上 海 中学数 学 · 2 0 1 3年 第 5期 9 从几何 图形 中提取“ A“ 形或“ X “ 形解题 2 2 5 5 0 0 江 苏省姜堰 市励才 实验 学校 张 宇石 在学 习三 角形 相 似 判 定 方法 中 ， 用 的较 多 的 一 种便是两角对应相等得相似 ， 由此衍生了“ 平行于三 角形一边 的直线与其它两边 ( 或延长线) 相交 ， 则所 构成 的三角形与原三角形相似” 这一性质． 转化为图 形 即为 图 1 通 常称 为“ A” 形 ， 图 2称 为 “ X” 形 ． 解 题 时都是从较复杂的图形 中提取 出这两种图形 ， 看似 简 单 ， 但真 正做起 来并 不容 易． 于是可 将原 定理 1 拓 广为 ： 结论 1 已知 F 、 F 为椭 圆 C 的两焦 点 ， 双 曲 线 C 的顶 点 是 该 椭 圆的 焦点 ， 设 P 为 该 双 曲线 上 异 于顶 点 的 任 一 点 ， 直 线 PF 和 P F 与 椭 圆 的交 点分别为 A、 B和 c、 D． 则 为定值 的充 要条件是双曲线 C 的离心率为√ 2 ． 在椭 圆 C 中， e= = = ，声一 u_ ， 所 以 定 值 l ABl + l C Dl 一2 me 一a +6 l AB l ·I C Dl 2 e p 2 a b 。
‘ 显然若 椭 圆 C 与 双 曲线 C 顶 点 焦 点 互置 ， e 双 一√ 2 ∞P 椭一 - 6 - ． 因此原定理 1 是本结论的特例． 仿上述处理方法， 易得如下两结论 ： 结论 2 已知 F 、 F 为椭 圆 C 的两 焦点 ， 设 P 为 以 F F 为 直径 的 圆 O 上 异 于 F 、 F 的任 一点 ， 直线 PF 和 P F 与 椭 圆 的交 点 分 别 为 A、 B 和 C、 0 为定值． 略证 ：设直线 PF 、 PF 的倾斜 角分别为 、 0 2 ，由 前 面 的 探 究 过 程 ，得 + 一 ，因 为 P F 上 PF ，所 以 ———— ——一’I △ l j — r 上 2 ’ l 以 t a n 0 l t a n 0 2 一 一 1 ， 因 此C O S 0 1 + C O S 0 2 — 1 ， 所 以 C D 一 2 e p 一 2 a b ( 定 I AB l ·l I 、 结论 3 已知 F 、 F 为 双 曲线 C 的两焦 点 ， 双 曲线 C z的顶点是双曲线 C 的焦点 ， 设 P为双曲线 C z上异于顶点的任一点 ， 直线 P F 和 ．P F 与 C 的 图 1 图 2 一、从 已知 图形 中找相似 三 角形 的对数 例 1 ( 苏科版八下教材 1 2 1页第 4题改编) 交点 分别 为 A、 B 和 C、 D． ( A、 B在 C 的 同一 支 上 ， C、 D 也 在 C。
同一支 上 ， 或 A、 B 在 C 的两 支 上 ， C、 D也在 c 两支上) ， 则 为定值 的充要 条件是双曲线 C 的离心率为√ 2 ． 略证 ： 设双曲线 C 的半实轴、 半虚轴、 半焦距、 离心率分别为 n 、 b 、 C 、 e ， 双 曲线 C 的半实轴、 半 虚轴 、 半焦距、 离心率分别为 a 、 b 、 c 、 e ： ， 设双曲线 C 的极 坐 标 方 程 为 P — e l p ， 直 线 PF 、 PF z 的 倾 斜 角 分 别 为0 、0 ，在 双 曲 线C 中 ， ! 旦J ±l 旦I 一— 一 — 一 一 l AB1 ·l C DI J AB 1 l C Dl l 鱼 l ， 在 双 曲 线c 中 ， t n 2 I e1 声 l ’ 、 ⋯ t an z 一筹 ， 所 以 c s + c 一 ta n+ 口 i l 十 1 】 一氅 雨 + 是 为 定 值 管 一 筹 一 甘 n === 6 ㈢ e 一 ．