注：注：积分曲线为负方向——顺时针方向⑵⑵与与洛洛朗系数的关系朗系数的关系将f(z)在∞的洛朗级数，沿Г-逐项积分得注：注：记为①①注意与有限点的差异；②②当∞为可去奇点时，其留数一般不为0如1+1/z, ∞为可去奇点,但 返回上页下页定理定理6.6 如果f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),则f(z)在各点的留数总和为零利用有限点的留数定理，很容易证明注释：注释：①①在该定理说明，函数在全平面上所有各点的留数之和为零，这里所说各点包括无限远点和有限远点；②②作用：作用：当周线C内(外)有很多奇点，而C外(内)的奇点少，则可用此定理将求C内(外)留数和转化为求C外(内)留数和不同的留数组合，得不同的公式，可以求不同的留数和⑷⑷求法求法①①-c-1；②②由定理6.6 ③③⑶⑶含含∞的的留数定理留数定理a1,a2,…,an为f(z)在z平面上全部有限奇点利用定义很容易利用定义很容易证明证明 返回上页下页例例(P233例例6.6)设 求解解 f(z)在扩充复平面上共有七个奇点：前六个均在积分曲线:|z|=4的内部，由留数定理,所求积分方法一方法一由得c-1=1故方法二方法二所求积分=2πi以t=0为一阶极点，故t 返回上页下页求周线上积分的方法小结：求周线上积分的方法小结：⑴⑴积分定理；积分定理；⑵⑵积分公式；积分公式；⑶⑶高阶导数积分公式；高阶导数积分公式；⑷⑷有限点的有限点的留数定理；留数定理；⑸⑸含含∞的的留数定理留数定理⑹⑹辐角原理。
辐角原理将求积分的问题转化为求导数的问题将求积分的问题转化为求导数的问题 返回上页下页w1 1w2 2w3 3w4 4 积分路径上有奇点的积分积分路径上有奇点的积分第二节第二节 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分 返回上页下页留数定理的应用留数定理的应用—求实积分求实积分:在求一些实定积分或反常积分的值时,其被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来;或者可以求出原函数,但计算非常复杂.留数定理的一个重要应用是计算某些实积分. 如能把实积分化为复积分,再用求复积分的方法,就可简化问题.关键的是设法把实积分跟复变函数在周线上的积分联系起来.但是,利用留数求实积分,无通用的方法,也不是适合所有实积分.实积分变为实积分变为周线上的周线上的复积分的要点：复积分的要点：定积分⑴⑴利用变量代换把l1变为另一复平面上的周线,再应用留数定理;⑵⑵另外补上一段曲线l2, 使l1+l2为周线, 积分左端可用留数定理,右端第一个积分为所求实积分,如果右端第二个积分容易求出,则问题解决.的积分区间[a,b]为复平面上实轴上的一段l1yx0z平面平面abl1l2利用极限,周线上连续. 返回上页下页⒈⒈R:二元有理函数二元有理函数方法方法: 设R(sinθ,cosθ)在θ[0,2π]连续.令: z=e i θ ，dz=e i θ idθ=zidθ，dθ=dz/ziθ : 02π ，z : 在单位圆|z|=1周上正向变动一周某些不为此标准型的积分,可利用积分区间的移动、函数的周期、奇偶和欧拉公式转化为此标准型，θ0 2π1z平面平面并注意利用实虚部的比较 返回上页下页例例(P234例例6.7)求 解解 当p=0,I=2π,下设p≠0当0<|p|<1,f(z)在|z|<1内仅以z=p为一阶极点,故由留数定理当1<|p|,f(z)在|z|<1内仅以z=1/p为一阶极点,故由留数定理令z=e i θ ，在|z|=1上无奇点,在|z|=1上无奇点,记 返回上页下页例例(P236例例6.9)求 解解 令z=e i θ当z绕|z|=1一周，则u绕|u|=1两周f(z)在|z|<1内仅有一阶极点：依求一阶极点留数的公式得：故由留数定理在|z|=1上无奇点,令u=z 2记f(z)=变量代换的应用变量代换的应用绕行多周的处理方法绕行多周的处理方法 返回上页下页例例(P237例例6.10)求 解解 被积函数为偶函数，故令则f(z)在|z|<1内仅以z=1/2为一阶极点,由留数定理，比较实部故 令z=e i θ在|z|=1上无奇点,=记f(z)=欧拉公式欧拉公式奇偶函数的奇偶函数的处理方法处理方法 返回上页下页例例(补充例补充例)求 解解 若直接作变换z=e i θ ，则积分复杂，先考虑积分:变换z=e i θ，则f(z)在|z|<1内仅以z=0为n+1阶极点,由留数定理在|z|=1上无奇点,记f(z)=比较实部 返回上页下页⒉⒉R:有理函数有理函数方法方法: 设R(x)=P(x)/Q(x),Q(x)在实数中连续.当积分： 考虑添加辅助曲线ГR ,使ГR与实轴上是区间 [-R,R]构成周线C ，则其中求和表示P(x)/Q(x)落在C内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出的值，再取极限即得。
