第 2 章 测量误差理论与数据处理2．1 测量误差的基本概念2．1．1 有关误差的概念1． 真值 A0一个量在被观测时，该量本身所具有的真实大小称为真值在不同的时间和空间，被 测量的真值往往是不同的在一定的时间和空间环境条件下，某被测量的真值是一个客观 存在的确定数值要想得到真值，必须利用理想的测量仪器或量具进行无误差的测量，由 此可以推断，真值实际上是无法得到的这是因为“理想”的测量仪器或量具即测量过程 的参考比较标准（或叫计量标准）只是一个纯理论值，尽管随着科技水平的提高，可供实 际使用的测量参考标准可以愈来愈接近理想的理论定义值，但误差总是存在的，而且在测 量过程中还会受到各种主观和客观因素的影响，所以，做到无误差的测量是不可能的 2． 实际值 A 满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值称为实际值或叫约定真值由于真值 是无法绝对得到的，在误差计算中，常常用一定等级的计量标准作为实际值来代替真值 实际测量中，不可能都与国家计量标准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量标准 构成量值传递网，把国家标准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去， 在每一级的比较中，都以上一级计量标准所测量的值当作准确无误的值，一般要求高一等 级测量器具的误差为本级测量器具误差的 1/3—1/10。
在实际值中，把由国家设立的尽可能 维持不变的各种实物标准作为指定值或叫约定真值，例如指定国家计量局保存的铂铱合金 圆柱体质量原器的质量为 1kg，指定国家天文台保存的铯钟组所产生的特定条件下铯—133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的 9192631770 个周期的持续时间为 1s（秒）等 3． 标称值 测量器具上标定的数值称为标称值，如标准电阻上标出的 1Ω，标准电池上标出来的 电动势 1.0186V，标准砝码上标出的 1kg 等标称值并不一定等于它的真值或实际值，由 于制造和测量水平的局限及环境因素的影响，它们之间存在一定的误差，因此，在标出测 量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级，例如某电阻的标称值为 1kΩ，误差±1%，即意味着该电阻的实际值在 990Ω 到 1010Ω 之间；某信号发生器频率刻 度的工作误差≤±1%±1Hz，如果在额定条件下该仪器频率刻度是 100Hz，这就是它的标 称值，而实际值是 100±100×1%±1Hz，即实际值在 98 到 102 之间 4． 示值 由测量器具指示的被测量的量值称为测量器具的示值，也称测量仪器的测量值或测 得值。
一般来说，测量仪器的示值和读数是有区别的，读数是仪器刻度盘上直接读到的数 字，对于数字显示仪表，通常示值和读数是一致的，对于模拟指示仪器，示值需要根据读 数值和所用的量程进行换算例如以 100 分度表示量程为 50mA 的电流表，当指针在刻度 盘上的 50 位值时，读数是 50，而示值应是 25mA 5． 测量误差 在实际测量中，由于测量器具的不准确，测量手段的不完善，测量环境的影响，对 客观规律认识的局限性以及工作中的疏忽或错误等因素，都会导致测量结果与被测量真值 不同测量仪器与被测量真值之间的差别称为测量误差测量误差的存在具有必然性和普 遍性，人们只能根据需要和可能，将其限制在一定的范围内而不可能完全加以消除不同的测量，对其测量误差的大小，也就是测量准确度的要求往往是不同的人们进行测量的 目的，通常是为了获得尽可能接近真值的测量结果，如果测量误差超过一定的限度，测量 工作及由此产生的测量结果将失去意义在科学研究及现代化生产中，错误的测量结果有 时还会使研究工作误入歧途甚至带来灾难性的后果我们研究误差理论的目的，就是要分 析误差产生的原因及其发生规律，正确认识误差的性质，寻找减小或消除测量误差的方法， 学会测量数据的处理方法，使测量结果更接近于真值，在测量中，指导我们合理地设计测 量方案，正确地选用测量仪器和测量方法，确保产品和研究课题的质量。
2．1．2 测量误差的表示方法 1．绝对误差(1)定义 由测量所得到的被测量值 x 与其真值 A 之差，称为绝对误差，即0△x=x-A （2-1）0式中，△x 为绝对误差前面已提到，真值 A 一般无法得到，所以用实际值 A 代替 A ，因而绝对误差00更有实际意义的定义是△x=x－A （2-2） 绝对误差表明了被测量的测量值与被测量的实际值之间的偏离程度和方向，对于绝对 误差，应注意以下两点：第一，绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同； 第二，绝对误差是有符号的量，其符号表示出了测量值与实际值的大小关系，若测量值大 于实际值，则绝对误差为正值，反之为负值 在一般测量工作中，只要按规定的要求，达到误差可以忽略不计，就可以认为该值接 近于真值，并用它来代替真值除了实际值以外，还可以用已修正过的多次测量的算术平 均值来代替真值使用 （2） 修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值， 用 C 表示C= －△x=A－x (2-3)测量仪器的修正值可以通过上一级标准的校准给出，修正值可以是数值表格、曲线 或函数表达式等形式。