即 为定值 的充要条件是双曲线 c 的 离 心 率 为 ． 定 值 为 I 1． 参 考文 献 7 0 上 海 中学数学 · 2 0 1 3年第 5期 在△AB C中， DE∥AC， 分别交 AB、 B C于点 D、 E， MN／ ／B C， 分 别交 AB、 AC于点 M 、 N， DE、 MN 相 交 于点 0． 图 中 与 AABC相 似 的三 角 形 有 对， 请把它们表示出来． 解析 ：由 MN／ ／ BC、 DE／ ／ AC， 可得 到很 多 A 形或 X形 ， 不妨 提取 出来 ， 如 A A C A B c 8 c 图 3 由图 3分别 可得 ： △DB E CO AAB C， △DM0∽ △AB C，△A MN∽ AAB C， 所 以 图 中 与 △ABC相 似 的三角形 有 3对． 二 、提取 “ A” 形 计算 例 2( 2 0 1 2年无 锡市 ) 如图 4 ， △AB C 中， A C B 一9 0 。
， AB一8 c m， D 是 AB 的 中点 ． 现 将 △BC D 沿 B A 方 向平 移 l c m， 得 到 △E F G， F G 交 AC 于 H ， 则 GH 的长 等于 Cm 解析 ： 首 先利 用直 角三 角形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的一半 得 AD=B D—C D == ： 1 AB一 4 c m； 然 后 由平 A 移的性质推知 GH∥C D， 从 G D E 图 4 ＼ 一＼ B 图 5 C 而提 取“ A” 形 ( 如 图 5 ) ， 再 由△AGHo o AADC列 出 比例 式 ， 即可求得 GH 的长度 ． ‘ ． ‘ AAB C 中 ， AC B 一9 0 ， AB一 8 c m， D 是 AB 的 中 点 ， ． ‘ ． AD— B D— C D=AB一4 c m； 又 ． ’ △EF G 由△B C D 沿 B A 方 向 平移1 c m 得 到 的，． ‘ ． GH ／ ／C D， G D — l c m，． ． AAGHo o AADC( ]t [ 1 [] 5 ， A 形 ) ， 一 即 一 A ，解得 GH一3 c m． A ， ) 三 、提取 “ X ” 形计算 例 3 ( 2 0 1 2年 山东 日照 ) 如 图 6 ， 在菱 形 AB C D 中 ， E 是 BC 边 上 的 点， 连接 AE交B D 于点 F， 若 E C= 图6 2 B E， 则 的值是 ( ) A ． ÷ B ． ÷ 解析 ：由菱形 AB C D得 AD／ ／ B E( 如 图 7 ) ， 所 以△B EF COAADF， 又 由 E C=2 B E， 得 AD=BC =3 B E， 故 而B F 一 B E 一 ÷ ． 故 选 B ． 例 4 ( 2 0 1 2年 陕 西 ) 如 图 8 ， 在 [ Z 7 AB C D 中 ， AB C 的平 分线 B F 分 别 与 AC、 AD B 交 于点 E、 F． ( 1 )求证 A B—AF ； D． 0 图 8 图 7 C D D ( 2 )当AB=3 ， BC =5时， 求 AE的值． 解析 ：( 1 ) 由 Z i - 角 对 等 边 来 进 行 证 明 ； ( 2 ) 由 △AE F ∽△c E B先求出A E ，再 求 筹．解 ：( 1 )如 图 9 ， 在平 行 四边形 ABC D 中， AD／ ／ B C， ．’． 2 一 3 ． 。
