3-4,角动量算符,一、角动量算符,二、角动量算符的本征问题,3-4,角动量算符,一、角动量算符,粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物理量为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为,轨道角动量,1,轨道角动量算符的定义,利用,可以把角动量算符变成球坐标系中的形式,例如，的表达式推导如下：,如果粒子围绕 轴旋转，只有 改变，则,2,对易关系,二、角动量算符的本征问题,1,的本征问题,周期性条件,所以,称为轨道角动量,磁量子数,归一化,归一化的本征函数,2,的本征问题,分离变量,其中，由求解过程可知，为使 在区间 内有限，必须,方程的解,式中的 为连带勒让德多项式称为,球谐函数,，其归一化常数为,球谐函数满足的归一化条件为,总结,：算符 的本征值和本征函数为,其中，称为轨道,角动量量子数,，称为,磁量子数,前几个球谐函数：,3,讨论,（,1,）本征函数 是算符 与 的共同本征态2,）量子数 和,的本征值为 ，所以角量子数,l,表示轨道角动量大小由于,l,取值间断，所以 取值量子化对应的态分别为 的本征值为 ，所以磁量子数,m,表示轨道角动量在,z,轴上分量的大小由于 取值间断，所以 取值量子化。
3,）本征值的简并度,因为,l,一定时，,m,可取,2,l+,1,个不同的值，所以 本征值的简并度为,2,l+,1,如,l,=2,时，对应的态分别为,3-5,共同完备本征函数系 力学量完全集,一、共同完备本征函数系,二、力学量完全集,3-5,共同完备本征函数系 力学量完全集,一、共同完备本征函数系,并不是任意两个算符都可以有完备的共同本征函数系，,当且仅当两个算符相互对易时，它们才可能存在完备的共同本征函数系，或者说，它们才可能同时取确定值定理,1,：若算符 与 分别满足本征方程,则必有,证明：,于是,对于任意态,所以,定理,2,：若算符 和 对易，即 ，且算符 满足本征方程 的解 是无简并的，则 也必是算符的本征态证明：,所以，也是算符 的对应本征值 的本征态，它与 只能相差一个常数因子，即,实际上，当算符 的本征值有简并时，可以证明上述结论也是正确的，但是，此时的共同本征函数系需要加以适当选择二、力学量完全集,算符 的本征值简并，仅由量子数 无法唯一地确定其本征态要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符 这样的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能唯一地确定体系的状态。
将其推广之，,如果有,N,个相互对易的力学量算符能唯一地确定体系的状态，就将这,N,个力学量称为,力学量完全集,，或者,完整力学数量组,在力学量完全集中，,力学量的数目一般与体系的自由度数相同,例如：,动量算符,相互对易，有共同完备的本征函数系 在 态，它们同时具有确定值 、，能唯一地确定自由度为,3,的自由粒子的运动状态，构成该体系的,力学量完全集,氢原子中电子的,相互对易，它们有共同完备的本征函数系,在态 中，它们同时取确定值，构成了描述氢原子中电子轨道运动的,力学量完全集,。