189 第六章第六章 选选 择择 公公 理理 6.1 良序定理和选择公理 如果集合 A 上存在良序关系，则称 A 是可良序的良序定理 是说任何集合都可良序 如果良序定理成立，则由良序集基本定理可知，任给两个集 合，总可以建立从其中一个集合到另一个集合的单射，从而任何 基数都可以比较大小了这样，基数作为元素个数的数就更令人 满意了因此，良序定理是否成立是集合论中的一个重要问题 首先给出良序定理的严格表述 6.1.1 良序定理 任给集合 A，存在 A 上二元关系 R，使得 是良序集 Zermelo 在 1904 年提出了选择公理， 并用它证明了良序定理 选择公理有许多不同的形式，我们采用最一般的集合族的形式 6.1.2 选择公理 任何非空集合的集合族上都存在选择函 数详细地说就是： 如果Γ是集合族且∅∉Γ，则存在Γ到∪Γ的映射 f，满足任给X∈Γ，都有 f(X)∈X 选择公理的直观意义是：对于任意多个非空集合，可以同时 指定属于每个集合自身的一个元素选择函数 f 就是这样的一个 指定，f(X)就是属于 X 的一个元素 对于每个确定的非空集合，指定属于它自身的一个元素总是 可以做到的，如果这些集合的个数有限，则一个一个指定就行了。
所以选择公理的关键在于：对无限多个无限多个非空集合，同时同时指定属于190 每个集合自身的一个元素 因此，在没有选择公理的情况下，除非另有标准外，一般不 能保证这样的元素同时被指定 Russell 曾经举过一个通俗的例子：无限多双鞋子，可以同时 对每双鞋子取一只，而无限多双袜子，就不能做到这一点因为 鞋子有左右之分，我们可以同时取左边一只，而袜子没有左右之 分，我们没有任何标准同时在两只中取一只 在良序集基本定理的证明中，重要的一步是： 如果任给 i∈I，Ai都是 A 的前段，Bi都是 B 的前段且 Ai≌Bi， 则∪Ai≌∪Bi 因为任给 i∈I，Ai到 Bi的相似映射只有一个，所以可以对每 个 i∈I 同时找到 Ai到 Bi的相似映射 fi，从而去构造∪Ai到∪Bi的相似映射 设{Ai | i∈I}和{Bi | i∈I}都是不交的，我们一般不能证明： 如果任给 i∈I，都有| Ai | =| Bi |，则| ∪Ai | = | ∪Bi | 因为任给 i∈I，Ai到 Bi的双射一般不止一个，所以无法保证 对每个 i∈I 同时找到 Ai到 Bi的双射 fi，在没有其它条件时，一般 无法构造∪Ai到∪Bi的双射。
选择公理是对集合性质的一种假设虽然对于有限多个集合 来说，它是正确的，但我们并不能就此说对于无限多个集合，它 也是正确的因为有限的性质不能随意地推广到无限 由于选择公理的假设性， 它一提出来就遭到了一些人的反对， 但它在数学中有很大的用处经过长期的争论，它得到了大多数 人的公认 在证明任何无限集都有可数子集时，是需要用选择公理的 在一些和选择公理相反的假设下，可以证明存在没有可数子集的 无限集这样的集合的存在，破坏了数学中一些基本的性质，所 以虽然它们在逻辑上是无矛盾的，但在数学中是难以接受的 以下从选择公理证明良序定理 191 6.1.3 引理引理 A ≠ ∅，取 P(A)＼{∅}上的选择函数 h，取 b∉A 对每个序数α，归纳定义 Aα ⊆ A∪{b}和 aα∈A∪{b}如下： Aα = {aτ | τ相似于，再由定理 5.1.13 得 是良序集■ 这个证明的直观想法是用序数一个一个数集合 A 中的元素， aα就是第α个元素 每次在剩下的子集中取元素是由选择公理预先193 指定的，在定理中表示为 aα = h(A＼Aα) 我们用超穷归纳定义描述这样的过程，但又不知道到哪个序数为 止可以把集合 A 中的元素数完。
