@ 00 {数喾}教粤研究 一个数的“弃九数”，也叫这个数的“九余数”或“去 九数”，指的是这个数除以9的余数用“弃九数”进行验 算的方法叫“弃九验算法”，又称九余数法，简称“弃九 法”它是依据九余数的特点，用来检验加、减、乘、除(包 括带余除法)四则运算是否正确的一种简便的验算方法 一、九余数的求法 要学习弃九验算，必须熟练地、准确地求出一个数的 “弃九数”求一个数的“弃九数”的方法至少有3种其 一，可以直接用9除这个数，得到余数如求356的“弃九 数”， 356÷9=39……5，5即为356的弃九数 其二，可根据被9整除的数的性质求弃九数，即将一 个数各位上的数字相加得和，再将这个和的各位上数字 相加……直至这个和小于9，即为弃九数 35643+5+6=1441+4=5，5即为356的弃九数! 其三，把一个数中的数字0，数字9或相加得9的几 个数字都划去，将剩下数字相加得和，再将这个和的各位 上数字相加……直至得到一个小于9的数，这个数就是 原数的弃九数如 356—3 5 6—5，非常简便!再如求71 264 398的弃九 数， 71 264 398 罕{2 6 4 3 9 8_÷4即为7l 264 398的弃 九数! 这三种求弃九数的方法一种比一种简单，但是其原 理并非每位教师都明白!因为这属于“小学没法讲，中学 不用讲”的知识，可以用初中的代数式知识加以研究!我 们设一个n位整数N=all·1O l·10r卜 +……+a2·102+al· 1O+a0，那么 N=arI·(99……9+1)+an_l·(99……9+1)+……+a2‘ (99+1)+a1．(9+r)+a0 =9·(all·11……1+a l‘11……l+……+a2 ll+al 1)+ 己日 是龙江鞍育．，Jl尊‘文匮 ar卜，+……+a2+a + 由此可见，N的九余数正好是各位 数字之和arl+ar卜1+……+a2+al+ao，若an+ar卜l+……+a2+al+a0 不小于9，继续重复上面的步骤，直到得到小于9的九余 数，这就是方法二的原理! 在各位数字之和 I+aI卜1+．．…·+a2+a。
ao中，如果各位 数字中有数字aIl，ar卜 …一，a2，a，，a0中有数字O，数字9，或 者两个、三个数字之和正好等于9，那么它(们)的九余数 则为0，因此可以把这样的数字都划去，这就是方法三的 原理!例7 1264 398中，7+2=9，1+8=9，6+3=9，还有一个数 字9，划去它们后就剩下一个数字4，4即为7 l264 398的 弃九数!这个“弃”字，真是一字传神呀! 二、弃九法的原理与应用 有了以上的九余数的求法，下面就可以介绍弃九法 的原理了一个m位整数，可以表示成M=9R其中 0≤t．<9，即t1是M的九余数；同样一个n位整数N，可以 表示成N=9R~，其中0≤t2<9，即t2是的九余数那么 M+N=OR1+t1)+(9R2十 =OR1+9R9+0l+t9 =9(R1+R2)+(1l+t9 由此可见和M+N的九余数等于t +t2，正好是加数 M=9R +t与加数N=9R~的九余数之和，我们直接用t (加数M的九余数)+t：(加数N的九余数)=tl2(和 M+N的九余数)来验证加法运算的正确性，这就是加法 弃九法的原理!必须指出：t (加数M的九余数)+l2(加数 N的九余数)=h+t，(和M+N的九余数)成立，只是原加 法运算正确的必要条件，而非充分条件，也就是如果t。
(加数M的九余数)+t2(加数N的九余数)≠tt+t2(和 M+N的九余数)，那么加法运算的结果肯定是错误的! 因而只能判断原加法运算可能是正确的读者可自行探 索减法弃九法的原理 至于乘法M·N=OR)(9R2+ =81RlR2+9Rlt2+9R2tl+tlt2 =9(9RIR2+Rlt2+R2tI)+tlt2 可见积M·N的九余数等于t·t2,正好是乘数M =9R +t 与乘数N=9R2+t2的九余数之积! 检验除法时，根据乘除法的互逆关系，如果商和除数 的九余数之积的九余数，等于被除数的九余数，那么，计 算结果可能就是正确的 还有一种运算——带余除法，例如29÷6=4……5， 由乘除法的互逆关系，得4×6+5=29，用商和除数的九余 数之积的九余数，再加上余数的九余数，相当于乘法与加 法的合成，即4×6=24的九余数是6，加上余数5的九余 数5等于11，它的九余数是2，正好是被除数29的九余 数2，那么，计算结果可能就是正确的 原理既明，下面我们举例验证： 例1加法 加数137 积舞 ¨ 2加 375的弃九教 和1112的弃九数 加数 的弃九数 加数§75的弃九数 和的弃九数 2 + 3 = 5 (2)加法运算可能正确! 为便于理解，我们称(1)式为原运算算式，称(2)为弃九 法验算算式。
