对称结构的计算

§7-6 对称结构的计算对称结构是几何形状、 支座、 刚度都对称EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性： （正）对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向 反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向对称轴对称轴EIEI对称轴↓↓↓↓↓↓↓↓↓qFF1F1对称荷载对称轴↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qF F1 F1 m反对称荷载1任何荷载都可以分解成正对称荷载+反对称荷载FF1F2一般荷载aF/2PP正对称荷载aaF/2WW反对称荷载F/2aaF/2F1=W+P，F2=W—P 23、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)FF2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶 如果荷载对称，MP对称，Δ3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，MP反对称，Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

3EIEIEI①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的 a a））位于对称轴上的截面的位移位于对称轴上的截面的位移， 内力FFCuc=0、、θc=0FFFSC=0FSCFC等代结构 b b））奇数跨对称结奇数跨对称结构的等代结构是将构的等代结构是将对称轴上的截面设对称轴上的截面设置成定向支座置成定向支座对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0FFCCF等代结构FFC对称：uc=0, θc=0中柱：vc=0FFC对称：uc=0中柱：vc=0 F等代结构 c c））偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座FNCFNCMC2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法)4FFC2EIEIEIEI②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的 a）、位于对称轴上的截面的位移， 内力FFvc=0FFFNC=0，，MC=0FSCFC等代结构F等代结构F等代结构CFFC2EIFFC 2EIEIEIFNCFNCMCc）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆将对称轴上的截面设置成支杆5198103.581135kNm例：绘制图示结构的内力图。

↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m等代结构的计算103.581135MK kN·m198198103.581135kNm396207等代结构利用对称性计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；④非对称荷载分成对称和反对称荷载EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/m7FPEI=常数l/2l/2l/2F/2F/2l/2F/2 l/2l/4F/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1F/2l/21Mp解: 11 x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图8作图示刚架的弯矩图EI=常数FFFFFFABCFCBFl/8Fl/8Fl/8Fl/8FFFFl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/29例题：用力法计算图示结构并作M图EI=常数2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解: 11 x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=úûùêëé··+····=dEIEI13341M图(kN.m)2kN2kN 10无弯矩状态的判定无弯矩状态的判定：在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。

常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力－FM=0 2）一集中力沿 一柱轴作用，只有该柱有轴力－FM=0M=0 3）无结点线位移的结构，受结点集中力作用，只有轴力MP=0MP=0 Δ1P=0 δ11>0X1= Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0FFFFF11EI2EI1EI1FlhF/2F/2F/2F/2例：求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图M=0－F/2F/2等代结构X1基本体系l/2l/2X1=1MPF/2Fh/2EIlFhEIlhFh1211P82221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lFhkk2166+-=XP1111D-=d41626Fhkk·++4166Fhkk·+1241626Fhkk·++4166Fhkk·+41918 Fh4Fh2Fh2Fhk很小弱梁强柱k很大强梁弱柱4Fh41920 Fhk=3•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。

lIhIk12=13例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：将荷载分为正对承和反对称两组正对称结点荷载作用下各杆弯矩为零反对称荷载作用取等代结构如下1、取基本结构；2、力法方程：=+EI=CEAP/2P/2P/2P/2P/2P/2等代结构00P/2P/2X1基本体系X1=1X1MP3、绘 求系数 自由项4、解方程：5、按 绘弯矩图1512715127M图a14§7-7 超静定拱的计算方法 16m3m 15X1d111FHPD-=jcos N1F =1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=òjcos2dsEA+ò01dsEIyMP-=Dò2 N1dsEAF+òd2111dsEIM=òEI11dsMMPp=DòMP=M 0X1=1xyX1=1由于拱是曲杆δ11Δ1P不能用图乘法基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只考虑弯曲变形，计算δ11时，有时（在平拱中）还要考虑轴向变形 jj cossin0FHFSFN+ = f j sin cos0 FHFSFS - =0FH yMM-=求出F FH后，内力的计算与三铰拱相同即：三铰拱中：两铰拱中：d111FHPD-= 16MP=M 0 0 0＝≠E1A1FH=1X1=1d111FHPD-=MP=M 0ò=DdsEIMMPP11òò+= dsEAFdsEIM2 N12111d落地式拱带拉杆的拱作为屋盖结构 如果如果E E1 1A A1 1→∞→∞，则，则F FH* *→→F FH，，因而两者的受力状态基本相同。

