会计学1热传导方程热传导方程(fāngchéng)和定解条件和定解条件第一页，共25页 2热的传播(chuánbō)按傅立叶（Fourier）实验定律进行：物体(wùtǐ)在无穷小时段内流过一个(yī ɡè)无穷小面积的热量与物体温度沿曲面法线方向的方向导数成正比，而热流方向与温度升高的其中称为物体在点处的热传导系数，为正值.当物体为均匀且各向同性时，为常数，为曲面沿热流方向的法线. 方向相反，即第1页/共24页第二页，共25页 3为了(wèi le)导出温度所满足(mǎnzú)的方程,在物体(wùtǐ)G内任取一闭曲面它所包围的区域记作则从时刻到时刻经过曲面流入区域的热量为其中表示对曲面的外法向导数.第2页/共24页第三页，共25页 4流入的热量(rèliàng)使区域内部(nèibù)的温度发生变化,在时间(shíjiān)间隔中物理温度从变化到所需要的热量为其中为物体的比热,为物体的密度.如果所考察的物体内部没有热源,由于热量守恒,第3页/共24页第四页，共25页 5先对进行(jìnxíng)变形利用(lìyòng)奥-高(Gauss)公式设函数(hánshù)关于变量具有二阶连续偏导数,关于变量具有一阶连续偏导数,可化为第4页/共24页第五页，共25页。
6而可化为因此(yīncǐ)由移项(yí xiànɡ)即得（利用牛顿(niú dùn)-莱布尼兹公式）第5页/共24页第六页，共25页 7由于(yóuyú)与区域(qūyù)都是任意取的,并且(bìngqiě)被积函数是连续的,于是得上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.如果物体是均匀的,此时为常数,记则得齐次热传导方程第6页/共24页第七页，共25页 8如果(rúguǒ)所考察的物体内部有热源(例如物体中通有电流(diànliú),或有化学反应等情况),设热源密度(mìdù)(单位时间内单位体积所产生的热量)为则在时间间隔中区域内所产生的热量为同样由于热量要平衡,第7页/共24页第八页，共25页 9其中(qízhōng)非齐次热传导方程(fāngchéng)相对应的一维、二维热传导方程(fāngchéng)可类似写出第8页/共24页第九页，共25页 10二、定解条件(tiáojiàn)初始条件：表示初始时刻物体(wùtǐ)内温度的分布情况其中(qízhōng)为已知函数1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体表面温度函数为即第9页/共24页第十页，共25页。
112、第二类边界条件（诺伊曼Neumann） 特别地，如果(rúguǒ)物体表面上各点的热流量为0,绝热性边界条件已知物体(wùtǐ)表面上各点的热流量也就是说在单位时间(shíjiān)内流过单位面积的热量是已知的，其中由傅里叶实验定律可知是定义在边界曲面S，且上的已知函数.则相应的边界条件为第10页/共24页第十一页，共25页 121.3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程(fāngchéng)与定解条件与定解条件1.三维拉普拉斯(Laplace)方程(fāngchéng)(1)凡具有二阶连续偏导数(dǎo shù)并满足方程(1)的连续函数为调和函数.(调和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律.第11页/共24页第十二页，共25页 132.泊松方程(fāngchéng)(非齐次的拉普拉斯方程(fāngchéng))(2)方程(fāngchéng)(2)通常表示成或3. 拉普拉斯方程(fāngchéng)的边值问题第一边值问题(狄氏问题)第12页/共24页第十三页，共25页 14在空间(kōngjiān)某一区域的边界(biānjiè)上给定(ɡěi dìnɡ)了连续函数要求函数在闭区域上连续且在内调和,在边界上与给定的函数重合,即第二边值问题(诺伊曼问题)在空间某一区域的边界上给定了连续函数要求函数在闭区域上连续且在内调和,在边界上法向导数存在,且有其中n是外法线方向.第13页/共24页第十四页，共25页。
151.4 基本概念与基本知识基本概念与基本知识1.古典解:如果(rúguǒ)一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续(liánxù)偏导数,且满足该方程.2.自由(zìyóu)项:偏微分方程中不含有未知函数及其各阶偏导数的项.例如:齐次偏微分方程(自由项为0)非齐次偏微分方程(自由项不为0)第14页/共24页第十五页，共25页 163.叠加原理(yuánlǐ)考察(kǎochá)二阶线性偏微分方程其中(qízhōng)都是某区域上的已知函数.叠加原理设是方程(1)中第i个方程的解,(1)第15页/共24页第十六页，共25页 17如果(rúguǒ)级数(2)收敛(shōuliǎn),其中为任意常数,并且(bìngqiě)它还能够逐项微分两次,则级数(2)是下方程的解特别地,当方程(1)中的自由项时,则得相应的齐次方程为若是方程(3)的解,则级数(2)也是方程(3)(3)的解.第16页/共24页第十七页，共25页 三角函数(sānjiǎhánshù)系在上正交4.傅里叶(Fourier)级数(jí shù)第17页/共24页第十八页，共25页 19补充(bǔchōng)：三角函数(sānjiǎhánshù)积化和差公式第18页/共24页第十九页，共25页。
204.傅里叶(Fourier)级数(jí shù)设周期(zhōuqī)为的函数(hánshù)可展开成傅里叶级数,则(4)其中傅里叶系数满足(5)第19页/共24页第二十页，共25页 21当为奇函数时当为偶函数时(6)(7)第20页/共24页第二十一页，共25页 224.两个自变量的二阶微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)的分类一般的二阶线性偏微分方程具有如下(rúxià)的形状(8)其中(qízhōng)等都是自变量在区域上的实函数，并假定他们是连续可微的若在区域上每点则称方程(8)在每点为双曲型的；那么也则称方程(8)在区域内是双曲型的第21页/共24页第二十二页，共25页 23若在区域(qūyù)上每点则称方程(fāngchéng)(8)在每点为椭圆型的；那么(nà me)也则称方程(8)在区域内是椭圆型的若在区域上每点则称方程(8)在每点为抛物型的；那么也则称方程(8)在区域内是抛物型的第22页/共24页第二十三页，共25页 24例如(lìrú)：双曲型抛物型椭圆型第23页/共24页第二十四页，共25页 内容(nèiróng)总结会计学上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.。
如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有电流,或有化学反应等情况),设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体单位时间内流过单位面积(miàn jī)的热量是已知的，1.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律.2.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)1.4 基本概念与基本知识是方程(1)中第i个方程的解,第23页/共24页第二十五页，共25页。