. 第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．§4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间〔0，l〕和［1，2〕，尽管它们互不相交，但它们的并〔0，1〕U［l，2〕＝〔0，2〕却是一个“整体〞；而另外两个区间〔0，1〕和〔1，2〕，它们的并〔0，1〕U〔1，2〕是明显的两个“局部〞．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间〔0，l〕有一个凝聚点1在［1，2〕中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果那么称子集A和B是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于 和 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集〔0，1〕和〔1，2〕是隔离的，而子集〔0，l〕和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，那么称X是一个不连通空间；否那么，那么称X是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X是一个拓扑空间．那么以下条件等价： 〔l〕X是一个不连通空间； 〔2〕X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B= 和 A∪B＝ X成立； 〔3〕 X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B= 和 A∪B＝ X成立； 〔4〕X中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明〔l〕蕴涵〔2〕: 设〔1〕成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然 A∩B=，并且这时我们有因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件〔2〕中的要求． 〔2〕蕴涵〔3〕．如果X的子集A和B满足条件〔2〕中的要求，所以A、B为闭集，那么由于这时有A＝B/和B=，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件〔3〕中的要求． 〔3〕蕴涵〔4〕．如果X的子集A和B满足条件〔3〕中的要求，所以A、B是开集，那么由A＝和B=易见A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真〔∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X〕子集，所以条件〔4〕成立． 〔4〕蕴涵〔l〕．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．那么A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的〔因为闭集的闭包仍为自己〕．因此〔l〕成立． 例4. 1．1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合〔-∞，r〕∩Q＝〔－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集． 定理4．1．2 实数空间R是一个连通空间．证明 我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．那么根据定理4．1．1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B= 和 A∪B＝ R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令=A∩[a,b]，和=B∩[a,b]．于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得∩=和∪=[a，b]成立．集合有上界b，故有上确界，设为．由于是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜b，因为＝b将导致b∈∩，而这与∩=矛盾．因此〔，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致∈∩，也与∩=矛盾．定义4．1．3设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，那么称Y是X的一个连通子集；否那么，称Y是X的一个不连通子集． 拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.)．因此，如果，那么Y是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到． 定理4．1．3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，BY．那么A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集． 因此，Y是X的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．证明 因为因此根据隔离子集的定义可见定理成立． 定理4．1．4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得 YA U B，那么或者 YA，或者 YB．证明 如果A和B是X中的隔离子集使得YAUB，那么这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而 〔A∩Y〕∪〔B∩Y〕＝〔A∪B〕∩Y＝Y因此根据定理4．1．3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果 A∩Y=，据上式立即可见 YB，如果 B∩Y＝ ，同理可见YA． 定理4．1．5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足条件．那么 Z也是X的一个连通子集．证明 假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B．因此 YAUB．由于Y是连通的，根据定理4．1．4，或者YA，或者YB,同理,。
这两种情形都与假设矛盾． 定理4．1．6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果，那么是X的一个连通子集． 证明 设A和B是X中的两个隔离子集，使得，＝A∪B．任意选取x∈，不失一般性，设x∈A．对于每一个γ∈Γ，由于连通，根据定理 4. 1． 4，或者或者 ；由于 x∈∩A，所以．根据定理 4． 1． 3，这就证明了是连通的． 定理4．1．7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈ Y存在X中的一个连通子集使得x，y∈Y，那么Y是X中的一个连通子集．证明 如果 Y=，显然 Y是连通的．下设 Y≠,任意选取a ∈Y，容易验证Y＝并且a∈．应用定理4．1．6，可见Y是连通的． 我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质〔参见§2．2〕．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，那么此性质必然是拓扑不变性质． 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，那么称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质‘拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，那么称这个性质是一个可商性质．由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4．1．8指出，连通性〔即一个拓扑空间是连通的这一性质〕是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质． 定理4．1．8 设f: X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．那么f〔X〕是Y的一个连通子集．证明 如果f〔X〕是Y的一个不连通子集，那么存在Y的非空隔离子集A和B使得f〔X〕＝A ∪ B．于是〔A〕和〔B〕是X的非空子集，并且所以 〔A〕和〔B〕是 X的非空隔离子集．此外，〔A〕∪〔B〕＝〔A∪B〕= (f(X))=X这说明X不连通．与定理假设矛盾． 拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间都具有性质p，蕴涵着积空间也具有性质p．例如，容易直接证明，如果拓扑空间都是离散空间〔平庸空间〕，那么积空间也是离散空间〔平庸空间〕，因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质． 根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．定理4．1．9设是n个连通空间．那么积空间也是连通空间． 证明 根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明． 首先我们指出：如果两个点有一个坐标一样，那么有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设 定义映射k：使得对于任何有．由于是取常值的映射，为恒同映射，它们都是连续映射，其中分别是到第 1和第 2个坐标空间的投射．因此，k是一个连续映射．根据定理4．1．8，k()是连通的．此外易见，，因此它同时包含 x和y． 现在来证明：中任何两个点同时属于的某一个连通子集．这是因为这时假设令，那么根据前段结论，可见有的一个连通子集同时包含 x和 z，也有的一个连通子集同时包含y和z．由于z∈，所以根据定理4．1. 6，是连通的，它同时包含x和y． 于是应用定理4．1．7可见是一个连通空间．由于n维欧氏空间是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间是一个连通空间． 作业: P.116 3. 5. 6. 8. 14.§4．2 连通性的某些简单应用本节重点: 掌握实数空间R中的连通子集的〞形状〞 掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实. 让我们回忆实数集合R中区间的准确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，那么有 [a，b]={x∈R | a≤x≤b}E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下九类： 〔-∞，∞〕，〔a，∞〕，［a，∞〕，〔-∞，a〕，(-∞，a］ 〔a，b〕，〔a，b］，［a，b〕，［a，b］因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上〔下〕界，以及在有上〔下〕界的情形下视其上〔下〕确界是否属于E，而将E归入以上九类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．由于区间〔a，∞〕，〔－∞，a〕和〔a，b〕都同胚于R〔请读者自己写出必要的同胚映射〕，所以这些区间也都是连通的；由于根据定理4．1．5可见区间[a，∞〕，〔－∞，a]，[a，b〕，〔a，b]和[a，b］都是连通的．另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E不是一个区间，那么, 也就是说,存在a