所以引进 b∉A，使得当集合 A 的 元素数完后，就重复地数 b 有个值得注意的现象，对于任何集合，总是可以到某个序数 为止，将集合中所有的元素数完这个现象的产生是因为序数集 合的一个性质(定理 5.3.12)： 任给序数的集合，总有一个序数比集合中每个序数 都大 由良序定理可知，只要我们需要，任何集合都可以将它看作 良序集从良序定理的证明中还可得到，任何集合总可以无重复 地表示成{aα | ακ}是基数 的非空集合，A 的最小数称为基数κ的后继，记为κ+ 6.2.7 定义定义 后继基数和极限基数 如果存在λ，使得κ = λ+， 则称κ是后继基数，如果κ ≠ 0 且κ不是后继基数，则称κ是极限基 数 基数的后继、后继基数和极限基数和序数中相应的概念有许 多类似的性质 6.2.8 定理定理 后继基数的性质 (1) κ的集合，其中 X 是集合，f207 是定义域为 X 的映射为了以后使用方便，先证明以下引理 6.3.4 引理引理 B 是集合， Σ是有序对的集合， 其中 X 是集 合，f 是 X 到 B 的映射在Σ上定义二元关系≤如下： ≤ = {, > | X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1}， 即 ≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1， 则有： (1) ≤是Σ上偏序关系。
(2) 如果Φ = { | i∈I}是Σ的线形链，令 X = ∪i∈I Xi，则 存在 X 到 B 的映射 f，使得任给 i∈I，都有 f | Xi = fi 因此，如果∈Σ，则是Φ的上界 (3) 在(2)中，如果每个 fi是单射，则 f 是单射 证证 (1) 证明≤具有自返性、反对称性和传递性 自返性任给∈Σ，都有 X ⊆ X 且 f | X = f， 所以≤ 反对称性如果≤且≤，则 X1 ⊆ X2，X2 ⊆ X1，f2 | X1 = f1且 f1 | X2 = f2， 所以 X1 = X2，f1 = f2 | X1 = f2 | X2 = f2， 因此 = 传递性如果≤且≤，则 X1 ⊆ X2，X2 ⊆ X3， f2 | X1 = f1且 f3 | X2 = f2， 所以 X1 = X2，f3 | X1 = (f3 | X2) | X1 = f2 | X1 = f1， 因此≤ (2) 考虑映射族Γ = {fi | i∈I}显然 {Xi | i∈I} 是单调的，又任给 i, j∈I，如果 Xi ⊆ Xj，则 fj | Xi = fi，所以 208 任给 x∈Xi，都有 fj(x) = fj | Xi (x) = fi (x)。
由定理 2.5.11(2)，存在Γ的并映射 f，由并映射的定义得 f 是 X 到 B 的映射 且 任给 i∈I，都有 f | Xi = fi (3) 由定理 2.5.12(2)■ 现在证明由 Zorn 引理可以推出选择公理，从而它们是等价 的 证明的思路是这样的：考虑有序对组成的集合，其中 X 是Γ的子集，f 是 X 上的选择函数，由引理 6.3.4 在这个集合上构 造偏序关系， 然后用 Zorn 引理证明它有极大元， 最后证明 X0 = Γ，所以 f0就是Γ的选择函数 6.3.5 定理定理 Zorn 引理可以推出选择公理 证证 设Γ集合族且∅∉Γ，取 Σ = { | X ⊆ Γ， f： X→∪Γ， 任给 Y∈X， 都有 f(Y)∈Y} 取 A∈Γ和 a∈A，令 f：{A}→∪Γ f(A) = a， 则∈Σ，所以Σ非空 由引理 6.3.4 可在Σ定义偏序关系如下： ≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1 则Σ是非空偏序集 任给Σ的线形链 Φ = { | i∈I}， 取 X = ∪i∈I Xi，则 X ⊆ Γ由引理 6.3.4，存在 X 到∪Γ的映射 f，使得 任给 i∈I，都有 f | Xi = fi。