． BF是 AB C 的 平 分 线 ， ． · ． 1 一 2 ．． · ．B F 1一 3．． ‘ ． AB= AF． 图 9 ( 2 ) AF／ ／ BC ． AAEFCOAC EB ． AE— AF一3 ．AE一3 一 i ’ 一 ‘ 四、A 形和 X形 的综合应 用 例 5 ( 2 0 1 2年 衢 州 市 ) 如 图 1 0 ， 口ABC D 中 ， E是 C D 的延 长 线上一 点 ， B E与 AD交 于点 F， C D一 2 DE． 若 △D E F 的 面 B 积 为 a ， ．~ I] L z J A B C D 中 的面积 为 ．( fi t a的代数式表示) 图 1 0 C 解析 ： 根 据 四边 形 AB C D 是平 行 四边 形 ， 利 用 已知 得 出 △DE F∽ △ C E B( 如 图 l 1 ) ， △DEF∽ △AB F( 如 图 1 2 ) ， 进而利 用相 似三 角形 的性 质分 别 得 出△C E B、 △ABF 的 面积 为 9 口 、 4 n ， 然 后 推 出 四 边 形 B C DF 的 面 积为 8 n ， 则口AB C D 的 面积 为 8 n + 4 口， 即 1 2 a ． E F 图 1 1 图 1 2 上海 中学 数 学 · 2 0 1 3年第 5期 对福建省一道高考试题的一般性探究 2 0 1 9 0 0 上海 市宝山中学 李党望 试题( 2 o 1 2福建高考文科 2 1 题) ： 如图 1 ， 等边三角形 Q 的 边长为 8 √ 3 ， 且其三个顶点均在 抛物线 E： =2 p y ( p ~O ) 上． ( 1 )求抛物线 E的方程 ； ( 2 )设动直 线 Z 与 抛物 线 E 相切于点 P， 与直线 一一1 相较 ．∥ o 图 1 例 6( 2 0 1 2年河南) 类 比、 转化、 从特殊到一般 等 思想方 法 ， 在数 学学 习和 研究 中经 常用 到 ， 如下 是 一个案例， 请补充完整． 原题 ： 如 图 1 3 ， 在~ 2 AB C D 中， 点 E 是 B C边 上 的中点， 点 F是线段 AE上一点， B F的延长线交射线 c D 于 点 G ， 若 --= 3 ，求 器的 值 ． ( 1 )尝 试探 究 过点 E作交 B G 于点 H， 则 AB和 EH 的数量 关 系 是 ，C G 和 EH的 数 量 关 系 是 ， C D的值是 ( 2 )类 比 延 伸 在原题 的条件下 ， 若 AF一 ( >0 ) 则 C D的值 是 ——( 用含 的代数式表示) ， 试写 出解答过 程 ． ( 3 )拓展 迁移 如图 1 4 ， 梯形 AB C D 中， D C／ ／ A B， 点 E是 B C延 长 线 上 一 点 ，A E 和 肋相 交 于 点 F ， 若 筹一 n ，菔B C 一 6 ( 口 > o ，6 > o ) ，则 等的 值 是 ( 用 含 a ，6 的 代 数 式 表 示 ) ． B E C 图 1 3 图 1 4 B B E 图 1 5 解析 ：( 1 )利用 EH／ ／ AB得AEHFo o AAB F ( 提 取 出 X形 ， 如 图 1 5 ) ， 对 应 边 成 比 例 得 AB一 于点 Q 证明以 P l 为直径的圆恒过 轴 上某定点． 解 ：( 1 ) 一4 y ． ( 过程 略 ) ( 2 ) 过 定 点( O ， 1 ) ． ( 过 程略 ) 我们 发现 ( O ， 1 ) 恰好 是该 抛物 线 的焦 点 ， 直线 Y 一一1 恰 好是该抛物线的准线 ， 这是巧合还是规律 性表现 ， 值得研究． 于是笔者做 了一般性研究 ， 得 出 有 关切 线 的一个结 论 ． 结论 1 ：如图 2 ， 过抛物线 一2 p y上任意一点 3 EH， 然后 利 用 中 位线 定 理 得 C G一 2 EH ， 又 I ． I C D =AB， ． ． ． 得 出。