勾股定理的研究乔国芳 左焱 郑志鑫摘要：勾股定理是世界上最伟大的定理之一，其简单表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方对勾股定理的研究，不同民族在起始 时间 上不同在中国可以追溯到周朝，商高提出了“勾三股四弦五"的勾股定理的特例，在西方可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，但最早使用勾股定理的是古巴比伦人勾股定理不仅是一些数学定理的基础，在生 产和生活中的应用也很广泛本文通过研究勾股定理的起源和历史，根据古代发现优先权的确立原则与判定标准确定了古希腊和古代中国同时发现了勾股定理这一结论本文还总结了勾股定理有史以来的名称和证明方法；讨论了勾股定理的古代和现代的应用；最后分析了勾股定理的推广和影响关键字：勾股定理；定理起源；定理证明；定理教学勾股定理是数学中的一个基本定理，是几何学中的明珠，既重要又简单千百年来，人们对它的证明趋之若骛，才使它成百次地反复被人论证 ，其中有著名的数学家，也有 业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家 总统勾股定理也是已知证明方法最多的一个数学定理关于勾股定理的起源和发现问题，各国各民族都有不同的 记载西方的文字记载表明，毕达哥拉斯于公元前550年发现了该定理。
而中国最早关于勾股定理的传说是大禹治水时 期， 约公元前2100年， 《周髀算经》中有记录除中国及希腊以外的其他民族也较早的应用了勾股定理有人根据“普林顿322"号泥板推断，古巴比伦比别 的文明古国早1000 多年就知道了勾股定理的详细证 明， “普林顿322"号泥板还提供了更多证据，从中可以发现有 30组勾股数的一些 图形，只是没有 发现勾股定理的文字 记载公元前5世纪，印度数学中给出的关于祭坛比例的有关规律也暗含了该定理的存在约公元前2000 年，古埃及的 “拉绳者”已能解决丈量、建造直角问题 在我国， 古代的数学家没有把主要精力放在 仅仅给出严格的 逻辑推理证明上，也没有在不可通 约量究竟是什么性质的数上面做文章，而是立足于 对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究．通 过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性 质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法勾股术．勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质 作为基本性质，使相似直角三角形之 间的相似比率构成了勾股的核心．勾股术 用比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础．后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理 ”，又把 这个原理与比例算法 结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础． 在名称方面，勾股定理在我国以前也叫过毕达哥拉斯定理，是随西方数学传入时翻译的名称。
20世纪50年代学术界曾展开关于这个定理命名的讨论，上述前面几种名称都被提及最后决定不用人名，叫“勾股定理” ，得到教育界和学术界的普遍认同1993年，全国自然科学名词审定委员会公布数学名 词，确定这一定理的汉文名称叫勾股定理，其对应的英文名是 释中 说：“又称‘毕达哥拉斯定理’ 曾用名 ‘商高定理’’’至此，“勾股定理’’成为国家确立的标准名称在表达上，古希腊人崇尚几何推理，且把所有涉及数的命题都用几何量来表示在毕达哥拉斯时代，无理数理 论尚未建立，因此很难说他们已经建立了数的勾股定理数学史家的推测是他发现的是形的勾股定理，并且给出某种证明，后来被欧几里得收入《几何原本 》中，在本文前面已 经提到，不再赘述严格说来，数的勾股定理依 赖于线段的测度理论，即要明确每一条 线段都有长度，需要建立 实数理论 ，更符合现代数学思想我们的中学数学教材采用数的勾股定理体现了“与时俱进” ，也便于后来接受解析几何数形结合的思想令人惊奇的是，中国古代《周髀算经》记载的居然就是数的勾股定理数学讲究严格论证，任何结论都要经过逻辑推理一步一步证出来未加证明的论断只能称为命题，经过证明以后才能叫定理勾股定理的提出是一回事，对它进行严格证明是更了不起的事。
现在勾股定理证明的方法已经有几百种了，仍有人探索勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法太多，不一一列举但是把 这些方法总结一下，可分 为以下几类第一，算法化证明，以古代中国证明方法为代表 《周髀算经》卷上之二记载了荣方和陈子两个人的问答，陈子解释如何求出观测者到太阳的距离时说：“ 若求邪(同斜)至日者，以日夏为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日” ，用符号表示就是C=√口2+62这实际上是给出了一种已知直角三角形两直角边求其斜边的算法在此基础上建立起来的、代表中国古代几何学的“勾股术"， 给出的都是如何由已知的边长来求未知边长的算法关于这一点在赵爽的《周髀算经》的注中说得很清楚：“ 勾股之法，先知二数，然后推一 ”，也就是说中国的勾股定理是一种计算程序，具有一定的方向性，这种方向性具有程序化的算法特征回过头再看赵爽、刘徽的证明都体现了算法化在思想方法上，主要应用的是“ 出人相补原理”，这是我国古代几何学中最为根本的思想方法第二，演绎性证明，古希腊的证明方法是其代表欧几里得 《几何原本》第直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形”，用符号语言表述就是C2=2，显然是把边的平方当作正方形的面积来对待的。
