/.Va-b-3=0,|2a-4|=0,.,.a -b-3=0,2a-4=0,解得：a=2,b=-1,/.a+b=l.故选：B.【类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值】9.(2023秋里阳区校级月考)一个正数的两个平方根分别是2a-3 和 5-a,则这个数是()A.49 B.25 C.16 D.7【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a-3+5-a=0,求出a 的值，即可求出这个数.【解答】解：由题意得，2a-3+5-a=0,解得a=-2,/.5-a=5-(-2)=7,2a-3=2X(-2)-3=-7,(7)2=49,即这个数是49,故选：A.10.（2023春/江区校级期末）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与 2m-6,则 m 的 值 是（）A.-7 B.-4 C.1 D.16【分析】根据平方根的定义得出3m+l+2m-6 =0,再进行求解即可得出答案.【解答】解：.,一个正数的两个平方根分别是3m+l与 2m-6,3m+l+2m-6 0,m=1；故选：C.11.（2023秋宣武区校级期中）若一个正数的两个平方根是2a-2 和-a+3,则 a=-1,这个正数是16.【分析】根据平方根的性质即可求得a 的值，然后根据平方根的定义即可求得这个正数的值.【解答】解：:一个正数的两个平方根是2a-2 和-a+3,2a-2-a+3 0,解得：a=-1,贝 U -a+3=1+3=4,那么这个正数是16,故答案为：-1;16.12.（2023春百通期末）已知正实数x 的两个平方根是a 和 a+b,若 2a2x+（a+b）2X=2 7,贝 U x=3.【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得乂=2=（a+b）2,然后将其代入2a2x+（a+b）2X=2 7中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x 的值即可.【解答】解：.正实数x 的两个平方根是a 和 a+b,/.x=a2=(a+b)2,2a2x+(a+b)2x=27,2xBx 区=27,即 3x2=27,则 x2=9,:X 为正实数，/.x=3,故答案为：3.13.(2023秋M 和区期中)若yja T =2,正数b 的两个平方根分别是2c-1 和-c+2,求 2a+b+c平方根.【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2 c-l 和-c+2=0.解方程即可求出c,然后即可求 b,根据算术平方根的定义可求a,再代入计算可求2a+b+c平方根.【解答】解：.正数b 的两个平方根分别是2 c-l 和-c+2,/.2c-1-c+2=0,解得 c=-1,，b=(-2-1)2=9,V a-l=2,解得a=5,2a+b+c=10+9-1=18,.18的平方根是 3&.14.(2023春藩兰店区期中)一个正数x 的两个平方根分别是2 a-1 与-a+2,求 a 的值和这个正数x 的值.【分析】正数x 有两个平方根，分别是-a+2与 2a-1 1,所以-a+2与 2a-1 互为相反数；即-a+2+2a-1=0 解答可求出a；根据x=(-a+2)2,代入可求出x 的值.【解答】解：:正 数 x 有两个平方根，分别是-a+2 与 2 a-1,/.一 a+2+2 a-1=0解得a=-1.所以 x=(-a+2)2=(1+2)2=9.1 5.(2 0 2 3 秋西汾月考)若实数b的两个不同平方根是2 a-3和 3 a-7,求 5 a-b 的平方根.【分析】根据平方根的性质进行解题即可.【解答】解：由 题 意 得(2 a-3)+(3 a-7)=0,解得a=2,：.b=(2 a-3)2=1,5 a-b=9.5 a-b的平方根为3.1 6.(2 0 2 3 春速阳区期末)已知正实数x 的两个平方根分别为a 和 a+b.(1)若 a=-2,求 b和 x 的值；(2)若 b=6时，求 a 和 x 的值；(3)若 a2 x+(a+b)2X=8,求 x 的值.【分析】(1)根据平方根的定义及性质即可求得b的值和x 的值；(2)根据平方根的定义及性质即可求得a 的值和x 的值；(3)根据平方根的定义将原式进行变形后解方程，然后结合已知条件确定x 的值即可.【解答】解：(1)I,正实数x 的平方根分别为a 和 a+b,a+a+b=0,即 2 a+b=0,V a=-2,.,.b=4,x=(-2)2=4；(2)/2 a+b=0,b=6,2 a+6 =0,解得：a=-3,.*.x=(-3)2=9；（3）二,正实数x 的平方根分别为a 和 a+b,.x=a2=（a+b）2,/a2x+（a+b）2 x=8,.X2+X2=8,即 2 x2=8,解得：x=2,x 为正实数,.,.x=2.【类型三：巧用算术平方根的最小值求值】1 7.（2 0 2 3 毒玉县一模）当x=4 时,式 子 3+J T 4 有最小值，且最小值是 3 .【分析】先根据二次根式非负的性质求出x 的值，进而可得出结论.【解答】解：.当X-4=0时，3+7 7城会有最小值，/.当x=4时，3W7工会有最小值，且最小值是3.故答案为：4,3.1 8.（2 0 2 3 春藤湖区校级期中）已知y=-9+J 1 3-X，当x=13时,y的最小值=-9【分析】由算术平方根的非负性求解即可.【解答】解：VV1 3-X 0,当 X=1 3 时，A/13-X有最小值是0,.,.当x=1 3 时，y 有最小值，最小值为-9+0=-9,故答案为：1 3；-9.1 9.（2 0 2 3 春国阳区期末）已知（1 2-m是整数，则自然数m的最小值是（）A.2B.3C.8D.11【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是9,进而求出答案.【解答】解：若：1 2-m是整数,则自然数m 的最小值是3,故选：B.20.（2023春 淀区校级期中）关于式子m2+l（m 为实数），下列结论中错误的是（）A.式子m2+l定有平方根B.当m=0时，式子m2+l有最小值C.无论m 为何值，式子m 2+l的值一定是有理数D.式子m2+l的算术平方根一定大于等于1【分析】分别根据平方根有意义的条件，最小值，无理数的意义及算术平方根的意义判断求解.【解答】解：m2+l（m 为实数）2 1,.,.A：m2+l定有平方根,B：当m=0 时，m2+l有最小值1,D：m2+l的算术平方根大于等于1,C：当m=时，m2+l是无理数，故选：C.21.（2023春雎北月考）当a 取什么值时，,2a+l+1的值最小？请求出这个最小值.【分析】根据寂2a+l川,即 可 求 得 a 的值，以及所求式子的最小值.【解答】解：,.收+1 当a=-时，：2a+l有最小值,是0.则。
2a+l+1的最小值是1.【类型四：巧用平方根的定义解方程】(20 23 秋永修县期中)已知一个正数 的两个不相等的平方根是a+5 与 2a -1 1.(1)求 a及 m的值；(2)求关于x的方程a x 2-1 6=0 的解.【分析】(1)根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；(2)根据平方根的定义解方程即可.【解答】解：(1)由题意得：a+5+2a-1 1 =0,解得：a =2,二m=(a+5)2=4 9；(2)原方程为：2x 2-1 6=0,二 x 2=8,解得：X=2&.23.(20 23 春蹶野区校级期中)解方程：(1)1 6 x2=4 9；(2)(x-2)2=6 4.【分析】(1)(2)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，由此即可求解.【解答】解：(1)1 6 x 2=4 9,(2)(x-2)2=6 4,；.x-2=8,.x=1 0 或 x=-6.24.(20 23 春国和县期中)解方程:)25 2-4 9=0；(2)2(x+1)2-4 9 =l.【分析】(1)利用一元二次方程的解法求解即可;(2)把(x+1)看作一个整体，求解即可.【解。