充分利用三角形面积巧解题 “补形法〞是解几何题常用的重要之一所谓“补形〞 ,就是根据题目的条件和图形 ,经过观察、分析和联想 ,运用添加辅助线的 ,使之转化为熟悉的根本图形 ,从而可沟通条件和结论之间的联系 ,为解题开辟了新的途径和 ,到达了解题的目的下面举例说明补形法的应用 1、补成三角形 例1 如图1 ,在四边形ABCD中 ,∠B=∠D=90° ,∠A=60° ,AB=4 ,AD=5 图1 解：延长AD、BC交于点E〔如图1〕 ,由条件可知 ∠E=30° 所以 , 于是 所以 故 例2 如图2 ,在△ABC中 ,E是BC的中点 ,D在AC边上 ,假设∠BAC=60° ,∠ACB=20° ,∠DEC=80° ,AC=1 ,求 图2 解：延长AB到F ,使AF=AC ,连结FC ,由∠BAC=60° ,得 △ACF是等边三角形 作∠BCF的平分线CG ,交AF于G点 ,那么 ∠1=∠2=∠3=20° , ∠GBC=∠A+∠2=60°+20°=80°=∠DEC 所以 又 所以 于是 2、补成平行四边形 例3 如图3 ,六边形ABCDEF的六个内角相等 ,且AB+BC=11 ,AF－CD=3 ,求BC+DE的值。
图3 分析：由六边形ABCDEF的六个内角相等 ,得六边形ABCDEF的内角都是120° 延长FA、CB交于P点 ,延长CD、FE交于Q点 ,那么四边形CQFP是平行四边形 ,△ABP、△DEQ是等边三角形 于是有PA+AF=CD+DQ 所以 又 所以 又AB+BC=11 所以BC+DE=14 3、补成菱形 例4 如图4 ,凸五边形ABCDE中 ,∠A=∠B=120° ,EA=AB=BC=2 ,CD=DE=4 图4 解：延长EA、CB交于F点由∠A=∠B=120°易得△ABF是等边三角形 , 所以四边形CDEF是菱形 , 故 4、补成矩形 例5 八边形ABCDEFGH的八个内角都相等 ,各边长度如图5所示 ,求八边形ABCDEFGH的周长 图5 解：由八边形ABCDEFGH的八个内角相等 ,得其内角都是135° 延长AB、DC交于M点 ,延长CD、FE交于N点 ,延长EF、HG交于P点 ,延长GH、BA交于Q点 ,那么MNPQ是矩形 ,△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形 设AH=x ,GH=y 由MQ=NP ,MN=PQ ,得 所以 故八边形ABCDEFGH的周长。
5、补成正方形 例6 如图6 ,在△ABC中 ,∠BAC=45° ,AD⊥BC于D ,BD=2 ,CD=3 ,求 图6 分析：由于∠BAC=45° ,分别将△BAD、△CAD沿AB、AC向外翻折至△BAF、△CAE处 ,延长FB、EC交于G点 ,那么四边形AEGF是正方形 设AD=x ,那么 在△BCG中 , 即 解得或〔舍去〕 所以 6、补成梯形 例7 如图7 ,四边形ABCD中 ,∠ABC=135° ,∠BCD=120° , , ,CD=6 ,求AD 图7 分析：由于∠ABC=135° ,∠BCD=120° ,故可过点A作AE垂直于CB的延长线于E ,过点D作DF垂直于BC的延长线于F ,那么△ABE是等腰直角三角形 ,△CDF是含30°角的直角三角形 ,所以四边形ADFE是直角梯形 过A作AM⊥DF于M ,那么 所以 7、补成正六边形 例8 六个半径为1的圆的位置如图8所示 ,求中间没被盖住的空白局部的面积 图8 解：如图8 ,连结相邻两圆的圆心 ,得六边形ABCDEF是正六边形。
故 8、补成整圆 例9 如图9 ,半圆的O的直径在梯形ABCD的下底AB上 ,且与其余三边AD、DC、CB相切 ,假设BC=2 ,AD=3 ,求AB的长 图9 解：将半圆O补成整圆 ,作平行于AB的切线EF ,交DA、CB的延长线于E、F ,那么 AB是梯形CDEF的中位线 , 故 从以上分析可以看出 ,“补形法〞在解有关几何题时 ,有它独特的魅力 ,可以使解答简单流畅 中考 ,别具一格 ,使一些复杂的问题迎刃而解开拓了的思路 ,提高了解题 ,对培养的也大有裨益 练习： 1、六边形ABCDEF的六个内角都是120° ,其连续四边的长分别是AB=3 ,BC=6 ,CD=5 ,DE=4 ,求六边形ABCDEF的周长和面积 2、在△ABC中 ,AC=BC ,∠ACB=90° ,D是AC上一点 ,且AE⊥BD的延长线于E ,求证BD平分∠ABC 3、四边形ABCD中 ,AB=AC=AD=a ,CD=b ,AD//BC ,求对角线BD的长 4、△ABC中 ,AD平分∠BAC ,AD的垂直平分线EF交BC的延长线于E 5、在四边形ABCD中 ,∠BCD=∠CDA=120° ,BC=5 ,CD=4 ,DA=6。
求AB 6、△ABC中 ,∠BAC=90° ,AB=AC ,P为形内一点 ,BP=BA ,∠ABP=30° ,求证PA=PC 答案： 1、补成等边三角形 ,29； 2、补成等腰三角形 3、补成等腰梯形 , 4、补成等腰三角形 5、补成矩形 , 6、补成正方形。