又 任给 Y∈X，存在 i∈I，使得 Y∈Xi， 所以 209 f(Y) = fi (Y)∈Y， 由Σ的定义得 ∈Σ， 因此是Φ的上界 这说明Σ的任何线形链都有上界，由 Zorn 引理，Σ有极大元 如果 X0 ≠ Γ，则取 A∈Γ＼X0，取 a∈A，构造 X0∪{Y0}到∪Γ的映射 f0(Y) 如果 Y∈X0 f：X0∪{Y0}→∪Γ f(Y) = a 如果 Y = X0，则任给 Y∈X0∪{Y0}，都有 f(Y)∈Y，所以 ∈Σ 显然有 ， 和是极大元矛盾 因此 X0 = Γ，f0就是Γ的选择函数■ 另一类常用的偏序集是由集合族Σ和Σ上的包含关系组成的 偏序集对于这样的偏序集Σ，任给Φ ⊆ Σ，Φ是线形链当且仅当 Φ是单调的显然，任给Φ ⊆ Σ，∪Φ是Φ的上界 所以，只要任给单调的Φ ⊆ Σ，都有∪Φ∈Σ，就能用 Zorn 引理证明Σ有极大元 6.3.6 例例 用 Zorn 引理重新证明极大链存在定理 设 B 是 A 的线形链，取 Σ = {X | X 是 A 的线形链且 B ⊆ X}， 则： (1) Σ非空 (2) 任给单调的Φ ⊆ Σ，∪Φ还是线形链，所以∪Φ∈Σ。
因此，由 Zorn 引理得Σ有极大元 MM 就是 A 的极大线形链，并210 且 B ⊆ M 习题习题 6.3 6.3.1 用 Zorn 引理证明基数可比较定理 A, B 是非空集合， Σ = { | X ⊆ A，f 是 X 到 B 的单射}， 由引理 6.3.4 可在Σ定义偏序关系如下： ≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1 证明： (1) Σ非空 (2) 任给Σ的线形链Φ = { | i∈I}，Φ都有上界，因此Σ有 极大元 (3) 如果是极大元，则 X0 = A 或 f [X0] = B (4) 存在 A 到 B 的单射，或存在 B 到 A 的单射 6.3.2 用良序定理证明 Zorn 引理 A 非空偏序集，A 的任何 线形链都有上界由良序定理，可设 A = {aτ | τ组成的集合，其中 X 是 A 的子集，f 是 X 到 A∪B 的单射，且有 f [X] = X∪g[X]，这样的 X 满 足 | X |+| X | = | X | 然后由引理 6.3.4 和 Zorn 引理证明它有极大元，最后证明 | X0 | = | A | = κ， 所以κ+κ = | X0 |+| X0 | = | X0 | = κ。
6.4.1 定理定理 无限基数的倍等定理 任给无限基数κ， 都有κ+κ = κ 证证 取集合 A, B，满足| A | = | B | = κ且 A∩B = ∅，取 A 到 B 的双射 g取 Σ ={ | X ⊆ A，f 是 X 到 A∪B 的单射且 f [X] = X∪g[X]} 显然任给∈Σ，都有 | X |+| X | = | X∪g[X] | = | f [X] | = | X | 取 A 的可数子集 X，则 X∪g[X]也是可数集，取 X 到 X∪g[X] 的双射 h，令 f：X→A∪B f(x) = h(x) 则∈Σ，所以Σ非空 由引理 6.3.4 可在Σ定义偏序关系如下： ≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1 则Σ是非空偏序集 212 任给Σ的线形链Φ = { | i∈I}，取 X = ∪i∈I Xi， 则 X ⊆ A由引理 6.3.4，存在 X 到 A∪B 的单射 f，使得 任给 i∈I，都有 f | Xi = fi 又 f [X] = f [∪i∈I Xi] = ∪i∈I f [Xi] = ∪i∈I fi [Xi] = ∪i∈I (Xi∪g[Xi]) = (∪i∈I Xi)∪(∪i∈I g[Xi]) = X∪g[X]， 所以 ∈Σ， 因此是Φ的上界。
这说明Σ的任何线形链都有上界，由 Zorn 引理，Σ有极大元 如果我们证明了| X0 | =。