●基础知识平面中两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． 一、两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.l1∥l2⇔ .对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔ ．两平行线Ax＋By＋C1＝0和Ax＋By＋C2＝0的距离为d ＝ . k1＝k2且b1≠b2A1B2＝A2B1且A2C1≠A1C2(或B1C2≠B2C1) 二、两直线相交1．两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.l1⊥l2⇔k1·k2＝ .对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝ .－10 2．两条直线的夹角①l1到l2的角：直线l1与l2相交，l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，记为θ1.计算公式：tanθ1＝ ． ②l2到l1的角：直线l1与l2相交，l2依逆时针方向旋转到与l1重合时所转的角，叫做l2到l1的角，记为θ2.计算公式：tanθ2＝ (θ1＋θ2＝ )． π ③l1与l2的夹角：将θ1与θ2中不超过90°的角，叫做l1与l2的夹角，记为θ.计算公式：tanθ＝ ． 三、两直线重合两条直线重合的充要条件是它们对应的方程完全相同． 四、点与直线的位置关系设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则1．点在直线上：Ax0＋By0＋C＝0.2．点在直线外：Ax0＋By0＋C≠0.3．点到直线的距离d＝ . 五、直线系与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程(包括原直线)：Ax＋By＋λ＝0(λ为待定系数). 若所求直线过P(x0，y0)点，且与Ax＋By＋C＝0平行，则方程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为：Bx－Ay＋λ＝0(λ为待定系数). 若所求直线过P(x0，y0)点，且与Ax＋By＋C＝0垂直，则方程为：B(x－x0)－A(y－y0)＝0.过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，且不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)． ●易错知识一、判定两直线的位置关系时忽视特殊情况而失误．1．已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1与直线2x－3y－5＝0平行，则m＝________. 二、忽视各种直线系的限制条件而失误．2．已知点P(1,1)和直线l：3x－4y－20＝0，则过点P且与l平行的直线方程为________；过点P与l垂直的直线方程是________．答案：3x－4y＋1＝0 4x＋3y－7＝0 3．已知直线l1x＋y＋2＝0，l22x－3y－3＝0，则经过l1、l2的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线方程是________．答案：15x＋5y＋16＝0 三、求点到直线的距离及两平行线间的距离失误．4．两平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间距离为d，则a＋d＝________.答案：105．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，则l的方程为________．(2)点A(5,0)到l的距离的最大值为________．答案：(1)x＝2或4x－3y－5＝0 (2) ●回归教材1．(教材P584题改编)已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( )A．0° B．135° C．90° D．180°解析：因为直线l1的斜率为0，则直线l1与x轴平行或重合，又∵l1⊥l2，∴l2⊥x轴，∴l2的倾斜角为90°.答案：C 2．(教材P542题改编)直线y＝2与直线x＋y－2＝0的夹角是( ) 解析：∵直线y＝2与直线x＋y－2＝0的斜率分别为k1＝0，k2＝－1.答案：A 3．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5即4x－2y－5＝0.答案：B 4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )A．6 B. C．2 D．不能确定答案：B 5．若原点到直线ax＋y＋7＝0的距离为5，那么a＝________. 【例1】 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. [命题意图] 考查两条直线平行与垂直的充要条件. [分析] 两直线的位置关系与方程系数的关系是解本题的关键. [解答] (1)∵m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7. (2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2，又－ ＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.[总结评述] 若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的必要条件是A1B2－A2B1＝0；而l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作． (2009·安徽，7)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0答案：A解析：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线可设为3x＋2y＋c＝0, 将点(－1,2)代入解得c＝－1，∴3x＋2y－1＝0.故选A. (2009·广州一模)已知过A(－1，a)、B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为 ( )A．－10 B．2 C．5 D．17答案：B解析：由平行直线斜率相等得：2 ∴a＝2. 