第二节 一元二次不等式及其解法 1.1.一元二次不等式的定义一元二次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数是只含有一个未知数且未知数的最高次数是____的不等式叫做一的不等式叫做一元二次不等式元二次不等式. . 2 2 2.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表表 判别式判别式Δ=bΔ=b2 2-4ac-4acΔ>0Δ>0Δ=0Δ=0Δ<0Δ<0二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a>0)(a>0)的图象的图象 判别式判别式Δ=bΔ=b2 2-4ac-4acΔ>0Δ>0Δ=0Δ=0Δ<0Δ<0一元二次方一元二次方程程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a>0)(a>0)的根的根有两相异实数根有两相异实数根有两相等实有两相等实数根数根x x1 1=x=x2 2= =没有实数根没有实数根axax2 2+bx+c>0+bx+c>0(a>0)(a>0)的解集的解集______________________________________________________axax2 2+bx+c<0+bx+c<0(a>0)(a>0)的解集的解集______________________{x|xxx>x2 2} }{x∈R|x≠{x∈R|x≠{x|x{x|x1 10(a≠0)+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数中，如果二次项系数a<0a<0，则可先根，则可先根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解. . 1.1.不等式不等式(x+2)(x-1)>4(x+2)(x-1)>4的解集为的解集为( )( )(A)(-∞,-2)∪(3,+∞) (B)(-∞,-3)∪(2,+∞)(A)(-∞,-2)∪(3,+∞) (B)(-∞,-3)∪(2,+∞)(C)(-2,3) (D)(-3,2)(C)(-2,3) (D)(-3,2)(2)(2013(2)(2013··广广东高考高考) )不等式不等式x x2 2+x-2<0+x-2<0的解集的解集为 . . 考向考向 1 1 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 2.2.函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为( )( )(A)(A)［［0,30,3］］ (B)(0,3)(B)(0,3)(C)(-∞,0(C)(-∞,0］］∪∪［［3,+∞) (D)(-∞,0)∪(3,+∞)3,+∞) (D)(-∞,0)∪(3,+∞)【【解析解析】】选选A.A.依题意有依题意有3x-x3x-x2 2≥0≥0，解得，解得0≤x≤30≤x≤3，即定义域为，即定义域为［［0,30,3］］. . 3.3.关于关于x x的不等式的不等式axax2 2+bx+2>0+bx+2>0的解集是的解集是 则则a+b=( )a+b=( )(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14【【解析解析】】选选D.D.由题意由题意 是方程是方程axax2 2+bx+2=0+bx+2=0的的两个根，所以两个根，所以 解得解得a=-12a=-12，，b=-2,b=-2,故故a+b=-14a+b=-14，选，选D.D. 【【典例典例1 1】】(1)(2013(1)(2013··大连模拟大连模拟) )已知函数已知函数f(x)=(ax-1)f(x)=(ax-1)··(x+b)(x+b)，，如果不等式如果不等式f(x)>0f(x)>0的解集是的解集是(-1,3)(-1,3)，则不等式，则不等式f(-2x)<0f(-2x)<0的解集是的解集是( )( )(A)(-∞, )∪( ,+∞) (B)( , )(A)(-∞, )∪( ,+∞) (B)( , )(C)(-∞, )∪( ,+∞) (D)( , )(C)(-∞, )∪( ,+∞) (D)( , ) 4.4.不等式不等式4x4x2 2-mx+1≥0-mx+1≥0对一切对一切x∈Rx∈R恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围的取值范围是是_______._______.【【解析解析】】依题意，应有依题意，应有Δ=(-m)Δ=(-m)2 2-4-4××4 4××1≤0,1≤0,即即m m2 2-16≤0-16≤0，解得，解得-4≤m≤4.-4≤m≤4.答案：答案：［［-4,4-4,4］］ (3)(3)解关于解关于x x的不等式的不等式axax2 2-(a+1)x+1<0.