第四章整环里的因式分解§ 1.素元、唯一分解本讲中，总假定9为整环，^为O的商域.1. 整除定义1设D为整环，a,b e D ,如果存在cw D，使得a = be则称灌除Q,记作M气并称&是「的一个因子，a是 &的倍 元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广，因此有许 多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质：(1) 如果叫々叫乌则叫〉十召;(2) 如果小，b | "则■ | E2. 相伴定义2整环D的一个元三叫做D的一个单位，假如「是一个有逆 元的元元&叫做元久的相伴元，假如b是*和一个单位，的乘积： b= SGL定理1两个单位的乘积也是一个单位.单位E的逆元£也是 个单位.例1因为整数环z的单位仅有1与-1,故任一非零元@有2个相 伴元：与-a .例2 '国有四个单位，1,-1, i,-i,所以任一非零元皿+既， 0上任£）有四个相伴元：a+bi-a -bi,-b+叫b —用定义3单位以及元弟勺相伴元叫做血勺平凡因子.若宓有别的因 子，则称为皿的真因子.3. 素元定义4设D为整环，peD，且质既非零也非单位，如果『只有平凡因子，则称声为一个素元.定理2 单位e与素元斧的乘积密也是一个素元.定理3 整环中一个非零元皿有真因子的充分且必要条件是：&二阮，这里&，都不是单位.推论 设企芥°，并且久有真因子、卜况.则U也是血勺真因子.定义5我们称一个整环D的元^在D中有唯一分解，如果以下条 件被满足：⑴空=冲…为d的素元）（ii）若同时有八9"・・％（的为1的素元）则有厂二勺并且可以调换％的次序，使得知二汹（F 的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的 对象只能是非零也非单位的元.例3给整环，=0据仔I的占三习.那么有：（1"的单位只有±1.⑵适合条件1^|3=4的元配一定是素元.首先I如=4,拊0；又由（1）,由也不是单位.设P为&的因子:F =羹 + 上匚3, = _/5/那么心|七4目如计但不管吊，&是何整数，I伊=1或4若W = l,则片是单位.若1就=4,则I叶=1而川为单位.因而§ =广皿户是队的相伴元.从而配只有平凡因子，故配是素元.(3) 4 eE没有唯一分解：我们有(A)4。
妃=(1 +也(1-0,|2p = 4?|l + ^P=^|l-.^3p=4,故由(2),2, 1+气反J %闩都是］的素元.由(1), 1土幅都不是2的 相伴元，因而给出了4的两种不同分解从而4没有唯一分解.这说明并不是任意整环】中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2.唯一分解环定理1 一个唯一分解环有以下性质: 若一个素元『能够整除山3,则有甘整除以或、定理2 做定整环】有如下性质：(i) 丁的每一个非零非单位的元山都有一个分解.口 = P",•玮(R为£的素元)(ii) J的一个素元Q若能够整除感，则有『整除就或&,则J 一定 是一个唯一分解环.定义6元^叫做知％…，％的公因子，如果曰％「=〔2・・/.定理3 一个唯一分解环J的两个元就和&在J里一定有最大公因 子.宣和右的两个最大公因子泌和只能差一个单位因子：忒二成(E是单位).推论 一个唯一分解环丁的淤个元在E里一定有最大 公因子.知角，…网的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元"豚g 最大公因子是单位.称为互素的，如果它们的$3.主理想环引理1设J是一个主理想环.若在序列知％…0耳1〉里的每一 个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理2 设J是一个主理想环，那么I的任一素元的生成一个最大 理想.定理一个主理想环丁是一个唯一分解环.证：我们证明J是一个唯一分解环.设空且*不是零也不是单位.若就不能写成有限个元的乘积，则但不是一个素元，所以由$4. 1的推论，"士哭都是就的真因子.就的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则&就是 素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若*没有分解，贝帅 一定有一个真因子％%也没有分解.这样，在&没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列叫％沔，％…在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理1，这是不 可能的，所以就一定有分解.即满足$4. 2定理2中的条件(i).又设】的素元『能整除I的元乘积感，那么ab = rp^(p) ^>ab= 0((p))这就是说在剩余类环里"9)，仙所代表的类与o所代表的类相 同：［泌］二［口］二［可句由引理2, 3)是最大理想，因而由$3.9的定理，冰、们是一个 域.因为域没有零因子，所有由上面等式有皿二冏或四二［。
