45角策略【原题呈现】如 图 1 所 示，在平面直角坐标系x O y 中，直 线 y=-x+m分 别 交 x 轴,y 轴 于 A,B 两点,已知点C 的坐标为(2,0).设P 为 线 段 O B 的中点，连 接 PA,PC.若 N C P A=4 5则 m 的值是.【研 题 策 略】来路紧 紧 抓 住 45角这一关键条件，形成解决此类问题的一条主线：“45构造等腰直角三角形构造直角三基本图形是解决综合性几何问题的一个很好的突破口，从复杂的图形中抽取出简单的基本图形，利用基本图形的性质，化难为易，顺利得解.思路1.“一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法，该模型在本题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所 以 我 们 利 用 45角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程.2.“三垂型”模型是一个基本图形，该模型不仅可以找到全等三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.3.由于45的一半，构造角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质.遇45角补全直角也是一种常见的手段.4.“半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转的方法，可以得到全等三角形，进而得到线段之间的关系.5.遇到直角问题，有时要回归勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中，我们经常会利用勾股定理构造方程.本题中依/CPA=45。
构造等腰直角三角形，同时得到APOAs/XCDA,一箭双雕，见 图9.6.“四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等一系列知识点，灵活多变.出 路56解法一构造“一线三等角“，利用相似三角形.如 图3所示，在y轴 截 取OD=OC,此 时/PDC=45可 以 证 得ABPOPDC.-.BP=BA.CD PD由 CD=2JZAB=BP=%DP=0 +2,可得 S：2 0 =V7m:（0 +2）,解得 mx=12或 m2=0（舍去），故2 2 2 V2 7m=12.解法二构造“三垂型，模 型，利用全等三角形.如 图4所示，过 点C作CDLCP,交A P于 点D,作D E x轴,垂足为E,易得 OPC会ECD.DE=OC=2,CE=OP=,A E =0 A-0C-CE=-22 2,/DE/OP,.DE-AEOP AO2:%=（2.-2）:m,解 得mi=12或m2=0（舍去）.故m=12.解法三构造“角平分线”，运用内角平分线的性质.预备知识：如 图5所 示，A D是 ABC的角平分线，则 有 也=改.AC CD图S如图6 所示，过点P 作.P D J.P 4,?ZAPC=45,/.CP 为 AaPD 的角平分线.PD.CD.PA AC.PD=Q P=Z =1，点 D 的坐标（如 o PA OA m 2 V 4 7工=二2 m-2解得m=12.解法四构造“正方形”，借用正方形旋转.预备知识：如图7 所示，在正方形ABCD中，点 E,F 分别在BC和 CD上，且 NR4F=45。
贝 U BE DFEF.如图8 所示，过点P 构造正方形OPDE.根据几何知识，有EN=DN=吗4根据预备知识，得 CN=%2.4；C E=2 2,在 ACEN中，有（-2）2 ）2=（彳 2）2,解得m1=12或 m2=0（舍去）.故m=12.解法五构造“三角形的高“，回到勾股定理.如 图9所示，作(CD，2 P,垂足为点D,可 知 PCD为等腰直角三角形.由 PO:AO=CD:AD=l:2,AC=m-2,易得 CD=(m-2),PC=(m-2).55在R tA PO C中,利用勾股定理，得Of +22=2解 得nh=12或m=一出舍去).故m=12.Z 3解法六2构造“四点共圆”，运用两点间的距离公式.如 图10所示，以A C为直角边构造等腰直角三角形ADC,CD交A B于点E.因为 ND=NAPC=45所 以A,C,P,D四点共圆，且 以CD为直径,E为圆心.因为点D的坐标为(m,m-2),点P的坐标为(0，与,点E的坐标为(E2，叱与,2 2 2根 据EP=EC,得(S2.-0)2+(g 叼 2=悭(6 _ 2)，解 得mi=12或m2=0(舍去).故m=12.【举一反三】1.如图所示,已知点A(2,3)和 点B(0,2),点A在反比例函数y=K的图象上.作射线A B,再将射线A B绕 点A按照逆时针方向旋转45。
交反比例函数的图象于点C,则点C 的坐标是2.如图所示，在平面直线坐标系xOy中，直线A B 的表达式为丫 =nX,点 M(2,l)是直线A B上一点，将直线A2B 绕点M 顺时针旋转45得到直线CD,求直线C D 的表达式.3.如图所示，在平面直角坐标系xO y中，一次函数.y=2%1的图象分别交x 轴，y 轴于点A,B,将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45交 x 轴于点C,则直线B C 的表达式是(第3地图)。