下同! 例2减法 2 374—968=l 406 2 374～968 一1 40614 ．1“制1 6+8= I (3+4=7)一(1+4= 5 7 1+ 1 =2，．显然7-5=2， 减法运算可能正确! 例3乘法 3 l69×732=2 319 708 3 169×7327 2 319 708，显然1×3=3，可见乘法运算 可能是正确的! 例4除法 24 564÷267=92 92 267 7 24 5642 6=12 ，一2+644=12 × 1+2=3 7 l+2=3，该验算对商92与除 数267的九余数的积12，又求了九余数得3，正好等于被 除数24 564的九余数3，可见除法运算可能是正确的! 例5带余除法 24 564÷263=93……105 93×263+105 7 24 564 3×2=6 l+5：6 2+6+4=12 6+6 7 12，作为验算，此时就可判断带余除 法运算可能是正确的! 说明(1)验算过程中的隐形运算，为便于理解，已用 小字呈现，读者可慢慢体会 (2)例4中的隐形运算，已可确定除法运算可能正确 的，不必进一步运算到3=3 (3)例1—4，仔细呈现了验算的过程；作为验算的技 00 一一一一一一一{叛尝}毅尝研霓 巧，例5中有充分的表现。
(4)弃九法的验算过程，熟练以后完全可以心算完成， 省时省力 用弃九法来检验加、减、乘、除(包括带余除法)四则 运算，尽管非常简便明了，但是得到的结论却是“运算可 能正确”，或者“运算可能是正确的”!这是为什么呢?以 例1为例，137+975=1 112是正确的，其正确性不论用什 么方法都可验证；而且单纯从数学上讲，答案还是唯一的! 问题是假设有人凑出137+975=1 121，或者137+975= 1 202，(当然不只这两个!)让你用弃九法验算，那么 你的结论仍然是“运算可能正确”，或者“运算可能是正 确的”，在数学上是成立的!因为这样表述遵守了数学的 规范，符合了数学的逻辑，没有违反数学语言的严密性； 因为“可能”，就意味着0％～100％的各种可能情况!因 此对于加、减、乘、除(包括带余除法)四则运算，弃九法 验算算式相等，只是原运算算式相等的必要条件，而非充 分条件，当然弃九法验算算式不相等，则原运算算式肯定 不相等，原运算当然不正确，这已经达到验算的目的—— 指示我们重新演算! 其实只要按照加、减、乘、除(包括带余除法)的四则 运算法则进行运算，可能出现的错误类型往往是进位、借 位、错位等，这些错误较易用弃九法检验出来；如果不是 刻意去凑，出现137+975=1 121，或者137+975=1 202的 可能性非常小!可以这样讲，弃九法是针对大概率事件的 检验方法，它的检验是有效的!在小学，乃至中学的数值计 算中，是很有用处的。
三、弃九法的局限 使用弃九法，在检验多位数四则运算时，也有一定的 局限性，遇到下列情况，往往检验不出计算结果的错误 f1)数字抄写时，如果颠倒了位置例如：8 372误写成 8 327，它的九余数并没有改变，即使计算结果错误，也往 往检验不出来 (2)数字中出现丢0或多0时例如：53 209误写成 532 009或5 329，误写后的数的九余数也没有改变，计算 结果发生错误，也往往检验不出来 (3)弃九法也适用于对小数四则计算结果的检验，仍 用上述整数四则的法则验算但如果小数点点错了位置， 如：93．28误写成9．328或932．8，由于都不影响九余数，因 此，发生这类错误则检验不出来 尽管弃九法存在着上述的局限性，在一般情况下，较 之用重复计算或逆运算的方法进行验算，可以省时省力， 仍不失为一种易行实用，快捷简便，行之有效的检验方 法 (选自《中小学数学》) 是龙江赣育．，J·学 上进 己9 。