-(a+1)x+1<0. 【【思路点拨思路点拨】】(1)(1)根据不等式解集的端点与相应方程的两根根据不等式解集的端点与相应方程的两根之间的关系之间的关系, ,建立方程组求得建立方程组求得a,ba,b的值的值, ,再解不等式再解不等式f(-2x)<0.f(-2x)<0.(2)(2)本题考查二次不等式的解法本题考查二次不等式的解法, ,注意应用口诀注意应用口诀““小于取中间小于取中间””. .(3)(3)首先对首先对a a的符号进行分类讨论的符号进行分类讨论, ,在每一种情况中在每一种情况中, ,如果有必如果有必要再按照根的大小进行讨论要再按照根的大小进行讨论. . 【【规范解答规范解答】】(1)(1)选选A.A.不等式不等式f(x)>0f(x)>0，，即即(ax-1)(x+b)>0(ax-1)(x+b)>0，其解集是，其解集是(-1(-1，，3)3)，所以，所以 解得解得于是于是f(x)=(-x-1)(x-3)f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式，所以不等式f(-2x)<0f(-2x)<0即为即为(2x-1)(-2x-3)<0(2x-1)(-2x-3)<0，，解得解得 或或(2)x(2)x2 2+x-2=(x-1)(x+2)<0,+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得解得-21}.{x|x>1}.②②当当a≠0a≠0时，原不等式可化为时，原不等式可化为若若a<0a<0，则上式即为，则上式即为又因为又因为 所以此时不等式的解集为所以此时不等式的解集为{x|x>1{x|x>1或或 }.}.若若a>0a>0，则上式即为，则上式即为(ⅰ)(ⅰ)当当 即即a>1a>1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为(ⅱ)(ⅱ)当当 即即a=1a=1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为；；(ⅲ)(ⅲ)当当 即即01}x>1}；；当当a=0a=0时，时，{x|x>1}{x|x>1}；；当当01a>1时，时， 【【规律方法规律方法】】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)(1)二次项中若含有参数应讨论是小于二次项中若含有参数应讨论是小于0 0，还是大于，还是大于0 0，然后将，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式ΔΔ与与0 0的关系．的关系．(3)(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式论两根的大小关系，从而确定解集形式. .【【提醒提醒】】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于其等于0 0的情况的情况. . 【【变式式训练】】(1)(2013(1)(2013··绍兴模模拟) )不等式不等式axax2 2+bx+c>0+bx+c>0的解集的解集为(-2,1),(-2,1),则不等式不等式axax2 2+(a+b)x+c-a<0+(a+b)x+c-a<0的解集的解集为( ( ) )(A)(-∞,- )∪( ,+∞)(A)(-∞,- )∪( ,+∞)(B)(-3,1)(B)(-3,1)(C)(-1,3)(C)(-1,3)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞) 【【解析解析】】选选D.D.由题意由题意,∵,∵不等式不等式axax2 2+bx+c>0+bx+c>0的解集为的解集为(-2,1),(-2,1),∴a<0,-2+1=- ,(-2)∴a<0,-2+1=- ,(-2)××1= ,1= ,∴b=a,c=-2a,∴b=a,c=-2a,∴∴不等式不等式axax2 2+(a+b)x+c-a<0+(a+b)x+c-a<0为为axax2 2+2ax-3a<0,+2ax-3a<0,∴x∴x2 2+2x-3>0,∴(x+3)(x-1)>0,+2x-3>0,∴(x+3)(x-1)>0,∴x<-3∴x<-3或或x>1.x>1. (2)(2)解关于解关于x x的不等式的不等式(1(1－－ax)ax)2 2＜＜1.1.