图形的位似一知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将 一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1 .位似多边形定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点0,且每组对应点 与点0点的距离之比都等于一个定值k,例如，如以下图，0Az=k - 0A (k"0),那么这样 的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成 位似图形.2. 位似图形的性质：(1) 位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；(2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(3) 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状 没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的.4 .作位似图形的步骤第一步：在原图上找假设干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中 心不同的画法. A B(3)(4) (5)要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 灯上尹0）,所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|A|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形以下每组的两个图形不是位似图形的是（ ）・【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是 在相似的根底上要求对应点的连线相交于一点.举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，假设O到AB的距离是18cm, O 到CD的距离是6cm,那么像CD的长是物AB长的 （）.A. 3倍 B.- C.- D.不知AB的长度，无法判断2 3B .利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1. 5借【总结升华】山此题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三【变式】在己知三角形内求作内接正方形.类型二、坐标系中的位似图形G^3.(漳州)如图，在10x10的正方形网格中，点A, B, C, D均在格点上，以点A为位似中心画四边形ABO,使它与四边形ABCD位似，且相似比为2.(1) 在图中画出四边形AB>D；(2) 填空：△ACD是 三角形.【总结升华】此题考查了作图-位似变换.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心， ②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位 似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.同时考查了勾股定理及其逆 定理等知识.熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键.5^4.(威海期末)如图AABC的顶点坐标分别为A (1, 1), B (2, 3), C (3, 0).(1) 以点O为位似中心画ADEF,使它与AABC位似，且相似比为2.(2) 在(1)的条件下，假设M (a, b) ^JAABC边上的任意一点，那么ADEF的边上与点M对应的点M，的坐标为 .“4• •••••••。
••••••••■•••••••••■••••••―“3• • —I Blan^ial-吗；-z【总结升华】此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相 交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.在 平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点 的坐标的比等于k或-k.举一反三： 【变式】如图，将AAOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1,得到的图形与原图形相比 有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？图形的位似一稳固练习【稳固练习】一. 选择题1. 下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）.A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2. 以下说法错误的选项是（ ）.A. 位似图形一定是相似图形.B. 相似图形不一定是位似图形.C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3. 以下说法正确的选项是（ ）.A. 分别在AABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE〃BC,那么AADE是AABC放大后的图形.B. 两位似图形的面积之比等于相似比.C. 位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D. 位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（东营）如图，在平面直角坐标系中，点A （ - 3, 6）, B （ - 9, -3）,以原点O为 位似中心，相似比为【，把缩小，那么点A的对应点A，的坐标是（ ）3A. ( - 1, 2)C. ( -9, 18)或(9, - 18)B. ( -9, 18)D. ( - 1, 2)或(1, - 2)5. 以下命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是 位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位 似图形.其中正确的有（）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 如果点C为线段AB的黄金分割点，且AOBC,那么以下各式不正确的选项是（ ）.V5-1A. AB： AC=AC： BC B. AC= ——AB 2c.ab=m d.bksab7.矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,上的F点，假设四边形EFDC与矩形ABCD相似,沿AE将AABE向上折叠，使B点落在AD 那么 AD=（ ）.D. 2C. V39.似,J*EB二. 填空题8.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm,且较小图形周长为30cm,那么较大图形周长为 ・(三明)如图，在平面直角坐标系中，A (1, 0), D (3, 0), AABC与ZWEF位原点O是位似中心.假设AB=1.5,那么DE= .10.如图，以点0为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE ,6M=10cm, OA1 =20cm,那么五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是11. AABC中，D、E分别在AB、AC上，DE〃BC, AADE是△ABC缩小后的图形.假设DE把AABC的面积分成相等的两局部，那么AD： AB= .12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，那么原矩形纸片的长与宽之比为 .13. (钦州)如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换， 经第一次变化后得正方形OAiBiCi，其边长OAi缩小为OA的』，经第二次变化后得2正方形。
Ag,其边长~缩小为A阴，经第，三次变化后得正方形瞬皿 其边长OA3缩小为OA2的依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn2的边长为正方形OABC边长的倒数，那么n= ・C BBiC1 A3A2A1 14. 如图，Z^ABC中，AB=AO4, ZBAC=36 , ZABC的平分线与AC边的交点I)为边AC的黄金分割点(AD>DC),那么BC= ・三. 综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1) 如果DE〃BC,那么△ ADE和AABC是位似图形吗?为什么？(2) 如果AADE和△ABC是位似图形，那么DE〃BC吗？为什么？16.(海陵区校级月考)如图，F在BD上，BC、AD相交于点E,且ABII CDII EF,(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；17.如图1,矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF-矩形ABCO,其 相似比为1： 4,矩形ABCO的边AB二4, BC=4 ^3 .(1) 求矩形ODEF的面积；(2) 将图1中的矩形ODEF绕点0逆时针旋转一周，连接EC、EA, AACE的面积是否存 在最大值或最小值？假设存在，求出最大值或最小值；假设不存在，请说明理由.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B【解析】(1)菱形的角不一定对应相等，故错误；(2) (3) (5)符合相似的定义，故正确；(4)对应边的比不一定相等.故错误. 故正确的选项是：(2) (3) (5).应选B.2. 【答案】D.3. 【答案】C.4. 【答案】D.【解析】•: A ( -3, 6), B ( - 9, -3),以原点O为位似中心，相似比为【，把八人日。
缩3小，..•点A的对应点A，的坐标为(-3x1, 6X【 )或［-3X ( -1), 6X (-【)］,即3 3 3 3A点的坐标为(- 1, 2)或(1, -2).5. 【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，应选B.6. 【答案】D.【解析】VAOBC,・.・AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB： AOAC： BC, AC二避二!"AB, AB二避土!"AC2 2AC^0.618AB.应选 D.7. 【答案】B.【解析1 VAB=1,设 AD=x,那么 FD=x-l, FE=1,.・・四边形EFDC与矩形ABCD相似，EF AD.•. = ,FD AB1 x解得工［=1+」,= (负值舍去)，经检验% = 是原方程的解.应选B.二、填空题8. 【答案】50cm.9.【答案】4.5.【解析】V A ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，己知A点坐标为(1,0), D点坐标为(3, 0),/. AO=2, DO=5,.AO = AB =1*• DO DE^>VAB=1.5,・.・DE=4.5.故答案为：4.5.10.【答案】1： 2.【解析】・.•五边形ABCDE与五边形A，B‘ Cf D E位似，0A=10cm, 0A‘ =20cm,.・・五边形ABCDEs五边形A B C D E，,且相似比为：0A： 0A‘ =10： 20=1： 2, .・・五边形ABCDE的周长与五边形A B C‘ D E的周长的比为：0A： 0A=1： 2. 故答案为：1: 2.11 .【答案】& 2 .【解析】由BC〃DE可得△ADEsMBC,所以室空=1,故 =豆.由｛AB) 2 AB 212.【答案】72:1.【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，那么矩形ABCDs矩形BFEA,设矩形的长为a,宽为b.那么AB=CD二b, AD。