【例2】 等腰直角三角形，斜边中点是M(4,2)，一条直角边所在的直线方程是y＝2x，求另外两边所在的直线方程． [解析] 设斜边所在直线AB的斜率为k，由题意，斜边与直角边夹角为45°，所以tan45°＝ ，解得k＝－3或k＝ 当k＝－3时，斜边方程为y－2＝－3(x－4)，即3x＋y－14＝0. 另一条直角边所在方程：x＋2y－2＝0.当k＝ 时，同理可得另两边所在的直线方程：x－3y＋2＝0，x＋2y－14＝0. [总结评述] 应用平面几何知识求几何图形各边所在直线时，经常使用夹角与到角公式，要注意采集已知条件中所含信息以便于选用公式，切忌不考虑图形特点盲目使用两公式的做法．如果不能确定是哪条直线到哪条直线的角，可先用夹角公式进行运算再对运算结果用图形或借助题目其它条件进行检验和取舍． (2008·全国Ⅱ，11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x＋y－2＝0与x－7y－4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为( )A．3 B．2 答案：A解析：设底边所在直线的斜率为k，由等腰三角形的底角相等及到角公式得 已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为 ，求直线l的方程．分析：先求l1与l2的交点，再利用l与l3的夹角为 求l的斜率，通过点斜式可得l的方程． 解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)．设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)． 故所求的直线l的方程为即7x＋3y－11＝0或3x－7y－13＝0.拓展探究：本题也可用直线系方程求解．设l：(x＋2y)＋λ(3x－4y－10)＝0，求出斜率，再用夹角公式求得λ，即得l方程. 【例3】 已知点P(2，－1)，求：(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． [解析] (1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上所述，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl·kOP＝－1.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直 (3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过 的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线． (2008·浙江嘉兴质检)点(0,1)到直线y＝2x＋2的距离为( )答案：A (2007·西安八校联考)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3＜0表示的平面区域内，则a的值为( )A．－3 B．3 C．7 D．－7命题意图：本题主要考查点到直线的距离公式和线性区域是一个小综合题，也代表了今后的高考趋势．答案：A 又2a＋3－3＜0，所以a＝－3.故选A. 【例4】 求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．[分析] 先解直线a与直线l的方程构成的方程组，求出交点E的坐标，则E点也在直线b上，再寻求直线b满足的另外一个条件即可． 解得a与l的交点E(3，－2)且点E也在直线b上． 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－ 则 解得k＝－ .∴直线b的方程为y－(－2)＝－ (x－3)，即2x＋11y＋16＝0. 方法二：在直线a上取一点A(2,0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为B(x0，y0)． 即2x＋11y＋16＝0. 方法三：设直线b上的动点P(x，y)，关于l的对称点Q(x0，y0)在直线a上，则 ∵Q(x0，y0)在直线a：2x＋y－4＝0上，化简得2x＋11y＋16＝0，即为所求的直线b的方程． [拓展提升] 解对称问题要抓住两类：点对称和轴对称，若两点A、B关于点P对称，则P是线段AB的中点；若两个图形C1、C2关于点P对称，则C1上任一点关于P的对称点必在C2上，反之也成立．若两点A、B关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线，若两个图形C1、C2关于直线l对称，则C1上任意一点关于l的对称点必在C2上，反之也成立． 在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使点P到A(1,7)和B(0,4)的距离之和最小．分析：求出点B(0,4)关于直线l的对称点B′的坐标，直线AB′与直线l的交点即为所求的点P. 解答：把A(1,7)，B(0,4)代入直线l：3x－y－1＝0的左边，∵3×1－7－1＜0,3×0－4－1＜0，∴A、B两点在直线l的同一侧．设点B关于直线l的对称点B′(m，n)，则kBB′·kl＝－1，即 ·3＝－1，∴m＋3n－12＝0.又由于线段BB′的中点坐标为 且在直线l上， 即l与AB′的交点坐标为(2,5)，所以，所求点P的坐标为(2,5)． 规纳总结：当两个定点在直线l的同侧时，在直线l上存在一点P到两定点的距离之和最小，而当两定点位于直线的异侧时，在直线l上存在一点P到两定点的距离之差最大．解决方法都是转化为求点关于直线l的对称点． 1．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系可由系数比来确定．当系数不为0时，有：①l1∥l2⇔ 2．注意“夹角”与“到角”的区别．3．直线系方程主要掌握：①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)；②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程：y＝kx＋m(m≠b)；③过定点(x0，y0)的直线系方程y－y0＝k(x－x0)及x＝x0. 4．直线a，b关于直线l对称，则应具有下列几何性质：①若a与b相交，则l是a、b夹角的平分线；若a与b平行，则b∥l且a、b与l的距离相等；②若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，并且AB⊥l，AB的中点在l上；③设P(x，y)是所求直线上一点，则P关于l的对称点P′的坐标适合a的方程． 请同学们认真完成课后强化作业 。