v教学重点：利用均值不等 式解决实际问题v教学难点：实际问题数学 化（建模）利用均值不等式 求函数的最值复习旧知识 ①均值不等式a2+ b2≥2ab，a+b≥2 · 2√ab (当且仅当a=b时上述各式取等号)；a3+ b3 + c3≥3abc，a+ b+ c≥3 · 3√abc (当且仅当a=b=c时上述各式取等号)③利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为正，和或积为定值，当且仅当上述不等式取等号时未知数的取值必须在允许值范围内②和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值例1：用边长为60厘米的正方 形铁皮做一个无盖的水箱，先在 四角分别截去一个小正方形，然 后把四边形翻转90°，再焊接而 成，问截去小正方形的边长为多 少时，水箱容积最大，最大的容 积为多少？解：已知量： 边长为60 cm的正方形铁皮需设量： 四角截去的小正方形的边长为：x cm最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高60cm60cmxcm 60-2xx60-2xxcm60-2x60-2x所求几何体的体积V=（ 60-2x ）·（ 60-2x ） · x目标函数：V=(60-2x)·(60-2x)·x≤3=2·(20)3 =16000 (cm)3当且仅当30-x=2x即x=10时，Vmax =16000(cm) 3答：截去小正形的边长为10cm时，水箱 容积最大，最大容积为16000(cm)3 =2·(30-x)· (30-x) · 2x例2 : 一块长方形的铁皮长为 80厘米，宽为50厘米，从四角处 截掉四个同样大小的正方形，然 后做成一个无盖的小箱，问截去 小正方形的边长为多少时，水箱 容积最大。
80cm50cm解：已知量： 长为80 cm，宽为50cm需设量： 截去小正方形的边长为：x cm最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高xcmxcm80-2x50-2x此题若按例1的解法来解当且仅当 80-2x = 50-2x这样的x不存在！ ！目标函数： V= (80-2x) ·(50-2x) · x解: V = (80-2x) (50-2x) x= 2 (40-x) (50-2x) ·x=18000(cm) 3当且仅当40-x=50-2x=3x即小正方形边长x=10时 ，Vmax=18000 (cm) 3解法：V=4(40-x) ·(25-x) ·x= (40a - ax) ·(25b - bx) ·x · (4/ab) 解得a=1/3，b=2/3，x=10 V=18 (40/3-x/3) ·(50/3-2x/3) ·x ≤18·[(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/3] 3=18000 当且仅当40/3 - x/3=50/3 - 2x/3 = x 即x=10时 V max =18000(cm) 3 若满足由同学们来完成下列练习：用总长29.6m的钢条制做一个长 方体的容器的框架，如果所制做容 器的底面一边比另一边长1m，那么 高为多少时容器的容积最大？并求 出它的最大容积。
解：已知量： 长方体的12条棱长之和 为29.6 m，需设量：长方体的底面两 边长为：x 和(x+1) m，高为hm最终要 研究的量：体积（V）=底面面积×高而4x+4(x+1)+4h=29.6 即 h = 6.4 - 2xV=x · (x+1) · (6.4 - 2x)x+1xh目标函数： V= x· (x+1) · hV=x·(x+1) ·(6.4 - 2x)=ax·(bx+b) ·(6.4-2x)/ab其中 a，b是待定的正常数且满足a+b=2 且ax = bx + b = 6.4-2x 解得 a=1.2，b=0.8，x=2此时V= 1.2x·(0.8x+0.8) ·(6.4-2x)/0.96≤[(1.2x + 0.8x + 0.8 + 6.4 - 2x)/3] 3 / 0.96 =(7.2/3) 3/0.96 =14.4m 3 答：当高h=6.4-2×2=2.4m时，Vmax =14.4m3例3：制做圆柱形的罐头盒，如果 容积一定，它的尺寸怎样取，所用的 材料最少？分析：所用的材料最 少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来 说是什么意思？ 分析出来实质是圆柱体的表面积已知量： 体积 V（假定为定值）需设量： 底半径r，高 h 最终要研究的量： 表面积 S=两个底面积 + 侧面积2rh且V = πr2 h目标函数： S=2πr2 +2πr h如图所示，已知圆锥的底面半径为R ，高为H，在其中有一个高为x，下底半 径与上底半径之比为k（0
课堂小结1．解应用题的方法与步骤2．均值不等式求函数的最值1、弄清已知量、确定目标变量 2、根据题设建立目标函数3、选定求解方法。