在《原本》中， 图形的面积被看作是一种几何的量，而不是一种表述多少的数只探究图形面积之间的大小关系， 而不关心具体图形的面积计算在《原本》中除了推理的需要提及矩形与正方形的面积公式之外，没有给出其它任何图形的面积计算公式 论证有关面积关系命题的逻辑起点是《原本》中提出的公理4(彼此能重合的物体是全等的)与公设5(即平行公设)，特别是在此基础上建立的三角形全等的判定定理与定理“如果一个平行四边 形和一个三角形既同底又在平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍"，在 论证中往往起着穿针引线的作用， 这一点在所给出的勾股定理的证明中表现的尤为突出意大利著名画家达·芬奇给出的奇妙证明也是这种思想下的产物第三，代数计算证明，也可以说是中西古代数学思想方法的结合 这种方法中既有算法思想，又体现了演绎推理如“总统证法"， 3． 1．10中的证法，还有其他利用相似三角形的性质、利用圆的性质的证法等等 证明勾股定理的方法无外乎这样三类另外需要注意，证明勾股定理要防止循环论证，即不能用依靠勾股定理证明出来的定理来证明勾股定理例如两点间的距离公式；海伦公式；正弦定理；余弦定理；平方公式；和差化积公式等等4勾股定理的应用、推广及影响4．1勾股定理的应用4．1．1古代应用勾股定理的应用，古已有之。
在古埃及，拉绳者测量土地，建造金字塔；在古印度，建造祭坛；在古代中国，利用勾股定理更有大量实例以《九章算术》的第九卷“ 勾股"和李冶的《测圆海镜》为代表《九章算术》的第九卷“勾股”包含二十四个问题前三个问题是勾、股、弦之间是关系，后面二十一个问题是勾股定理的应用，种 类繁多，内容丰富～般一道题由三部分组成，分为题、答、术，也有几道题一术的， 术就是算法大体分这样几类：1，知勾及股、弦的关系求股、弦：2，知勾、股、弦的关系求勾、股、弦；3，知勾、股求容方、容圆问题；4，用勾股定理求其他复杂问题等等下面选几道经典题，不一一叙述了第1类：“勾股"章第六题是著名的“引葭赴岸"问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭 长各几何?‘蜘．答日：水深一丈二尺葭长一丈三尺术日：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之余，倍出水除之，即得水深加出水数，得葭长如图4．1)图4．1C／彳图4．2今译：今有正方形水池边长为1丈，芦苇生长在水的中央，长出水面的的部分为1尺将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐接， 问水深、芦苇的长度是多少?答：水深苇长度为1丈3尺辽宁师范大学硕士学位论文算法：将水池边长的出水高度减去它，所得余数，用2倍水深。
加上出水数，即得芦苇长1如图4．2，l丈=池边长的去就是5尺，即 ，得水高度，得，所以4，24+2=12，即为水深2，加出水数1得芦苇长3由此对我国古代算法的巧妙、简捷略见一斑我们不妨用现代的解法把它解出来如图4． 2，设水深于尺，则D=x+I根据勾股定理，得“+1)2=2x=12芦苇长彳召利D=12+1=13所以，水深为12尺，芦苇长为13尺在印度也有一道与之类似的题，是印度中世纪著名数学家婆什迦罗著作《莉拉沃蒂》中的“莲花问题"，如 图4．3：爹图4．3平平池水清可鉴，面上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边花触水面半浸没，偏离原位二尺远，能算诸君请解题，池水如何知深浅?这道题目，就不作解释了另外，明代杰出数学家程大位所著的《算法统宗》里有一道“ 荡秋千"的题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几?第2类： “勾股"章第十二题是测量大门的宽、高及 对角线：今有户不知高广，竿不知长短横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出问户高、广、邪各几何?啮1勾股定理研究答日：广六尺，高八尺，袤一丈术日：从、横不出相乘，倍，而开方除之。
所得加从不出，即户广；加横不出，即户高；两不出加之，得户邪今译：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等 问门高、 宽和对角线的长各是多少?答：门宽6尺，高8尺，对角线长1丈算法：“从不出"与“ 横不出"相乘，再乘以2，然后开方所得之数加“从不出"即为门宽，加“横不出"即为从不出”、“横不出"同加之，得门的对角线长今解：根据题设条件，作图4． 4，设门之对角线宽x．4)尺，门高，则得+(，解得：五=10尺，而=2尺(舍)， ，0尺．4尺=6尺，0尺． 2尺=8尺以下几道题目在这里不做解释了第3类：“勾股"章第十五题是容方问题：今有勾五步，股十二步问勾中容方几何 ?答日：方三步、十七分步之九术日：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步十六是容圆问题：今有勾八步，股十五步问勾中容 圆，径几何?答日：六步辽宁师范大学硕士学位论文术五步为股，为之求弦三位并之 为法，以勾乘股，倍之为实实如法得径一步第4类：“勾股”章第十四题是行程问题：今有二人同所立甲行率七，乙行率三甲南行十步而邪东北与乙会问甲乙行各几何?嘲答日：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。
术日：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率邪行率减于七自乘，馀为南行率以三乘七为乙东行率置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实实如南行率而一，各得行数十七到二十二题是与城邑有关的计算问题，仅说一下二十今有邑方不知大小，各中开门出北 门二十步有木出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木问邑方几何?答日：二百五十步术日：以出北门步数乘西行步数，倍之， 为实并出南门步数为从法，开方除之，即邑方二十三题是测量山高：今有山居木西，不知其高山去木五十三里，木高九丈五尺人立木东三里，望木末适与山峰斜平人目高七尺问山高几何?答日：一百六十四丈九尺六寸、太半寸术日：置木高减人目高七尺，馀，以乘五十三里 为实以人去木三里为法实如法而一，所得，加木高即山高。