注意：注意：函数奇偶的应用和收敛的判断 ГR ,一般去上半圆周:|z|=R ,Im z≥0收敛z平面平面xy-R RГГR利用实虚部的比较 返回上页下页由在SR上一致成立故ε>0,R0>0, R>R0有引理引理6.1设f(z)在圆弧SR ：z=Reiθ(θ1≤θ≤θ2,R充分大)上连续,且在SR上一致成立(即与θ1≤θ≤θ2中的θ无关)，则证证z平面平面xy令:z=Rei θ(θ1≤θ≤θ2)dz=Re i θ idθ=zidθ，dθ=dz/ziθ : θ1θ2z :在圆弧SR上变动一次SRRθ1Rθ2用留数求广义积分基础理论之一；R充分大保证包含角形区域的全部有限奇点 返回上页下页定理定理6.7 设f(z)=P(z)/Q(z)为有理分式，其中为互质多项式,则证证 由n-m≥2得作ГR：z=Reiθ(0≤θ≤π)取R足够大,使CR的内部包含f(z)在上半平面内的一切奇点,由在实轴上Q(z)≠0知, f(z)在CR上连续由于当n-m≥2时由引理6.1收敛,且 且⑴⑴n-m≥2；⑵⑵在实轴上Q(z)≠0与线段[-R,R]构成周线CR由留数定理得又于是公式成立过过程程比比公公式式更更重重要要 返回上页下页例例(P241例例6.11)设 解解 被积函数f(x)为偶函数，故函数f(x)的奇点为故在上半平面的奇点为：而：奇偶函数的奇偶函数的处理方法处理方法计算为一阶极点 返回上页下页例例(补充例补充例)求 解解 满足定理的要求，即：得上半平面的全部奇点为有两个：α与β易判断α与β均为一阶极点，算留数，有解方程：记其中：得 返回上页下页⒊⒊R:有理函数有理函数处理方法与第二种积分的一样处理方法与第二种积分的一样引理引理6.2(若尔当(Jordan )) 记 (R0充分大)圆弧ГR( G): z=Reiθ (R0≤R,θ1≤α≤θ≤β≤θ1)设g(z)在闭区域G上连续 如果zГR在G时,一致成立则证证 g(z)在有界闭集ГR上连续,则模可取最大值,设为M(R),z平面平面xy-R RГГR(m>0)z平面平面xyГRRαRβ 返回上页下页当0<θ<π/2时,有Jordan不等式：引理引理6.2证明明作变换z=Reiθ得由所以 返回上页下页定理定理6.8利用上引理，仿定理6.7 的证明，即可得：设g(z)=P(z)/Q(z)为有理分式,其中P(z)、Q(z)为互质多项式,且⑴⑴Q(z)的次数>P(z)的次数;⑵⑵在实轴上Q(z)≠0;⑶⑶m>0则特别：分开实、虚部就可求积分改变m ，可用不同区域的留数求不同的积分例例(P244例例6.13)计算 解解 被积函数为偶函数，故 有两个奇点：i在上半平面的奇点为: i所以为一阶极点I=满足上定理中对g(x)的要求其留数为:记 返回上页下页例例(补充例补充例)计算 解解 令则E=ReH记有两个奇点:-2i其留数为：由定理得所以从而有为一阶极点满足上定理中的要求因此，为了计算E ，只需求出H 上半平面的奇点为:-2+ i 返回上页下页⒋⒋计算积分路径上有奇点的积分计算积分路径上有奇点的积分 前面所讲的三种类型都是f(x)在实轴上没有奇点的情况,如果f(x)在实轴上有奇点, 前述计算方法不完全适用求此广义积分(瑕积分),但也可以借助复积分来计算某些这类广义积分.例如f(x)在实轴上有一个奇点z=a(a为实数)要计算在作辅助线时,应绕过奇点z=a具体办法是具体办法是在上半平面,作个以z=a为心,半径为ε的半圆周Cε(如图所示) 上式左端用留数定理计算，再令ε0、R+∞取极限第一个极限用下面介绍的引理求.第二个极限用前面介绍的引理求.如果实轴上有n个奇点，那么分别按上面的方法处理 返回上页下页例例(P246例例6.15)计算狄利克雷积分积分解解 积分收敛，且取f(z)=eiz/z，则f(z)只是在z=0有一个一阶极点。