【【解析解析】】由由(1(1－－ax)ax)2 2＜＜1 1，得，得a a2 2x x2 2－－2ax2ax＜＜0 0，，即即ax(axax(ax－－2)2)＜＜0 0，当，当a a＝＝0 0时，时，x∈x∈；；当当a a＞＞0 0时，由时，由ax(axax(ax－－2)2)＜＜0 0，得，得即即当当a a＜＜0 0时，时，综上所述：当综上所述：当a a＝＝0 0时，不等式解集为空集；当时，不等式解集为空集；当a a＞＞0 0时，不等式时，不等式解集为解集为 当当a a＜＜0 0时，不等式解集为时，不等式解集为 考向考向 2 2 一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题(2)(2)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+3.+ax+3.①①当当x∈Rx∈R时,f(x)≥a,f(x)≥a恒成立恒成立, ,求求a a的范的范围. .②②当当x∈[-2,2]x∈[-2,2]时,f(x)≥a,f(x)≥a恒成立恒成立, ,求求a a的范的范围. . 【【思路点拨思路点拨】】(1)(1)因为不等式恒成立因为不等式恒成立, ,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零, ,直接求解即可直接求解即可. .(2)①(2)①可直接利用判别式可直接利用判别式Δ≤0Δ≤0求解求解.②.②可转化为求可转化为求f(x)-af(x)-a在在[-2,2][-2,2]上的最小值上的最小值, ,令其最小值大于或等于令其最小值大于或等于0 0即可即可. . (2)(2)①①f(x)≥af(x)≥a即即x x2 2+ax+3-a≥0+ax+3-a≥0，要使，要使x∈Rx∈R时，时，x x2 2+ax+3-a≥0+ax+3-a≥0恒成立，恒成立，应有应有Δ=aΔ=a2 2-4(3-a)≤0-4(3-a)≤0，即，即a a2 2+4a-12≤0+4a-12≤0，，解得解得-6≤a≤2.-6≤a≤2.②②当当x∈x∈［［-2,2-2,2］时，设］时，设g(x)=xg(x)=x2 2+ax+3-a.+ax+3-a.分以下三种情况讨论：分以下三种情况讨论：(ⅰ)(ⅰ)当当 即即a≥4a≥4时，时，g(x)g(x)在［在［-2,2-2,2］上单调递增，］上单调递增，g(x)g(x)在［在［-2,2-2,2］上的最小值为］上的最小值为g(-2)=7-3ag(-2)=7-3a，因此，因此 a a无无解；解； (ⅱ)(ⅱ)当当 即即a≤-4a≤-4时，时，g(x)g(x)在［在［-2,2-2,2］上单调递减，］上单调递减，g(x)g(x)在在［［-2,2-2,2］上的最小值为］上的最小值为g(2)=7+ag(2)=7+a，，因此因此 解得解得-7≤a≤-4-7≤a≤-4；；(ⅲ) (ⅲ) 即即-40x>0时,f(x)=x,f(x)=x2 2-4x,-4x,则不等式不等式f(x)>xf(x)>x的解集用区的解集用区间表示表示为 . . 【【解析解析】】因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(0)=0,f(0)=0,①①又当又当x<0x<0时，时，-x>0,-x>0,所以所以f(-x)=xf(-x)=x2 2+4x.+4x.又又f(x)f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2-4x(x<0),-4x(x<0),②②所以所以f(x)= f(x)= (1)(1)当当x>0x>0时，由时，由f(x)>xf(x)>x，得，得x x2 2-4x>x-4x>x，解得，解得x>5.x>5.(2)(2)当当x=0x=0时，时，f(x)>xf(x)>x无解；无解；①①(3)(3)当当x<0x<0时，由时，由f(x)>xf(x)>x，得，得-x-x2 2-4x>x.-4x>x.②②解得解得-5xf(x)>x的解集用区间表示为的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).(-5,0)∪(5,+∞).答案：答案：(-5,0)∪(5,+∞)(-5,0)∪(5,+∞) 【【误区警示误区警示】】1.①1.①处对于处对于x=0x=0时的情况漏掉分析而导致不全面时的情况漏掉分析而导致不全面. .2.②2.②处利用奇函数求处利用奇函数求x<0x<0的解析式时求解错误的解析式时求解错误. . 【【规避策略规避策略】】1.1.利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域，若利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域，若在在0 0处有定义，则奇函数中必有处有定义，则奇函数中必有f(0)=0.f(0)=0.2.2.利用奇偶性解不等式一般需要求解利用奇偶性解不等式一般需要求解f(x)f(x)的解析式，因此要正的解析式，因此要正确利用奇偶性转化求解析式确利用奇偶性转化求解析式. . 【【类题试解解】】(2013(2013··四川高考四川高考) )已知已知f(x)f(x)是定是定义域域为R R的偶函的偶函数数, ,当当x≥0x≥0时,f(x)=x,f(x)=x2 2-4x,-4x,那么那么, ,不等式不等式f(x+2)<5f(x+2)<5的解集是的解集是 . . 