第四单元 分数的意义和性质】从本单元起，将系统教学分数的知识包括分数的意义和性质、分数的四则计算 和混合运算、分数的实际应用等内容，它们都是小学数学里十分重要的内容学生在三年级初步认识了分数，遇到把一个物体平均分或者把若干个物体组成的 整体平均分的时候，会用分数表示其中的一份或几份；能够在直观的情境里比较同分 母分数的大小；会进行同分母分数的加、减法计算在本册教科书的第三单元里，学 生又掌握了因数和倍数的知识，会求两个数的最大公因数和最小公倍数可以说，他 们已经具备了深入学习分数知识的条件系统教学分数知识，在知识技能方面，认数与运算的范围将有很大的扩展，不仅 能用整数、小数，而且能用分数刻画现实生活里的一些现象；在数学思考方面，由于 分数的意义比整数、小数更加抽象，分数的运算比整数、小数更加复杂，思维能力会 有更大的发展；在问题解决方面，分数能够表示部分与整体的关系，能够表示两个数 量之间的倍比关系，将会认识许多新的数量关系，发现并提出、理解并解决问题的能 力会有新的提高；在情感态度方面，会对数学以及数学学习更有兴趣，会对数学与人 类社会相互影响、共同发展的关系更有体会本单元教学分数的意义和性质，编排了十五道例题。
具体安排见下表：例 1 分数的意义例 2、例 3 分数与除法的关系例 4 用分数表示两个数量的倍比关系例 5、例 6 真分数和假分数例 7、例 8 假分数化成整数或带分数例 9、例 10 分数和小数的相互改写例 11、例 12 分数的基本性质例 13 约分例 1/4 通分例 1/5 比较分数的大小单元整理与练习从表格里可以看到，本单元的内容很多，编排的例题和练习也多 如果整体把握教材，主要是分数的意义和分数基本性质两大部分在分数意义这个部 分，要在直观认识分数的基础上形成分数的概念，利用分数表示部分和整体的关系， 或者表示两个数量之间的倍比关系；要在分数与除法之间建立联系，实现分数和小数 的互化；要利用分数单位，从真分数推理出假分数，联系整数或带分数感受假分数的 数值分数基本性质这个部分，要理解分数性质的内容，并且和除法的商不变性质建 立对应关系；要应用分数性质进行分数大小比较以及约分和通分，为以后的分数计算 作准备分数的意义和性质历来是小学数学的重要内容，与传统小学数学里分数意义与性 质的教学相比较，本单元教材有两点显著变化：一是加强用分数表示两个同类数量之 间的倍比关系，既能充实对分数意义的理解，又能为解决分数实际问题打下基础。
二 是教学分数与除法的关系、真分数和假分数、分数化成整数或带分数、分数的基本性 质等内容，各编排两道例题，加强了知识的形成过程，学生的数学学习更加具有探索 性和层次性，有利于他们理解和掌握这些重要的基础知识一） 概括已有的关于分数的感性认识，建立单位“1”的概念，给出分数的描 述性定义小学数学关于分数意义的表述是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份 或几份的数，叫作分数这是对分数的描述式定义其中单位“1”、平均分、表示一 份或几份的数，是定义里的几个要点单位“1”是教学分数意义的关键，学生理解单 位“1”不容易，是必须突破的教学难点例 1 教学分数的意义，分四步进行第一步用分数表示一块饼的四分之一、一个 长方形的八分之五、一根长 1 米直条的五分之三、6 个圆组成的整体的三分之一，并要 求结合直观图形说说写出的各个分数的含义，引起对已有知识的回忆感受被平均分 的对象十分广泛，为建立单位“1”和深入理解分数意义收集了资源，积累了丰富的感 性材料第二步指出被平均分的一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可 以用自然数1 来表示，通常把它叫作单位“1”这里把自然数1 作为建立单位“1” 概念的台阶，出于以下的原因：首先，被平均分的对象都是“一个”，即一个物体、 一个图形、一个计量单位、一个整体，“一个”用自然数1 表示，学生容易接受。
