工 程 力 学CONTENTS7.1 轴向拉（压）杆件的变形7.2 圆轴的扭转变形与刚度计算7.3 梁的弯曲变形与刚度计算7.4 提高梁弯曲强度和刚度的一些措施第7章 杆件的变形分析与刚度设计教学要求要求学生熟练掌握圆形截面杆的扭转变形和刚度条件；理解杆件轴向变形；掌握梁弯曲变形后横截面的挠度和转角的计算方法；掌握简单胡克定律教学提示本章主要研究杆件在轴向拉伸和压缩时的变形；简单胡克定律；圆形截面杆在扭转变形时的应力、变形和刚度条件；梁在弯曲变形后的挠度曲线方程，以及横截面的挠度和转角的计算建立梁的刚度条件学习目标教学重点和难点教学重点是简单胡克定律；圆形截面杆扭转时的刚度条件；梁弯曲变形的刚度条件并进行梁横截面的挠度和转角的计算教学难点是刚度设计学习目标PART7.1轴向拉（压）杆的变形7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形实际工程中存在很多受拉或受压的杆件例如，连接两个工件的紧固螺栓受轴向拉力或压力（见图7-1）；图图7-1 7-1 紧固螺栓紧固螺栓7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形在汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，带动活塞运动的连杆在油压和工作阻力的作用下受拉伸变形（见图7-2）；图图7-2 7-2 连杆机构连杆机构7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形悬臂吊车的拉杆AB在拉力的作用下产生拉伸（见图7-3）。
图图7-3 7-3 悬臂吊车悬臂吊车7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形此外，拉床的拉刀在拉削工件时受到拉伸作用；而千斤顶的螺杆在顶起重物时或内燃机连杆在工作时将产生压缩至于房屋和桥梁桁架结构中的杆件等则不是受拉就是受压，如图7-4所示图图7-4 7-4 房屋结构中的杆件房屋结构中的杆件7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形实际工程中，受拉或受压的杆件只要其受力特点和变形特征与下面情况相符就属于轴向拉伸或轴向压缩基本变形7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形 1.受力特点轴向拉压的受力特点是：作用于杆件上每个外力的作用线（包括局部外力的合力作用线）与杆件的轴线重合；轴向拉压的变形特征是：杆件产生沿轴向的伸长或压缩变形轴向拉压最简单的情形是：杆两端承受一对大小相等、方向相反的轴向外力作用，如图7-5所示图图7-5 7-5 轴向拉压最简单的情形轴向拉压最简单的情形7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形 2.变形特征1 1）绝对变形）绝对变形如前所述，直杆在轴向载荷作用下会产生轴线方向的伸长或压缩，其横向尺寸会相应地缩小或增大设一等截面直杆的原长为l，横向尺寸为b，变形后的长度为l1，横向尺寸为b1（见图7-6）图图7-6 7-6 轴向载荷作用下的杆件变形轴向载荷作用下的杆件变形7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形则纵向上的绝对变形量为l=l1l（7-1）横向上的绝对变形量为b=b1b（7-2）显然，杆件受拉时，l为正值，b为负值；杆件受压时，l为负值，b为正值。
7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形2 2）相对变形）相对变形根据前面所讲应变的概念，轴向绝对变形l与杆件原长l的比值即单位长度的变形，称为轴向应变，用符号表示为 （7-3）相应地，杆件的横向应变用符号表示为 （7-4）式中，的正负号与b一致；d为圆杆的直径7.1.1 轴向拉（压）杆的基本变形实验结果表明：当应力不超过材料的比例极限时，杆件的横向应变与其轴向应变之比的绝对值是一个常数，是一个量纲为1的数，称为泊松比（或横向变形系数），用符号来表示，即 （7-5）考虑到与的正负号总是相反的，所以 =（7-6）泊松比是材料固有的弹性常数，随材料的不同而不同7.1.2 