双休创新练双休创新练(四四)方法技巧训练方法技巧训练3 二次函数在学科内的综二次函数在学科内的综合运用合运用第第22章章 二次函数二次函数 123 1．．(中考中考•大大连)如如图，抛物，抛物线y＝＝x2－－3x＋＋ 与与x轴相相交于交于A，，B两点，与两点，与y轴相交于点相交于点C，点，点D是直是直线BC下方抛物下方抛物线上一点，上一点，过点点D作作y轴的平行的平行线，与直，与直线BC相交于点相交于点E.(1)求直求直线BC的解析式；的解析式；1运用运用 二次函数与一次函数的综合 二次函数与一次函数的综合 解：解：∵∵抛物线抛物线y＝＝x2－－3x＋＋ 与与x轴相交于轴相交于A，，B两点，两点，与与y轴相交于点轴相交于点C，，∴∴令令y＝＝0，得，得x＝＝ 或或x＝＝ ，，∴∴A( ，，0)，，B( ，，0)；；令令x＝＝0，得，得y＝＝ ，，∴∴C(0，， ). ∴∴直线直线BC的解析式为的解析式为y＝－＝－ x＋＋ .那么有那么有解得解得设直线设直线BC的解析式为的解析式为y＝＝kx＋＋b，， (2)当当线段段DE的的长度最大度最大时，求点，求点D的坐的坐标．．设点设点D的坐标为的坐标为(m，，m2－－3m＋＋ )，，∴∴点点E的坐标为的坐标为(m，－，－ m＋＋ )，，设设DE的长度为的长度为d.∵∵点点D是直线是直线BC下方抛物线上一点，下方抛物线上一点， ∴∴d＝－＝－ m＋＋ －－(m2－－3m＋＋ )，，整理得整理得d＝－＝－m2＋＋ m.∴∴当当m＝＝ 时，时，d获得最大值，获得最大值，此时点此时点D的坐标为的坐标为( ，－，－ ).前往前往 2．知关于．知关于x的二次函数的二次函数y＝＝x2－－(2m－－1)x＋＋m2＋＋3m＋＋4.(1)探求探求m取不同值时，该二次函数的图象与取不同值时，该二次函数的图象与x轴轴的交点的个数；的交点的个数；2类型类型二次函数与一元二次方程的综合二次函数与一元二次方程的综合 解：解：(1)令令y＝＝0，得，得x2－－(2m－－1)x＋＋m2＋＋3m＋＋4＝＝0，，Δ＝＝(2m－－1)2－－4(m2＋＋3m＋＋4)＝－＝－16m－－15.当当Δ＞＞0时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个不相等的实数根，即－即－16m－－15＞＞0，，∴∴m＜－＜－ ，，此时二次函数的图象与此时二次函数的图象与x轴有两个交点；轴有两个交点； 当当Δ＝＝0时，方程有两个相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，即－即－16m－－15＝＝0，，∴∴m＝－＝－ ，，此时二次函数的图象与此时二次函数的图象与x轴只需一个交点；轴只需一个交点；当当Δ＜＜0时，方程没有实数根，即－时，方程没有实数根，即－16m－－15＜＜0，，∴∴m＞－＞－ ，，此时二次函数的图象与此时二次函数的图象与x轴没有交点．轴没有交点． (2)设该二次函数的图象与设该二次函数的图象与x轴的交点分别为轴的交点分别为A(x1，，0)，，B(x2，，0)，且，且x21＋＋x22＝＝5，与，与y轴的交点为轴的交点为C，它的顶点为，它的顶点为M，求直线，求直线CM对应的函数解析对应的函数解析式．式． 由一元二次方程根与系数的关系得由一元二次方程根与系数的关系得x1＋＋x2＝＝2m－－1，，x1x2＝＝m2＋＋3m＋＋4，，∴∴x21＋＋x22＝＝(x1＋＋x2)2－－2x1x2＝＝(2m－－1)2－－2(m2＋＋3m＋＋4)＝＝2m2－－10m－－7.∵∵x21＋＋x22＝＝5，，∴∴2m2－－10m－－7＝＝5. ∵∵二次函数的图象与二次函数的图象与x轴有两个交点，轴有两个交点，∴∴m＜－＜－ ，，∴∴m＝－＝－1.∴∴y＝＝x2＋＋3x＋＋2.