取ε、R,使 R >ε>0 ,作积分路径引理引理6.3设f(z)在圆弧Sr ：z-a=reiθ(θ1≤θ≤θ2,r充分小)上连续,且在Sr上一致成立(即与θ1≤θ≤θ2中的θ无关)，则证明方法同引理6.1 返回上页下页续解例续解例(P246例例6.15)在上半平面上作以原点为心、 ε、R为半径的半圆C ε、 CR于是有由引理6.2 于是令ε0、R+∞有则由引理6.3 返回上页下页第三节第三节 辐角原理及其应用辐角原理及其应用w1 1 对数留数对数留数 w2 2 辐角原理辐角原理 w3 3 儒歇儒歇(Rouche)定理定理 返回上页下页⒈⒈对数留数对数留数 ⑴⑴概念概念应用留数定理,可以解决有关零点与极点的个数问题，考虑形如f (z)/f (z)的复变函数在极点处的留数,由之导出的辐角原理提供了确定解析函数零点个数的一个有效工具由于积分称为f(z)的对数留数对数留数函数的对数求导的留数f (z)/f (z)的奇点的奇点：f(z)的零点和奇点这里只考虑f(z)的奇点为极点的情况 返回上页下页证证 ①①由条件得在a的邻域内于是引理引理6.4①①设a是f(z)的n阶零点,则a为函数f (z)/f (z)的一阶极点,在a解析 且其中g(z)在a解析非0②②设b为f(z)的m阶极点,则b为函数f (z)/f (z)的一阶极点,并且并且故结论成立由①①的结论, b为的一阶极点,且或由g(z)在a解析非0,得g(z)/g(z)在a解析,②②由条件得b为1/f (z)的m阶零点, 返回上页下页⑵⑵零点与极点的个数零点与极点的个数 定理定理6.9 设C是一条周线， f(z) 满足:①① 在C的内部除极点外解析的；②② 在C上连续非零。
则有其中N(f,C)、 P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数一个n阶零点算作n个零点，一个m阶极点算作m个极点证证 由上章习题(二)14P223, 知f(z)在C内至多有有限个零点和极点设ak为f(z)在C内部的不同零点，其阶为nk (k=1,2,...,p) bj为f(z)在C内部的不同极点，其阶为mj (j=1,2,...,q)根据条件和引理6.4知f (z)/f (z)在C内部除去一阶极点: ak (k=1,2,...,p)、 bj (j=1,2,...,q)外解析,并在C上连续故由留数定理及引理6.4得 返回上页下页注解：注解：①① 如将零点和极点等同看待，则由引理6.4知，函数的导数除函数具有统一阶的作用——都为负一阶零点——一阶极点且其留数只与函数零点和极点的阶有关,而与函数其它性质无关;②② 定理6.9中的公式可两边用,由个数求积分,或由积分求个数其主要用于研究函数的零点和极点个数，当然也可以求积分；③③ 定理6.9中的公式有些推广，如本章习题(二)8P275 返回上页下页⒉⒉辐角原理辐角原理 对数留数有一个实际意义,由此给出定理6.9中公式的等价表述.由于函数 是z的单值函数但 的值可能改变！当z从z0起绕行周线C一周回到z0时：=0=式中表示z沿C绕行一周后argf(z)的改变量，他一定是2π的整倍数。
Cyx0z平面平面vu0w平面平面w=f(z)w0z0C 于是φ0φ1 返回上页下页⑴⑴从对数留数看，对数留数为自变量绕周线一周函数幅角的改变量，即此等式成立的条件为函数在周线内除有限个奇点外解析，连续到边界，边界上无零点；⑵⑵前面所有结论中的周线可为复周线；⑶⑶当原点在周线内部，幅角改变，否则幅角不变辐角原理辐角原理 在定理6.9的条件下，f(z)在周线C的内部的零点个数与极点个数之差，等于当z沿C正方向绕行一周后argf(z)的改变量除以2π ，即特别，如f(z)在周线C的内部无极点，则注：vu0w平面平面变变不变不变不变不变|z-a|=Ra|w-b|=Rb 返回上页下页例例(P263例例6.21)设 试验证辐角原理证证故辐角原理成立yx0z平面平面31 2 4z 返回上页下页⒊⒊儒歇定理儒歇定理定理定理5.2(儒歇定理儒歇定理) 设C是周线，函数f(z)及g(z)满足：⑴⑴ 在C内部解析并连续到C ；⑵⑵ 在C上，|f(z)|>|g(z)|，则在C内部，f(z)与f(z)+g(z)的零点个数相同，即： N(f,C)=N(f+g,C)证证 用辐角原理证明N(f,C)=N(f+g,C)Carg( f )= Carg( f+g)周线C在函数1+g/f 的像周线内部不含原点周线C在函数1+g/f 的像周线包含在不含原点的某圆盘内先证明可以用辐角原理，即在C上， f(z)与f(z)+g(z)非零在C上， |f(z)|>|g(z)| 所以f(z)非零 |f(z)+g(z)| ≥≥0|f(z)|-|g(z)|>0 所以f(z)+g(z)非零 返回上页下页儒歇定理儒歇定理证明续证明续 zC， |f(z)|>|g(z)|Cyx0z平面平面vu0w平面平面记1 2|w-1|=1即C在 的像都落在w平面的圆|w-1|=1内部或C的像不绕w平面的原点w=0所以 返回上页下页儒歇定理注解儒歇定理注解⑴⑴应用此定理时，只要估计和式在区域边界上模的值。