简单胡克定律实验表明，受轴向拉伸或压缩的杆件，当其所受外力不超过某一限度时，材料在弹性范围内工作，其轴向绝对变形l与轴力FN和杆件的原长l成正比，与杆件的横截面面积A成反比，即引入比例常数E，得 （7-7）7.1.2 简单胡克定律式（7-7）就是适用于拉（压）杆的胡克定律式中E为材料的弹性模量弹性模量E和泊松比都是材料的弹性常数，其数值随材料的不同而异，可由实验测定常用工程材料的弹性模量和泊松比如表7-1所示7.1.2 简单胡克定律由式（7-7）可知，当其他条件不变时，弹性模量E越大，杆件的轴向绝对变形l越小，所以E是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。
当FN和l值不变时，EA值越大，轴向绝对变形l越小因此，EA可用来衡量杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆的抗拉（压）刚度将 和 代入（77），得=E（7-8）式（7-8）为胡克定律的另一种表达形式弹性模量E仅与材料的力学性能有关因此，胡克定律可表述为：当应力不超过某一极限值时，材料在弹性范围内工作，应力与应变成正比由于应变是一个无量纲的量，所以E的单位与相同，其常用单位是GPa（吉帕）7.1.2 简单胡克定律圆轴简单扭转实验表明，当剪应力不超过一定限度时，材料的剪应力与切应变成正比，可写成 =Gr（7-9）式（7-9）称为剪切胡克定律常数G为剪切弹性模量，是材料常数，仅与材料的力学性能有关胡克定律和剪切胡克定律统称为简单胡克定律，满足简单胡克定律的材料称为线弹性材料必须注意的是，这两个胡克定律的应用是有条件的，即必须是小变形的情况下才适用；当材料的变形比较大时，胡克定律不能反映实际材料的应力应变关系7.1.2 简单胡克定律【例例7-17-1】图图7-7 7-7 例例7-17-1图图7.1.2 简单胡克定律解：绘制轴力图杆的轴力图如图7-7（b）所示1）计算每段杆的伸长量应用胡克定律求出各段杆的变形量为7.1.2 简单胡克定律（2）计算每段杆的线应变。
应用胡克定律求出每段杆的线应变为（3）全杆的总伸长量杆的总变形等于各段变形之和，即PART7.2圆轴的扭转变形与刚度计算7.2.1 圆轴的扭转变形等直圆轴的扭转变形是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角来度量的 （7-10）式（7-10）是计算等直圆轴相对扭转角的依据其中，d表示相距为dx的两横截面间的相对扭转角，因此可得长度为l的一段轴两端横截面间的相对扭转角（或用表示）为 （7-11）7.2.1 圆轴的扭转变形若两横截面间的T值不变，且轴为同一种材料制成的等直圆杆，则式（7-11）中的T/GIP为常量，这时式（7-11）可化为 （7-12）的单位是rad式（7-12）表明，GIp越大，相对扭转角越小，故GIp称为圆轴的抗扭刚度由于圆轴在扭转时各横截面上的扭转可能并不相同，且圆轴的长度也各不相同，因此圆轴扭转变形的大小程度通常用相对扭转角沿轴线长度的变化率=d/dx来度量，称为单位长度扭转角，单位是rad/m由式（7-10）可得 （7-13）显然，以上计算公式都只适用于材料弹性范围内的等直圆杆7.2.2 圆轴扭转变形的刚度计算圆轴扭转时除需要满足强度条件外，有时还需要满足刚度条件例如，机器传动轴的扭转角过大，将会使机器在运转时产生较大的振动，刚度要求通常是限制其单位长度扭转角的最大值max不超过某一规定的允许值，即对于等直圆轴 （7-14）式（7-14）就是等直圆轴在扭转时的刚度条件。
7.2.2 圆轴扭转变形的刚度计算工程上，的单位也常用（）/m，此时，应把不等式（7-14）左端的rad/m换算成（）/m，即 （7-15）各种轴类零件的可在有关的机械设计手册中查到根据式（7-15）可对实心或空心圆形截面的传动轴进行刚度设计，即校核刚度、设计截面尺寸和计算许用载荷下面分别举例说明7.2.2 圆轴扭转变形的刚度计算【例例7-27-2】图图7-8 7-8 例例7-27-2图图7.2.2 圆轴扭转变形的刚度计算解：（1）求各段的扭矩用截面法或直接法求得AB，BC，CD段的扭矩分别为4.5 kNm，-4.5 kNm和-1.5 kNm，画出扭矩图如图7-8（b）所示2）计算相对扭转角已知D=105 mm，则7.2.2 圆轴扭转变形的刚度计算故轮A与轮B之间的相对扭转角为轮B与轮C之间的相对扭转角为7.2.2 圆轴扭转变形的刚度计算轮C与轮D之间的相对扭转角为所以，轮A与轮D之间的相对扭转角为PART7.3梁的弯曲变形与刚度计算7.3.1 挠度和转角梁各横截面形心的连线称为梁的轴线在外力作用下，梁的轴线由直线变成曲线，弯曲变形后的梁轴线称为梁的挠曲线，它是一条连续、光滑的曲线对于平面弯曲，挠曲线是一条位于梁的同一纵向对称平面内的平面曲线。