【【解析解析】】依据已知条件求出依据已知条件求出y=f(x),x∈Ry=f(x),x∈R的解析式的解析式, ,再借助再借助y=f(x)y=f(x)的图象求解的图象求解. .设设x<0,x<0,则则-x>0.-x>0.当当x≥0x≥0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-4x,-4x,所以所以f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-4(-x).-4(-x).因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,得得f(-x)=f(x),f(-x)=f(x), 所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+4x(x+4x(x＜＜0)0)，故，故f(x)= f(x)= 由由f(x)=5f(x)=5得得 得得x=5x=5或或x=-5.x=-5.观察图象可知由观察图象可知由f(x)f(x)＜＜5 5，得，得-5-5＜＜x x＜＜5.5.所以由所以由f(x+2)f(x+2)＜＜5 5，得，得-5-5＜＜x+2x+2＜＜5 5，所以，所以-7-7＜＜x x＜＜3.3.故不等式故不等式f(x+2)f(x+2)＜＜5 5的解集是的解集是{x|-7{x|-7＜＜x x＜＜3}.3}.答案：答案：{x|-7{x|-7＜＜x x＜＜3}3} 1.(20131.(2013··宁波模拟宁波模拟) )函数函数 的定义域是的定义域是( )( )(A)(A)［［0,1) (B)0,1) (B)［［0,10,1］］(C)(C)［［0,4) (D)(4,+∞)0,4) (D)(4,+∞)【【解析解析】】选选A.A.依题意有依题意有 解得解得所以所以0≤x<10≤x<1，即函数定义域是［，即函数定义域是［0,1).0,1). 2.(20132.(2013··温州模拟温州模拟) )若函数若函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax-3a-9+ax-3a-9对任意对任意x∈Rx∈R恒有恒有f(x)≥0f(x)≥0，则，则f(1)f(1)等于等于( )( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【【解析解析】】选选C.C.依题意得依题意得a a2 2-4(-3a-9)≤0,-4(-3a-9)≤0,即即a a2 2+12a+36≤0+12a+36≤0，所以，所以(a+6)(a+6)2 2≤0,≤0,必有必有a=-6,a=-6,这时这时f(x)=xf(x)=x2 2-6x+9,-6x+9,故故f(1)=4f(1)=4，故选，故选C.C. 3.(20133.(2013··绍兴模拟绍兴模拟) )已知函数已知函数若若f(x)≥1,f(x)≥1,则则x x的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(-∞,-1(A)(-∞,-1］］(B)(B)［［1,+∞)1,+∞)(C)(-∞,0(C)(-∞,0］］∪∪［［1,+∞)1,+∞)(D)(-∞,-1(D)(-∞,-1］］∪∪［［1,+∞)1,+∞)【【解析解析】】选选D.D.当当x≤0x≤0时，由时，由x x2 2≥1,≥1,得得x≤-1;x≤-1;当当x x＞＞0 0时，由时，由2x-1≥1,2x-1≥1,得得x≥1.x≥1.综上可知，综上可知，x∈(-∞,-1x∈(-∞,-1］］∪∪［［1,+∞).1,+∞). 4.(20134.(2013··衢州模拟衢州模拟) )已知不等式已知不等式axax2 2＋＋4x4x＋＋a a＞＞1 1－－2x2x2 2对一切实对一切实数数x x恒成立，则实数恒成立，则实数a a的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(2(A)(2，，+∞) (B)(-2,+∞)+∞) (B)(-2,+∞)(C)(-∞,-3) (D)(-∞,-3)∪(2,+∞)(C)(-∞,-3) (D)(-∞,-3)∪(2,+∞) 【【解析解析】】选选A.A.原不等式等价于原不等式等价于(a(a＋＋2)x2)x2 2＋＋4x4x＋＋a a－－1 1＞＞0 0对一切对一切实数恒成立，显然实数恒成立，显然a a＝－＝－2 2时，解集不是时，解集不是R R，不合题意，从而有，不合题意，从而有解得解得所以所以 解得解得a a＞＞2.2.故故a a的取值范围是的取值范围是(2(2，＋，＋∞∞) )．． 6.(20136.(2013··湖州模拟湖州模拟) )已知函数已知函数 则满足不等则满足不等式式f(3-xf(3-x2 2)