因而两者的受力状态基本相同 如果如果E E1 1A A1 1→0→0，，则则F FH* *→0→0，，这时，带拉杆的三铰拱实际一这时，带拉杆的三铰拱实际一简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的 由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适当的加大拉杆的刚度当的加大拉杆的刚度FH*=1 17例：EI=常数，求FH拱轴线方程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓l81ql83ql162()xlqlM810-=()lxl2<

但是，在一般荷载作用下，两影响，两者内力不一定相等但是，在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的M=M0 －FHyql162M0－FHy18例：图示拱，EI=常数，求其水平推力FH拱轴线方程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2X1 对称荷载下，取三铰拱为基本体系，其MP=0∴　Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0，而 M=M对称=0基本体系＝＋在反对称荷载下，对称未知力X1=0↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2X1 M反对称=M1X1+MP=MP= M0-FHy而 F H反= =0＝＝↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ql 642ql 642M0 = M0＝M反对称MP 19对称无铰拱的计算对称无铰拱的计算F1F2F1F2C C1O O1F1F2X1X2X3000333322221211212111=D+=D++=D++PPPXXXXXdddddX3X2X2X1X1对称的基本体系= =oyxjcos2=-=FN2 yM001S11=== FN1FMdN21S2S12112++=òòòdsEAFFNdsGAFFkdsEIMMX1=1引起：X2=1引起：=0òò+¢-=dsEIadsEIy1ò-=dsEIy12dy‘yaò--=dsEIay¢òò¢=dsEIdsEIya1δ12= δ21=0　→x’O点的物理含义：jsin3-==FN3xMX3=1引起：òòò+=-=DdsEAdsEIydsEIyMPP22222cosjdEIEIòò==DdsdsMPP1111dòò==DdsxdsxMP2dEIEIP333201/EIaòò¢=dsEIdsEIya1y‘y‘x‘弹性中心O刚臂的端点O就是弹性面积的形心，叫弹性中心。

21例7-3 等截面圆弧无铰拱求内力l =10mΦ0Φ0RRf=2.5m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ADOq=10kN/mx’X2X2X1X1Φ0Φ0RR↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓AOq=10kN/my‘yayx解:求R和φ0 R=6.25mxφRdsMEIRdsMEIyayMM027. 0855. 1132222211121====¢-=-==òòddmEIdsdsEIyaRayyRx39. 5cossin=¢==+=¢=òòjj22三铰拱的水平推力505 . 2810108220=··===¢kNfqlfMFHC350507 .51=-=¢¢-FHFHFH%RdsMMEIqRdsMMEIxMPPPPP0223. 0224. 024223112-==D-==D=òòmkNRaXXMMmkNaRXXMkNXFHBA.98. 6)cos(.76. 2)(7 .5102121C2=-+===--== =jkNqRXmkNqRXPP7 .51827. 0.1 .47121. 0222221111==D-===D-=dd23§7-8 温度改变、支座移动时超静定结构的内力 由于超静定结构有多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）。

261、温度内力的计算（仅自由项计算不同）例7-6 图示刚架施工时的温度为15°C，使用期间（冬季）温度 如图求温度变化产生的内力EI=常数－35°－35°－35°+15°+15°+15°40cm60cm8m6mX1基本体系X1=166δ11X1+Δ1t=0023515t-=10 C-=o)35(15t--=D50 C=o1143223622666861EIEI=úûùêëé···+··=d6800=a1)81)(10()22/6686(6 . 050t·-··+·=Daa1N111XFFNXMM==111174.154326800EIEIXt-=-=D-=aad94.2FN=－15.74M&FN×αEI+15°+15°+15°－35°－35°－35°ååD±Δit= ±MNhttwawa0 温度改变时的力法计算特点：1）自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝 对值有关；2）系数计算同前；3）自由项计算ååD±Δit=MNhttwawa0272、 支座移动时的计算aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11= Δ1c=X1=MEI laX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l θaθa2）系数计算同前；自由项 ΔiC=－∑R·c c是基本体系支座位移。

3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝对值有关 支座移动时的力法计算特点：1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也不一样基本体系的支座位移产生自由项与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边28用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312l12112dd==·=EIl1EI3322l12211ddúûùêëéD-+=úûùêëéD-+=llEIXllEIXABBA64642122=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121ΔθAθBX2X129↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本体系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2Δ1=0Δ2=0当当 {原结构与基本体系受力和变形相同=36=－13.5求原结构的位移就归结求基本体系的位移X =16MCDDD求 ΔDH 1 6= — — （2×6×135－6×81） EI 6 1134= —— EI虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，计算结果相同。

