MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page1 of 15 （1）英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上 吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长 后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题” （2）“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也 在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定“牛吃草”问题是小学应用题中的难点 （3）解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数 （4）同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： 设定 1 头牛 1 天吃草量为“ 1”； 草的生长速度( 对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数 )( 较多天数较少天数 ) ； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 吃的天数原来的草量( 牛的头数草的生长速度) ； 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度 （5）“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题 的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题 （1）理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的对比的解题思路. （2）初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 重难点 知识框架 牛吃草问题 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page2 of 15 一、一块草地的牛吃草 【例1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃 6 周，或供23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头 牛吃 18 周？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设1 头牛1 周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15 ，原有草量为 (2715)672 ，可供 72181519 （头）牛吃18 周 【答案】 19头牛 【巩 固】 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天， 或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃20 天？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 “1”，那么 251015 天生长的草量为1225241060，所以每天生 长的草量为60154 ；原有草量为：24410200 20 天里，草场共提供草200420280 ，可以让 2802014 头牛吃 20 天 【答案】14头牛 【例2】 一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者23 头牛 9 个星期可以吃完。
若是21 头牛， 要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长） 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设 1 头牛1 天的吃草量为“1”，27 头牛吃6 周共吃了 276162 份； 23 头牛吃9 周共吃了 例题精讲 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page3 of 15 239207 份第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245份草，这45 份草是牧场的草 963周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，那么原有草量为：16261572 供 21 头牛吃，若有 15 头牛去吃每周生长的草，剩下 6 头牛需要 72612 (周)可将原有牧草吃完， 即它可供21 头牛吃 12 周 【答案】12周 【巩 固】 牧场上长满牧草， 每天牧草都匀速生长这片牧场可供10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天供 25 头牛可吃几天？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 “1”，10 头牛吃20 天共吃了 1020200 份； 15 头牛吃10 天共吃了 1510150 份第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050 份草，这50 份草是牧场的草 201010天生长出来的， 所以每天生长的草量为 50105， 那么原有草量为： 200520100 供 25 头牛吃，若有5 头牛去吃每天生长的草，剩下20 头牛需要 100205(天)可将原有牧草吃 完，即它可供25 头牛吃 5 天 【答案】 5 天 【例 3】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供20 头牛吃 5 天，或可供16 头牛吃 6 天那么，可供11 头牛吃几天？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设 1 头牛1 天的吃草量为“1” ， 6 51天自然减少的草量为2051664 ，原有草量为： 2045120 若有 11 头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11 头牛吃 120158(天 ) 【答案】 8天 【巩 固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可 供 25 头牛吃 4 天，或可供16 头牛吃 6天，那么可供10 头牛吃多少天？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设 1 头牛 1 天吃的草为 “1”牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page4 of 15 原来牧场有草(252)4108 可供 10 头牛吃的天数是：108(102)9(天) 【答案】 9 天 二、牛羊一起吃草的 “ 牛吃草问题 ” 【例 4】一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等 于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？ 【考点】牛吃草问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5 只羊一天的吃草量，所以100 只羊 吃 12 天相当于20 头牛吃 12 天那么每天生长的草量为16202012201210 ，原有 草量为：161020120 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有10 头牛去 吃每天生长的草，那么剩下的15 头牛需要 120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃8 天 【答案】 8天 【巩 固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16 头牛可吃15 天，或者可供100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于1 头牛的吃草量，那么8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天? 【考点】牛吃草问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 设头牛天的吃草量为“ ” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 16 头牛15 天16 15 240：原有草量 15 天生长的草量 100 只羊（ 25 头牛）6 天256 150： 原有草量 6 天生长的草量 从上易发现： 1 天生长的草量10；那么原有草量：150106 90； 8 头牛与 48 只羊相当于20 头牛的吃草量，其中10 头牛去吃新生草，那么剩下的10 头牛吃原有 草， 90 只需 9 天，所以8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃9 天。
【答案】 9 天 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page5 of 15 【例 5】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽； 如果让马和羊去吃， 20 天将草吃尽； 如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量现在 让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？ 【考点】牛吃草问题【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设 1 匹马 1 天吃草量为 “1”，根据题意，有： 15 天马和牛吃草量原有草量15 天新生长草量 20 天马和羊吃草量原有草量20 天新生长草量 30 天牛和羊 (等于马 )吃草量原有草量30天新生长草量 由 (1)2(3) 可得： 30 天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量30； 由可知， 30 天羊吃草量30天新生长草量，所以：羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天 吃的草为 3份 将上述结果带入得：原有草量60，所以牛每天吃草量2 这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃： 602312 (天) 【答案】12天 【巩 固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45 天吃完，于是马、羊吃需要60 天吃完，于 是牛、羊吃需要90 天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需 多少时间 ? 【考点】牛吃草问题【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 牛、马 45 天吃了原有45 天新长的草 牛、马 90 天吃了 2 原有90 天新长的草 马、羊 60 天吃了原有60天新长的草 牛、羊 90 天吃了原有90天新长的草 马90 天吃了原有90 天新长的草 所以，由 、 知，牛吃了90 天，吃了原有的草；再结合 知，羊吃了90 天，吃了90 天新 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page6 of 15 长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草 所以， 知马 60 天吃完原有的草， 知牛 90 天吃完原有的草 现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为 11 1()36 9060 天. 所以，牛、羊、马一起吃，需36 天 【答案】 36 天 三、“ 牛” 吃草问题的变例 【例6】 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续20 天可抽干； 6 台同样的抽水机连 续 15 天可抽干 .若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 水库原有的水与20 天流入的水可供多少台抽水机抽1 天？ 205100 (台). 水库原有的水与15 天流入的水可供多少台抽水机抽1 天？ 61590 (台). 每天流入的水可供多少台抽水机抽1 天？ (10090)(2015)2 (台). 原有的水可供多少台抽水机抽1 天？ 10020260 (台). 若 6 天抽完，共需抽水机多少台？ 606212 (台 ). 【答案】12台 【巩 固】 北京密云水库建有10个泄洪洞， 现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速 度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个 泄洪闸，30 个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线根 据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少 个？ 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为 (130210)(3010)0.5 ，原有的水量超过安全线的部分有 (10.5)3015 如果要用 2个 小时使水位降至安全线以下，至少需要开 1520.58 个泄洪闸 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .应用题 .牛吃草问题（ B 级） .教师版Page7 of 15 【答案】 8个 【例 7】画展 8:30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如 果开 3 个入场口， 9 点就不再有人排队；如果开5 个入场口， 8 点 45 分就没有人排队。
求第一 个观众到达的时间 【考点】牛吃草问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设每分钟 1 个入口进入的人数为1 个单位 8:30 到 9:00 共 30 分钟3 个入口共进入33090 。