在 理解可以用自然数1 表示以后，再提升成单位“1”，降低了认知的坡度其次，解决 实际问题时，往往用自然数1 代替单位“1”参与列式计算，学生应该知道单位“1” 可以用自然数 1 表示另外，初步体现了分数与自然数的联系，对后面教学假分数起 铺垫作用第三步回答“茄子”卡通的问题，再认例题写出的四个分数的单位“1”各 是什么，把抽象的概念回归到具体的情境里面，加强对单位“1”的体验学生按“茄 子”卡通的要求回答问题，说出例题的四个分数分别“把单位‘1'平均分成几份，表 示这样的几份”，就为接受分数的描述式定义准备了数学语言第四步揭示分数的意 义和分数单位的含义体会教材讲述的分数意义，是对许多分数含义的抽象与概括 每一个分数都有它的分数单位，都是一个或几个分数单位组成的数由于在前三步的 教学中，逐渐建立了单位“1”的概念，这一步的教学就顺理成章了练一练”围绕分数的意义和分数单位的概念进行安排三年级初步认识分数时， 学生已经能够用分数表示图形里的涂色部分，也能通过涂色表示已经给出的分数现 在再次进行这样练习，要联系分数概念和分数单位来思考与解释，体现出比过去要求 的提高如，第1 题右边的图，把8 个圆组成的整体看成单位“1”，平均分成4 份， 如果用分数表示这样的1 份或几份，分数单位是1/4；涂色部分占3 份，可以用3/4表 示，这个分数含有3 个 1/4。
又如，第2题用数轴上的点表示分数，应该把数轴上0~1 那一段看成单位“1”如果平均分成三份，其中的一份就是三分之一，两份就是三分 之二如果平均分成六份，其中的一份就是六分之一，几份就是六分之几练习八第1 题要求涂色表示3 个、6 个、12 个桃的2/3可以这样思考和解释：把 3 个、6 个或 12 个桃组成的整体看成单位“1”，平均分成 3 份，每份是这些桃的 1/3 2/3是 2个1/3，应该涂这样的2份第4 题要求解释具体情境里的分数的含义，希望 学生运用描述分数意义的语言模式，连贯地说出把什么看作单位“1”，平均分的份数 和表示的份数如，五年级一班学生中，会打乒乓球的占5/9这个分数把五年级一班 学生看作单位“1”，平均分成9份，会打乒乓球的学生有这样的5 份再如，一节课 的时间是2/3 小时这个分数把1小时作为单位“1”，平均分成 3 份，一节课的时间 有这样的 2 份这些练习，有利于加强分数的概念，蕴含了解决分数实际问题的思路（二） 通过操作感受分数与除法的关系，发展对分数的认识，完善分数概念数学教育家都指出，建立分数与除法的联系，对完善分数概念十分重要利用分 数与除法的关系，不只能把分数化成整数或小数，而且与除法意义有关的知识及其应 用，就能向分数迁移。
例 2 和例 3 都教学分数与除法的关系教材安排两道例题教学这一个知识这是 因为沟通分数与除法的关系不大容易学生需要多次进行平均分物体的操作活动，从1 块饼平均分成4份到 3块饼平均分成4份，再到3块饼平均分成5份，反复感受除法 的商不能用整数表示，可以采用分数表示，体会分数与除法的联系是有规律的，从而 认识分数与除法的关系例 2 把 1 块饼平均分给 4 个小朋友，求每人分得多少块对学生来说，这个问题 难度不大无论凭生活经验还是应用分数的初步认识，都能得出每人分得1/4 块教 学要抓住三点：一是让学生通过实物操作或者经过形象思维，得出和“番茄”卡通同 样的结果“每人分得这块饼的1/4，是 1/4块”二是引导学生列出解决这个问题的算 式，联系平均分的问题可以用除法计算的经验，像“蘑菇”卡通那样用1三4求每人分 得多少块三是用分数1/4表示除法1F4的商，得出等式1三4 = 1/4,从而明白整数 除法如果得不到整数的商，可以用分数表示除法的结果，初步感受除法算式1三4和商 1/4的内在关系例3把3块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块教学线索仍然是“列出 算式——分出得数——组成并体验等式”。