例：例：ΔGVGG13M11.5 　　6×1.5 81 729=－ ——— · — = － —— 2EI 2 4EI §7-9 超静定结构位移计算30超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算c1c2M FN FSM FN FS RF=1M FN FSt1t2M FN FSF=1GAkFSEAFNEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a031å -cR综合影响下的位移计算公式aEI lM例7-7 求例7-5中超静定梁跨中挠度F=1l/41/2F=1l/2l/232求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时，若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单cEI, l,t0 ,ΔtF=1①②而：33Δc=－∑R*×c3Fl/16F=1aEI l例：求超静定梁跨中挠度5F/16例：求超静定结构，各杆EI为常数，截面为矩形，h=0.1l，求 A点水平位移ll/2l/215°15°15°25°AF=11/21/2l/2l/2F=1－1/2＋1－134例：超静定结构，各杆EI为常数,截面为矩形，h=0.1l，求C点竖向位移。

ll/2l/215°15°15°25°CF=1F=1403l403l－3/40－1/2－1/2解：在原超静定结构上虚拟单位荷载，并用力法求得其弯矩图和轴力图351）重视校核工作，培养校核习惯重视校核工作，培养校核习惯2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核； 或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算3）计算书要整洁易懂，层次分明计算书要整洁易懂，层次分明4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工 力法解题校核力法解题校核1 1））阶段校核阶段校核①①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否 几何不变几何不变②②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号③③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程解方程后校核多余未知力是否满足力法方程 §7-10超静定结构计算的校核362 2））最后内力图总校核最后内力图总校核4m2m2m4m200kN751251522.511.3 ＋＋＋－－FS图（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3FN图（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)B6040100∑M=02003.77515147.511.322.5∑X=3.7+11.3－15=0∑Y=75+147.5－200 －22.5 =0 37δij=∫MjMi/EI×ds=δji 力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0 将它们展开得到力法方程 Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i，j=1，2，……n其中：解方程，求多余未知力；按 M=∑Mj·Xj+MP 叠加最后弯矩图。

ΔiP=∫MPMi/EI×ds 这样，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件 注意：这个结论对温度改变或支座移动引起的超静定结构计算是不成立的3) 3) 变形条件校核变形条件校核δii=∫MiMi/EI×ds>0+=åòòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=òåPjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+åiPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP 384m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)BAXA=144200 380-= 12402044-·+3422410024úûù··-VA24200 21êëé·=DAX1=1111040¹=úûù14215301êëé·-+úûù1426030 21êëé·-+4220401úûùêëé·-=ò1dsIM=DåòdsEIMM0==òdsEIM封闭框结论:当结构只受荷载作用时, 沿封闭框形的M/EI图形的 总面积应等于零。

39X1=1M1111↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIABX1X1=166M1198103.581135MkNm=0()6811356266úûù·-··+26365 .1032··+3622198611êëé··-=DEI0=()12681135úûù··-+32268111êëé·-=DEI ()12681135úûù··-+32268111êëé·-=DEI40静定结构超静定结构荷载作用支座移动温度改变内力变形位移内力变形位 移由平衡条件求不产生内力不产生变形综合考虑平衡条件和变形连续条件来求κ M=—— EI＋αΔt —— h……静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表41超静定结构的特性：超静定结构的特性： 1、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系；、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系； 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出， 还必须考虑变形条件；还必须考虑变形条件； 3、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产 生内力。

生内力 4、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特 征有关，即与刚度有关征有关，即与刚度有关 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载 外因引起的内力与各杆的刚度绝对值有关外因引起的内力与各杆的刚度绝对值有关 5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载具有较、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载具有较 高的防御能力高的防御能力 6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小 局部的内力幅值和位移幅值局部的内力幅值和位移幅值l/2l/2l/2l/2FFFFFl/4Fl/442例题：力法解图示刚架↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIABCDq=23kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1X1基本体系X2X2X1X1=166M1X2X2=166M2q=23kN/m↑↑↑↑↑↑↑414MP1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝03）画单位弯矩图、荷载弯矩图，4）用（A）式求系数和自由项5）解方程，求多余未知力144X1+108X2－3726=0108X1+288X2=0X1=36，X2=－13.56）按 M=∑Mi·Xi+MP 叠加最后弯矩图198103.581135MkNm4344。