二次函数中与角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造构造相关角相关角 ：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等然后利用 解直角三角形、相似三角形边的比例关系解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通类型一【类型一 相等角的存在性问题】相等角的存在性问题】（一）（一） . . 利用平行线、等腰三角形构造相等角利用平行线、等腰三角形构造相等角例例 1 1 如图，直线y  3x3与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线y  x bxc与直线 y=c分别交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O 为坐标原点）若抛物线与 x 轴正半轴交点为点 F，设 M 是点 C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.（1）直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式.（2）求满足MPO  POA的点 M 的坐标.2解：(1)易得点 P 坐标为（3，4），抛物线解析式为y  x23x4.(2) ①当点 M 段 OP 上方时，∵CP∥x 轴，∴当点 C、M 重合时，∠MPO=∠POA，∴点 M 的坐标为（0，4）；②当点 M 段 OP 下方时，在 x 轴正半轴取点 D，连接 DP，使得 DO=DP，此时∠DPO=∠POA.2设点 D 坐标为（n，0），则 DO=n，DP n316，∴2n2n316，解得：n=225 250.，∴点 D 坐标为，6624100.联立抛物线x77设直线 PD 解析式为y  kxb，代入得：y  解析式得M 24 124,749 24 124,7491综上所述：点 M 的坐标为（0，4）或2（二）（二） . .利用相似三角形构造相等角利用相似三角形构造相等角12例例 2 2 如图，抛物线y x bxc与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，其对称轴交2抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接 BD，F 为抛物线上一动点，当FAB  EDB时，求点 F 的坐标；解：（1）因为 OB=OC=6，所以 B（6，0），C0,6，将B、C点坐标代入解析式，得y 1212x 2x6 x28，22所以点 D 的坐标为（2，—8）（2） 如图1， 过F作FG⊥x轴于点G， 设Fx,1212x 2x6， 则FG=x 2x6， AG=x+2，22当FAB  EDB时，且FGA  BED，所以△FAG∽△BDE，所以8x2DEAG 2，，即412EBFGx 2x6292当点 F 在 x 轴上方时， 则有x2  x 4x12， 解得 x=—2 （舍去） 或 x=7， 此时 F 点的坐标为7， ；2（x 4x12）当点 F 在 x 轴下方时，则有x2  ，解得 x=—2（舍去）或 x=5，此时 F点的坐标为5，927，,综上可知点 F27.22的坐标为7， 或5，3【类型二【类型二二倍角或半角的存在性问题】二倍角或半角的存在性问题】（一）（一） . .二倍角的构造方法二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2，在 BC 边上找一点 D，使得 BD=AD，则ADC 2.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

例例 3 3 如图，在平面直角坐标系中，直线y 1x2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线21y  x2bxc经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B．2（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点；①连接 BC，CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△CDE的面积为 S1，△BCE的面积为 S2，求最大值；①过点 D 作 DF⊥AC， 垂足为点 F， 连接 CD， 是否存在点 D， 使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的 2 倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y  S1的S2123x x222（2）①过 D 作 DM⊥AC 于 M， 过 B 作 BN⊥x 轴交AC 于 N，∴△DME∽△BNE∴S1DEDM123,设Da,a a2，22S2BEBN12a 2a4S1DM1412∴Ma,a2，∴ (a2)2，∴最大值为.55S2BN55224②在 OA 上取一点 P 使得 PA=PC，设 OP=m，则 PC=PA=4-m，在 Rt△PCO 中，由勾股3定理得：（4-m）2=m2+22，解得 m=，∴tan∠24CPO=，3过 D 做 x 轴的平行线交 y 轴于 R， 交 AC 延长线于 G，情况一：∠DCF =2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴1∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，2即13RC1，设Da,a2a2，∴DR=—a，22DR2123a a，代入得，a1=0，a2=—2，∴xD=—2224情况二：∠FDC =2∠BAC，∴tan∠FDC=，设 FC=4k，DF=3k，DC=5k，33k1∵tan∠DGC=，∴FG=6k，CG=2k，DG=3 5k，FG2RC=11 5k2 54 54 511 5DRak，RG=k，DR=3 5k k k，∴5∴RC=，1235555RC2 5ka a225∴a1=0(舍去)，a2=29，1129.11综上所述：点 D 的横坐标为—2 或5（二）半角的构造方法（二）半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一： 和前面二倍角的构造相对应， 利用外角定理，如图， 延长 CB 至 D， 使得 BD=BA，1则D ，若 AC、BC 的长度已知，则容易求出 tan∠D 的值，从而进行相关计算。

2方法二：如图，直接做的角平分线 BE，若 AC、BC 的长度已知，则容易求出 tan∠EBC 的值例例 4 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y  a(x5)(x3)与 x 轴交与 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且过点（-2，4）.（1）直接写出 a 的值和点 B 的坐标；（2）将抛物线向右平移2 个单位长度，所得的新抛物线与x 轴交于 M，N 两点，两抛物线交于点P，求点 M 到直线 PB 的距离；（3）在（2）的条件下，若点D 为直线 BP 上的一动点，是否存在点D，使得DAB存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.1PBA若2（1）y  4(x5)(x3)；B（3，0）15（2）A（—5，0）、M（—3，0）、N（3，0）设点 M 到直线 PB 的距离为 h，则SPMB=（3）存在，理由：设DAB1124hPB=MBOP，∴h=2251PBA，如图，过点 B 作PBA的平分线 BH 交 y 轴于点 H，过点 H 作 HG⊥PB232于点 G，设 OH=m，则 HG=m，PH=4—m，PG=PB—BG=2，在 Rt△PGH 中，GH2+PG2=PH2，即 m2+22=（4—m）2，解得：m=6∴tan∠HBO=tanOHOB12，∴k1AD2故直线 AD 的表达式为：y 12x52①同理直线 PB 的表达式为：y  43x4②联立①②并解得：x 911，∴点 D（9 6411，22）.7。