补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换ü拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义ü常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换ü拉氏变换的定理拉氏变换的定理拉氏变换的定理拉氏变换的定理ü拉氏反变换拉氏反变换拉氏反变换拉氏反变换 拉普拉斯应用意义拉普拉斯应用意义拉普拉斯变换(Laplace)是求解线性微分方程的简便运算法l将微分方程通过拉氏变换变为s 的代数方程；l解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；l应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解 拉氏变换的定义拉氏变换的定义1、f(t)实函数实函数，且当t<0时，f(t)=03、s为复变量， F(s)复函数复函数，s=σ+jω（σ，ω均为实数）5、F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换拉普拉氏变换或象函数象函数; f(t)称为F(s)的原函数原函数，，L L为拉氏变换的符号函数f(t)的拉普拉氏定义为： 2、当 时，积分 在s的某一域内收敛 拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。
常见时间函数拉氏变换表常见时间函数拉氏变换表序号序号f(t)F(s)1单位脉冲函数:d d(t)12单位阶跃函数:1(t)1/s3单位速度函数：t1/s2456sin(w wt)7cos(w wt) 常见时间函数拉氏变换表常见时间函数拉氏变换表序号序号f(t)F(s)8tn(n=1,2,3….)9 (n=1,2,3….)1011 阶跃函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换 洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换单位脉冲函数拉氏变换 指数函数的拉氏变换指数函数的拉氏变换 斜坡函数单位速度函数的拉氏变换单位速度函数的拉氏变换 抛物线函数单位加速度函数拉氏变换单位加速度函数拉氏变换 （欧拉公式）（欧拉公式）三角函数的拉氏变换三角函数的拉氏变换 幂函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换 拉氏变换的主要运算定理线性定理线性定理微分定理微分定理积分定理积分定理位移定理位移定理延时定理延时定理卷积定理卷积定理初值定理初值定理终值定理终值定理 比例定理比例定理比例定理比例定理线性定理线性定理叠加定理叠加定理叠加定理叠加定理 原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式多重微分多重微分 积分定理积分定理 原函数的原函数的n n重积分重积分像函数中除以像函数中除以s sn n多重积分多重积分 原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a位移定理位移定理 原函数平移 像函数乘以 e-s 延时定理延时定理 原函数原函数f(t)f(t)的稳态性质的稳态性质 sF(s)sF(s)在在s=0s=0邻域内的性质邻域内的性质终值定理终值定理 初值定理初值定理 F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]= f1(t) + f2(t) + … + fn(t)条件： 分母多项式能分解成因式多项式极点多项式零点拉氏反变换方法拉氏反变换方法部分分式法的求取拉氏反变换部分分式法的求取拉氏反变换部分分式法的求取拉氏反变换部分分式法的求取拉氏反变换 由线性性质可得由线性性质可得如果如果的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换可分解为可分解为并假定并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即的拉普拉斯变换容易求得，即则则 l当分母A(s)无重根时： 例例1 求求 的的Laplace 反变换反变换解解 l当分母A(s)有重根时： 例例2 求求的的Laplace 反变换反变换解解 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
拉氏变换求解线性微分方程拉氏变换求解线性微分方程 ü应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要初始条件就可得到微分方程的全解ü如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。