在外力作用下，梁变形后各横截面的位置将发生改变，梁的横截面将产生线位移和角位移，工程上常用这两个量来反映梁的弯曲变形7.3.1 挠度和转角 1.挠度横截面形心在垂直于梁轴方向上的线位移称为挠度，通常用（或y，f）表示不同横截面的挠度不同，因此挠度是横截面位置x的函数，即 =(x）（7-16）式（7-16）称为梁的挠度方程或挠曲线方程挠度的单位常用mm工程中梁的变形一般都很小，梁弯曲后都比较平坦，因此沿轴线方向的线位移通常可以略去不计7.3.1 挠度和转角 2.转角横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角，通常用表示不同横截面的转角不同，因此转角也是横截面位置x的函数 =(x）（7-17）式（7-17）称为梁的转角方程转角的单位是弧度（rad）或度（）7.3.1 挠度和转角 3.挠度和转角之间的关系挠度和转角都是横截面位置x的函数，由图7-9可知它们之间存在以下关系：图图7-9 7-9 挠度和转角之间的关系挠度和转角之间的关系7.3.1 挠度和转角由于梁的变形很小，因而梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线，转角极小，根据泰勒（Taylor）级数展开可知tan ，从而得（7-18）式（7-18）反映了挠度和转角之间的关系，它表明梁的横截面所转过的角度约等于同一横截面上挠度对x的一阶导数。
根据一阶导数的几何意义可知，在数值上，转角的大小等于梁的挠度线在该点变形前后的切线所转过的角度7.3.1 挠度和转角由此可见，计算梁的变形（和）的关键在于找到梁的挠曲线方程，将它对x求一阶导数，便可得到转角方程若将某个横截面位置的x坐标代入式（7-16）和式（7-17），则可求得该横截面的挠度和转角7.3.1 挠度和转角 4.挠度与转角的正负号规定建立如图7-9所示的坐标系，坐标系的原点一般在梁的左端并规定以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以梁左端横截面的纵向对称轴为轴，向上为正挠度的正负号规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负转角的正负号规定：逆时针转向的转角为正，顺时针转向的转角为负7.3.1 挠度和转角v专业类别提示专业类别提示土建类规定，向下的挠度为正，向上的挠度为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负；轴向下为正7.3.2 挠曲线的微分方程在第6章推导梁的弯曲正应力公式时，得到了纯弯曲情况下梁的轴线曲率表达式（6-35）纯弯曲时，式（6-35）中的弯矩M为一常数，若EIz不变，则为常数，即挠曲线是半径为的圆弧线但横力弯曲时，由于剪力对弯曲变形的影响很小，通常可忽略不计，因此式（6-35）也可用于横力弯曲的情形。
此时，弯矩M和曲率半径都不再是常量，而是横截面位置x的函数，根据高等数学可知，平面曲线=(x）上任意一点的曲率1可表示为 （7-19）7.3.2 挠曲线的微分方程因为 的数值很小，在等号右边的分母中，2与1相比甚小，可以忽略不计，所以式（7-19）变成 （7-20）将式（7-20）代入式（6-35），得 （7-21）7.3.2 挠曲线的微分方程式（7-21）等号右边正负号的选取与坐标系的选择和弯矩正负号的规定相关，如果弯矩的正负号按前面机械类的规定，并选用轴向上为正的坐标系，那么，当弯矩M0时，挠曲线向上弯曲，此时 ，如图7-10（a）所示可见，在机械类中弯矩M与 的符号总是相同的，因此，式（7-21）右端应保留正号，可得 （7-22）7.3.2 挠曲线的微分方程图图7-10 7-10 机械类与土建类挠曲线正负号的规定机械类与土建类挠曲线正负号的规定式（7-22）就是梁的挠曲线微分方程，由于在计算中进行了一些近似计算，故又称为挠曲线近似微分方程。