令令x＝＝0，得，得y＝＝2，，∴∴二次函数的图象与二次函数的图象与y轴的交点轴的交点C的坐标为的坐标为(0，，2)．．又又∵∵y＝＝x2＋＋3x＋＋2＝＝(x＋＋ )2－－14，， ∴∴顶点顶点M的坐标为的坐标为(－－ ，－，－ ).设过点设过点C(0，，2)与与M(－－ ，－，－ )的直线对应的函数的直线对应的函数解析式为解析式为y＝＝kx＋＋b，，∴∴直线直线CM对应的函数解析式为对应的函数解析式为y＝＝ x＋＋2.那么那么解得解得前往前往 3．．(中考中考•绵阳绵阳)如图，知抛物线如图，知抛物线y＝－＝－x2－－2x＋＋a(a≠0)与与y轴相交于轴相交于A点，顶点为点，顶点为M，直线，直线y＝＝ x－－a分别与分别与x3类型类型二次函数与一元二次方程的综合二次函数与一元二次方程的综合轴、轴、y轴相交于轴相交于B，，C两点，两点，且与直线且与直线MA相交于相交于N点．点． (1)假设直线假设直线BC和抛物线有两个不同的交点，求和抛物线有两个不同的交点，求a的取值的取值范围，并用范围，并用a表示点表示点M，，A的坐标．的坐标．解：由题意联立整理得解：由题意联立整理得整理得整理得2x2＋＋5x－－4a＝＝0，， 由由Δ＝＝25＋＋32a＞＞0，解得，解得a＞－＞－ .∵∵a≠0，，∴∴a＞－＞－ 且且a≠0.在在y＝－＝－x2－－2x＋＋a中，令中，令x＝＝0, 得得y＝＝a，，∴∴A(0，，a)．．由由y＝－＝－(x＋＋1)2＋＋1＋＋a，得，得M(－－1，，1＋＋a)． ． (2)将将△△NAC沿着沿着y轴翻折，假设点轴翻折，假设点N的对称点的对称点P恰好落在恰好落在抛物线上，抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点与抛物线的对称轴相交于点D，衔接，衔接CD，求，求a的值及的值及△△PCD的面积．的面积．设直线设直线MA对应的函数解析式为对应的函数解析式为y＝＝kx＋＋b，，将点将点A(0，，a)，，M(－－1，，1＋＋a)的坐标分别代入的坐标分别代入得得解得解得 故直线故直线MA对应的函数解析式为对应的函数解析式为y＝－＝－x＋＋a.联立联立解得解得∴∴N( ，－，－ ).由于由于P点是点是N点关于点关于y轴的对称点，轴的对称点， 因此因此P(－－ ，－，－ )．将点．将点P坐标代入坐标代入y＝－＝－x2－－2x＋＋a，，得－得－ ＝－＝－ a2＋＋83a＋＋a，解得，解得a＝＝ 或或a＝＝0(舍去舍去)．．∴∴A(0，， )，，C(0，－，－ )，，M(－－1，， )，，∴∴AC＝＝ .∴∴S△△PCD＝＝S△△PAC－－S△△DAC＝＝ AC•|xP|－－12AC•|xD|＝＝ × ×(3－－1)＝＝ .前往前往 (3)在抛物线在抛物线y＝－＝－x2－－2x＋＋a(a＞＞0)上能否存在点上能否存在点Q，使得，使得以以Q，，A，，C，，N为顶点的四边形是平行四边形？假设为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请阐明理由．的坐标；假设不存在，请阐明理由．①①当点当点Q1在在y轴左侧时，由四边形轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得为平行四边形，得AC与与Q1N相互相互平分，那么点平分，那么点Q1与点与点N关于原点关于原点(0，，0)对对称，而称，而 而而N( ，－，－ )，，A(0，，a)，，C(0，－，－a)，，故故Q2 ( ，－，－ ).将点将点Q2的坐标代入的坐标代入y＝－＝－x2－－2x＋＋a，得－，得－ ＝－＝－ a2－－ a＋＋a，，解得解得a＝＝ 或或a＝＝0(舍去舍去)，，∴∴Q2 ( ，－，－ ).∴∴当点当点Q的坐标为的坐标为(－－ ，， )或或( ，－，－ )时，时，Q，，A，，C，，N四点能构成平行四边形．四点能构成平行四边形． 。