组成和的两函数中,在边界上模大的函数零点数为和式函数的零点数⑵⑵用于解决函数零点个数和分布问题⑶⑶f(z)及g(z)选择的除满足定理中的条件外，还应保证f(z)的零点个数好计算并注意：并注意：⑷⑷辐角原理也可求零点的个数，但儒歇定理更简单方便注意，儒歇定理只是充分条件,而辐角原理为充分必要条件①①不要忽略重根；②②多项式,特别是整数次幂函数的应用；③③常数的应用；④④零点阶的应用 返回上页下页例例(P267例例6.24)如果|a|>e，求证方程ez=azn在单位圆|z|<1内有n个根证证 显然azn在单位圆|z|<1内有n个零点——z=0为n阶零点所以取在边界|z|=1上，z=cosθ+isinθ 由儒歇定理azn-ez在|z|<1内的零点的个数与azn相同，即n个，因此方程在单位圆|z|<1内有n个根例例(P268例例6.26) 证明方程z7-z3+12=0的根在圆环：1<|z|<2内证证 显然只要证明：方程在|z|<2内有7根，在|z|<1内无根在|z|<1内,边界: |z|=1,12 所以，方程在|z|<1内无根在|z|<2内,边界: |z|=2, |z7|=27=128 z7在|z|<2内以z=0为7阶零点, 所以，方程在|z|<7内有7个根|z7-z3| |z7|+|-z3|≥>1+1= 12在|z|<1内无零点,|-z3|+12≥|-z3+12|>23+12= 返回上页下页例例(P266例例6.23)p(z)=a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+at zn-t+at+1zn-t-1 …+an(a0≠0)，满足：|at|>|a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1| …+|an|则p(z)在|z|<1内有n-t个零点。
证证 显然at zn-t在单位圆|z|<1内有n-t个零点——z=0为n-t阶零点所以取f(z)= at zn-t， g(z)=a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1 …+an在边界|z|=1上|f(z)|=|at zn-t|=|at||g(z)|=|a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1 …+an|≤|a0||zn|+|a1||zn-1|+…+|at-1||zn-t+1|+|at+1||zn-t-1|+…+|an|=|a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1| …+|an|所以|f(z)|=|at|>|a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1| …+|an|≥|g(z)|由儒歇定理f(z)+g(z)=p(z)在|z|<1内的零点的个数 与f(z)=atzn-t相同，即n-t个 返回上页下页⑴⑴可直接利用此例的结论判断一元高次方程在单位圆内的根的个数如方程： 在|z|<1内根的个数5个z7-5z4+z2-2=0z4-5z+1=0z6+6z+10=0⑵⑵结论可推广到一般的圆内，只需将一般的圆平移压缩为圆心在原点的单位圆，即可。
用儒歇定理可证明单叶解析函数的一个重要性质：定理定理6.11 单叶解析函数的导数非零逆不成立，而这个函数在整个z平面上不是单叶的例例(P266例例6.23)的注释的注释5>1+2+1=4,410例如w=ez的导数在z平面上任意一点不为零， 返回上页下页留数计算留数计算：：(一) 1，2，3 ，(二) 1(1,2,3)，2，3，4，5R(sinx,cosx)：： (一) 4， (二) 1(4)，6P/Q：： (一) 5(1,2)， P/Qeimx：： (一) 5(3,4)， (二) 1(5)有奇点：有奇点： (一) 6， P/Qlnx：： (一) 8， 根式根式：： (一) 7，9辐角原理辐角原理 ：： (一) 12，13 (二) 7，8儒歇定理儒歇定理：： (一) 10，11，14 (二) 9，10，11，12，13，14，15，16作业作业 返回上页小小 结结留数的概念留数的概念柯西积分定理柯西积分定理求积分求积分复积分复积分实积分实积分一阶一阶二阶二阶其它其它零点、极点及对数留数零点、极点及对数留数幅角原理幅角原理儒歇定理儒歇定理留数的求法留数的求法c-1极点极点留数定理留数定理积分路径上有奇点的积分积分路径上有奇点的积分方程根的方程根的分布分布单叶解析单叶解析导数非零导数非零 。