］即有或2成(疝亦即史⑵或兄8)从而P心或尹也，故也满足$ 4. 2定理2的条件(iii).因而F是一 个唯一分解环.$4.欧氏环定义一个整环/叫做一个欧氏环，如果(i) 有一个从『的非零元所作成的集合E — {0}到全体非负整数 作成的集合的映射存在；(ii) 任意给定的一个非零元…的任何元&都可以写成b= g“ + e I)的形式，这里有广二或也、〉邱&)例 整数环是一个欧氏环.因为：P 口 T □ I=定理1是一个适合条件(的映射并且任意给定整数& * °，则任何整数都 可写成这里尸=0或仃)二官同非建)上面定义中的映射只称为欧氏映射.定理1每一个欧几里德环都是主理想整环，因而也是唯一分解 环.证明设U为欧几里德环I的任一理想，尹为欧氏映射.(1) 如果 u=｛｝,则 ^=(0).(2) 如果uh｛°｝,令弑白)以EuqHO｝则£非空，且5UNU｛｝.设deu，使得戒①为£中 的最小数，下证D*.任给y因为圭所以存在，使得观"于是,「25*如果^#o,则成沪对),与d的选取矛盾.所以，r = 0,贝* =处，于是 作 g 由企的任意性可知JU0).又所以@〉ud,从而二("这就证明了，丁的任一理想都是主理想，故［为主理想 整环.定理2 整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理3 —个域F上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个 唯一分解环.$5.多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环』上的一元多项式环E(Q.我们称的素 元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多 项式.定义E3〉的一个元/①1叫做一个本原多项式，如果/3〉的系 数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A) I的单位是日工〕的仅有的单位.(B) 一个本原多项式不会等于零.(C) 若本原多项式工〉可约，那么/⑴二(对,且有口 邙％⑴ 5*(以①)表示对的次数) 引理1设=&(对而3)，，那么是本原多项式的充分且 必要条件是g(工〉和”都是本原多项式.设q是j的商域，那么多项式环a［对是唯一分解环.引理2 °［钊的每一个非零多项式/（工）都可以写成了（Q二|■儿⑴的形式，这里"上任八"（Q是'3〉的本原多项式.如果幻B〉 也有尤3〉的性质，那么幻⑴=W（Q，（e为项的单位）引理3 "Q的一个本原多项式在"工〉里可约的充分必要 条件是丈3〉在里可约.引理4，⑴ 的次数大于零的本原多项式在'（工〉里有唯一分解.有 了以上的结论，我们就有定理 如果J是唯一分解环，，则"尤〉也是唯一分解环.$6.因子分解与多项式的根定义 整环J的元度叫做的多项式的一个根，如果有加二。
定理i就是『3)的一个根的充分且必要条件x -役是整除f ®定理2 /的击个不同的元知％…网都是『(①的根的充分且必要条件是3FEF …3F 整除/(Q推论 若的次数为鑫，则在e中至多有珂个根.定义丁的元席叫做/⑴的一个重根，如果/⑴能被3-©整 除，这里止是大于1的整数.定义由多项式知二"'+以卜1工”-' + ・・・+%工+ %唯一决定的多项式& M =拎伐撰 H- -[)以 一3 + ■ ,■ + 2 仗3 & +叫做的导数.导数适合如下计算规则：I I I I I I[/(^ + = /(ir) ■*■ ] = h)g [枚 + 九)§ 孩),[/(^) ] — tf(ff//(if)定理3 的一个根就是一个重根的充分且必要条件是3 -①整除推论 设是唯一分解环.j的元"是的一个重根的充分 I且必要条件是：3 - $〉能整除『3）和止町的最大公因子.。