分析学生的现实情况，他们根据“平均分 的问题可以用除法计算”，列出除法算式3三4应该困难不大，从3块饼平均分成4份 的操作活动得出每人分得 3/4 块有点难度教学要因势利导，抓住“每人分得多少块” 这个问题适时给出点拨有些学生会像“萝卜”卡通那样把饼1块1块地分，每人每 次分得1/4块，3次分得3个1/4块，合起来是3/4块这种分法的数量关系“3个 1/4块是3/4块” ，一方面可以通过3个1/4块拼起来是3/4块形象地理解，另一方面 可以通过分数单位与分数意义来理解有些学生会像“蘑菇”卡通那样把3块饼叠起 来同时分，每人分得3块的1/4，合起来也是3/4块这种分法的数量关系“3块的 1/4是3/4块” ，要联系3块饼同时被平均分成4份，表示其中1份的事实，帮助学生 理解“3块的 1/4”的意思，体会“是3/4块”的合理性在列出算式、分出得数以后， 仍然要组成和体验等式联系3三4=3/4继续感受整数除法的商可以用分数表示，体 会除法式子与分数的对应联系例3还有一段延伸：如果把3块饼平均分给5个小朋友，求每人分得多少块，并且用分数表示3-5的商联系前面两次分饼的经验，应该不难得出这次分饼的结果。
或是从3个1/5是3/5，或是从3的1 /5是3/5，写出除法算式3-5及其商3/5,进一 步丰富对除法与分数关系的感性认识在例2和例3的三个等式里发现分数与除法的关系，是这两道例题的教学重点所 在不仅要得出一个十分重要的数学知识，而且能培养学生的概括能力因为得出分 数与除法的关系，要仔细观察组成的三个等式，对除法算式以及分数进行分析、比较， 找到对应的联系，进行综合、概括，说出从除法算式到分数的转换方法与要领实事 求是地说，小学生开展这样的思维活动需要教师的帮助，如果全放手、全放开地让他 们独立发现，将会是困难的，甚至是混乱的教师的点拨可以是先确认除法算式里的 被除数和除数，然后研究把除法算式写成分数，被除数和除数分别在分数的哪里，分 别是分数的什么先后用两种形式表达分数与除法的关系，即像“萝卜”卡通那样用 数学语言讲述，像“辣椒”卡通那样用数量关系式表示语言讲述比较具体，有利于 理解和交流；数量关系式比较模式化，有利于操作教材还把字母表示的除法算式改 写成分数，使分数与除法关系从数学知识变成学生的改写技能，而且从“除数不能是0” 推理出“分母不能是0”，完善对分数与除法关系的认识。
例3后面的“试一试”应用分数与除法的关系，把较小单位的名数聚成较大单位 的名数如，7 分米小于1 米，把7 分米改写成米作单位的名数，结果不会是整数，可 用分数表示因为7-10=7/10，所以7分米=7/10米类似的23分不满1时，把23 分改写成以时作单位的名数，只能用分数表示结果因为23-60=23/60，所以23分 =23/60 时试一试”通常先让学生独自完成，再组织交流要帮助学生弄明白两点 一是为什么用除法计算，明白这里是把把较低单位表示的名数改写成较高单位的名数 二是怎样写出除法算式的商，明白要正确应用分数与除法的关系练一练”第1题把1公顷地平均分成5份，计算每一份的公顷数可以先根据 现实的数量关系列出除法算式，再应用分数与除法的关系写出除法算式的商，让学生 重温学到的新知识第2 题既把除法算式改写成分数，又把分数改写成除法算式这 样的双向改写，能使学生对分数与除法的关系理解得更全面，掌握得更扎实从除法 算式写出相应的分数，是按照分数与除法关系的推理；从分数写出对应的除法算式， 利用分数与除法关系的推理是逆向的，要注意改变思维方向可能会给学生带来的困难练习八第6~8题配合例2与例3的教学。
第6 题的第（2）小题把2根 1米长的绳 子平均分成3 份，要求写出每份有2 个 1/（）米，是（）/（）米解答这道题要关注 2 个 1/3 米是 2/3 米，2 米的 13 。