在日常测量中，利用其仪器的修正值 C 和该已检仪器的示值 x，可 以求得被测量的实际值A=x+C （2-4） 例如用某电流表测电流，电流表的示值为 10mA，该表在检定时 10mA 刻度处的修正 值是+0.04mA，则被测电流的实际值为 10.04mA在自动测量仪器中，修正值还可以先编 成程序贮存在仪器中，测量时仪器可以对测量结果自动进行修正 2．相对误差 绝对误差虽然可以说明测量结果偏离实际值的情况，但不能完全科学地说明测量的质 量(测量结果的准确程度)因为一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小有关，而 且与这个量本身的大小有关当绝对误差相同时，这个量本身的绝对值越大，测量准确程 度相对越高；这个量本身的绝对值越小，测量准确程度相对越低例如测量两个电压量，其中一个电压为 V =10V，其绝对误差△V =0.1V；另一个电压为 V =1V，其绝对误差△112V =0.1V尽管两次测量的绝对误差皆为 0.1V，但是我们不能说两次测量的准确度是相同2的，显然，前者测量的准确度高于后者测量的准确度因此，为了说明测量的准确程度， 又提出了相对误差的概念。
绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差(或称为相对真误差)，用 γ 表示γ=×100％ (2-5)0x A△相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位 （1）实际相对误差由于真值是不能确切得到的，通常用实际值 A 代替真值 A 来表示相对误差，用 γ表0A示γ=×100% (2-6)AAx△式中，γ为实际相对误差A（2）示值相对误差 在误差较小、要求不太严格的场合，用测量值 x 代替实际值 A 来表示相对误差, 用 γ表示xγ =×100％ (2-7)xxx△式中，γ 称为示值相对误差或测得值相对误差x当△x 很小时，x≈A，此时，γ ≈γ测得值相对误差的概念在误差合成中具有重要xA意义 (3)分贝误差—相对误差的对数表示 在电子学及声学测量中，常用分贝来表示相对误差，称为分贝误差分贝误差是用对数形式(分贝数)表示的一种相对误差，单位为分贝（dB） ，用 γ表示下面以有源网络电dB压增益为例，引出分贝误差的表示形式设双口网络(如故大器或衰减器)的电压增益实际值为 A，电压增益的测量值为 A，X其分贝值 G=20lgA。
其误差为△A= A-A，即 A=A+△A,则增益测得值的分贝值为XXG =20lg（A+△A）=20lg [A﴾1+﴿xAA△=20lgA+20lg﴾1+﴿AA△设电压增益实际值 A 的分贝值为 G，则 G=20lgA，由此得到分贝误差为γ= G －G= 20lg﴾1+﴿ dBxAA△=20lg（1+γ） (2-8)A(2-8)式即为相对误差的对数表现形式，式中，γ只与增益的相对误差有关，由于 γ是带dBA有正负符号的，因而 γ也是有符号的若 γ ≈γ，则（2-8）式可写成dBxAγ=20lg（1+γ ） （2-9）dBx式(2-9)即为分贝误差的一般定义式 若测量的是功率增益，分贝误差定义为γ=10lg（1+γ ） （2-10）dBx例 2-1 某电流表测出的电流值为 96μA，标准表测出的电流值为 100μA，求测量的相 对误差和分贝误差 解： 测量的绝对误差为 △x=96–100= – 4μA测量的实际相对误差为 γ==×100%= – 4%AAx△ 1004分贝误差为 γ=20lg[1+（–0.04）]dB= – 0.355dB 从上面分贝误差的公式和例子可以看出，当相对误差为正值时，分贝误差也为正值； 反之亦然。
3．满度相对误差(引用相对误差) 前面介绍的相对误差较好地反映了某次测量的准确程度，但是，在连续刻度的仪表中， 用相对误差来表示整个量程内仪表的准确程度就感到不便因为使用这种仪表时，在某一 测量量程内，被测量有不同的数值，若用式（2-5）计算相对误差，随着被测量的不同，式 中的分母相应变化，求得的相对误差也将随着改变因此，为了计算和划分仪表的准确度 等级，在用（2-5）式求相对误差时，用电表的量程作为分母，从而引出了满度相对误差 (引用相对误差)的概念实际中常用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差△x与该量程的满刻度值(该量程的上限值与下限值之差)x之比来表示，即mmγ=×100% （2-11）m mm xx△式中 γ为满度相对误差(或称引用相对误差)对于某一确定的仪器仪表，它的最大引m用相对误差是确定的 满度相对误差在实际测量中具有重要意义 (1)用满度相对误差来标定仪表的准确度等级我国电工仪表就是按引用相对误差 γ之值进行分级的，γ是仪表在工作条件下不应超过的最大引用相对误差，它反映了该mm仪表的综合误差大小我国电工仪表共分七级：0 .1、0 .2、0. 5、1.0、l. 5、2 .5 及 5 .0， 共七级。
其中，准确度等级在 0.2 级以上的仪表属于精密仪表,使用时要求较高的工作环境及严格的操作步骤，一般作为标准仪表使用如果仪表准确度等级为 s 级，则说明该仪表的最大满度相对误差不超过 s％，即|γ|≤s％ m例 2-2 某电流表的量程为 100mA，在量程内用待定表和标准表测量几个电流的读数 为表 2-1 表 2-1 例 2-2 的数据待定表 x(mA)00.020.040.060.080.0100.0标准表 A(mA)00.020.339.561.278.099.0绝对误差△x(mA)0.0－0.30.5－1.22.01.0从以上测量数据大致标定该仪表的准确度等级解： 由△x=x –A 计算出各点如表 2-1ix因为 △x=80 –78=2mA x=100mAmm由式（2-11）求得该表的最大满度相对误差为 γ=×100%=×100%=2%m 。