多面体与球的内切和外接罕见类型归纳之陆叶了瞬创作．正四面体与球OE=r=SE-SO，B在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关 系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材可是 学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手针对这 种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和 归类如下：又 SD=BD,BD=SE-OE,则在r=晋aR=SO=OB=¥ a如图所示，设正四面体的棱长为a, r为 内切球的半径，R为外接球的半径则高特征分析：1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个2. R=3r. r=£a| R*la此结论可以记忆1、一个四面体的所有棱长都为巨，四个顶点在同 一球面上，则此球的概况积为（ ）分析：借助结论，R二也a =V6逅=:v''342,所以S=4函=3因2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的概 况积之比是（ ）分析：借助R=3r，答案为9：1二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥CBBSA丄面ABC, ABC为直角三角形，BC丄AB| 因为SA［丄AC, SB［丄BC,球心落在SC 的中点处所以R=||三•正方体与球。
1．正方体的外接球C即正方体的 8 个定点都在球面 上关键找出截面图 :ABCD 为正方体 的体对角面设正方体的边长为 a,则 AB二巨a, BD=2R, AD=a, R悟2． 正方体的内切球 （1）与正方体的各面相 切如图：ABCD为正方体的平行正面的正方形R=2(2)与正方体的各棱相切如图：大圆是正方形 ABCD 的外接圆AB=CD=a，3． 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外 接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解例题：1正方体的全面积是 24，它的顶点都在同一球面上，这个球的概况积是 解析：显然，球是正方体的外接球，a=2,则R二匣2 = J3，2S=12 02•—个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，则球的 体积解析 ： 如果明确了上面的 结论， 问题很容易解决R二二迟21二二寸23．将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正 方体的俄各面都相切r=|, v=|q4. P、A、B、C、是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂 直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是 解析：同过条件分析，可采取把三棱锥补形成正方体，则 球是正方体的外接球，所以R二迟，V=2^2 | | 2 四、正棱柱与球2.正四棱柱外接球。
道理与上面相似主要是找截面，构造直角三角形，利用 勾股定理求得例题：1已知一个半径为匡1的球中有一个各条棱长都相 等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA二亘,OD= a， AD二日，可求 a = 6，V=54屈.2. 正四棱柱 ABCD-AB C D 的各个顶点都1111在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的正 面积有最值，为解析：截面如图：ABCD为正四棱柱的体对角面OD二R,设 AD=a,底面正方形的边长为b，则有DC= ,：21b，则R2= (a/2) 2+ (p2]b/2) 2, S=4ba^,'2(a2 + 2b2^=|4j2R2|五、长方体与球1．长方体的外接球截面图如右图：实质构造直角三角 形,联系半径与长方体的长宽高 半径为体对角线的一半2．在长方体以一个顶点为交点的 三条棱组成的三棱锥,特征是：三 棱锥的三条侧棱互相垂直不相等,它的外接球可把三棱锥 补形成长方体的外接球,再求解例题：一个三棱锥三条棱两两垂直,其长分别是 3,4,5, 则它的外接球的概况积是 解析：同过条件分析,可采取把三棱锥补形成长方体,则 球是长方体的外接球，所以R=¥，S=50區。