学生对分数除法运算的错误理解 l缘起分数除法的“颠倒相乘”，实现了除法向乘法的转化，使得除法不再是一种独立的运算进行分数除法运算，比较容易然而，为什么除法就转化为乘法了，即为什么就“颠倒相乘”了，却并不容易理解研究表明，虽然颠倒相乘是教学中常用的方法，并且记住如何进行分数除法看上去也很容易，但学生在很长时间里都觉得很难，不少学生仅靠记忆公式来进行运算我们试图了解学生在理解分数除法运算时所产生的错误、所遇到的困难，以期促进分数除法运算的教学2研究的方法我们选取山东省某市的两所城镇小学作为研究、调查的学校这两所小学在当地的排名分别为第2、3名，每所学校都有6个左右的平行班级由于竞争等原因，这些班级之间的差距都比较小我们从这两所学校分别选取了成绩中等的六年级班级各1个（我们调查时，六年级的学生正好学习分数除法）调查问卷如下：先列式计算然后用尽可能多的方法，如文字解释、画直观图、算式表示等来说明你的答案是正确的，说明得越详细越好问题1把6／7米长的绳子平均分成3段，每段长多少米？问题2把6/7米长的绳子平均分成4段，每段长多少米？问题3 小明有1块月饼，小华有1/4块月饼，小明的月饼是小华的几倍？问题4做一个蝴蝶结需要2/3尺绸子，5尺绸子能够做多少个蝴蝶结？问题5一个工程队修一条5/11千米长的路，每天可以修2/11千米，需要几天修完？问题6 小刚2/5小时走了9/10千米，他1小时走多少千米？调查的目的是了解学生在计算分数除法并解释算理时所遇到的困难、所出现的错误，以便有效地开展、改进教学。
问卷中的题目之所以以文字题的形式出现，是因为具体的背景能够方便学生解释和说明自己的想法，而且大部分教科书在推导分数除法的法则时，都提供了类似的背景3结果：错误的理解及原因总体而言，计算的错误还是很少的一方面，测试题目从计算的角度而言是比较容易的；另一方面，正如在调查巾学生所反映的一样，“分数的乘除法要比加减法容易得多，除法将除数颠倒以后就变成了乘法，乘法不就是分子乘、分母乘吗！”但是，学生的错误还是五花八门，主要有以下几类3.1 仅记住了Keys“颠倒”，但不知道把谁颠倒比如，Sl（学生一s，教师一T）：6／7÷3=7／6x3=7／2在该学生看来，要颠倒的是被除数，而不是除数或者说，他只记住了“颠倒”，而不知颠倒的对象这说明该生没有理解计算法则，甚至没有记住法则而记忆法则、熟练地提取法则并加以应用是必要的学习过程又比如．S2,5÷2／3=5x3／2=3／5×2＝3／10T:你是怎样做的？S2：先颠倒相乘，就是5÷2／3=5×3／2然后，把5表示成分数是÷再相乘就得到结果了3.2没有掌握分数的意义比如．S3对问题2的表征（如图1）：一条线段表示7米，平均分成7份，其中6份就是6米，从6米中选4份，就是平均分成了4段。
该生不明白分数的概念，不明白平均分是把谁平均分他只是按照整数的方法，把几个数机械地放在那里，根本没有建立起数与数之间的联系同样，对于问题1，也有学生作出了如图2的表征T:解释一下你的图S4：下面的表示把l米分成7份，取6份，就是6／7米然后从上面取3段，就是把6／7米平均分成了3段还有学生用类似的错误方法表征5／3：把一条线段平均分成3份，再把其中的一份平均分成5份，这5份就是5／33.3 不会进行分数的等值变换“分数的序关系和相等关系在理解分数的运算中扮演中心的角色”也就是说，在进行分数运算时，要经常把一个分数变成另外一个与之相等的分数，才能方便处理然而，利用分数的基本性质对分数进行等值变换，常常给学生带来困难比如，S5对问题2的直观表征：6／7÷4＝3／14（如图3）虽然该生的计算结果是正确的，但从图来看，他不会表征计算过程中应用到的分数等值变换，以至于把6／7都表征错了这有可能是因为学生没有深刻理解分数的等值变换，而且该生对分数的表征也有些混乱3.4 混淆分数作为数量与作为比值的意义分数兼具数量性质和比值性质，这是学生学习的一个难点，正如在以下访谈中所反映的一样（S6是一个成绩很好的学生）。
T：分数好学吗？S6:太抽象了T：能举例子说明吗？S6：有时候7／8就是7／8，比如7／8米有时候，7／8不是7/8，比如16米的7／8就不再是7／8了，而是14米常常地，单位l不好找，容易让人迷惑T：我明白你的意思了在整数中也有这样的情形，比如，你有3个苹果，我的苹果数是你的3倍，前一个3相对于你所说的具体的7／8，后一个3相当于你说的单位1的7.8S6:整数好理解，分数还是不好理解正因为存在这样的学习困难，因此，就算是成绩较好的学生，电不免出现将数量性分数和比值性分数相混淆的情况比如,S7在解决问题4时，先给出了正确的计算结果，然后想用混合运算来检验结果的正确性：因为7×2／3+1／2=5（尺），所以结果是对的T:请解释一下你的做法S7：看5尺里有几个2／3尺，5尺里有7*1／2个2／3尺因为1／2尺不能做1个了，只能做7个也就是7x2／3+1／2=5T：做7个后还剩1／2尺？你再算一算S7（很长时间后）：好像错了剩下的不是1／2尺又比如，图4是S7对问题5的表征工作效率2／11千米变成了工作总量5.11千米的2／11学生虽然能够给出正确的答案，但是从图中可以看出：对于分数的数量性和比值性是不理解的。
如果能够对上述知识有较好的理解的话，这个问题很容易转化为相似的整数问题：本题就是问5里有几个2这类错误在测试中占了最高的比例3.5 机械地解释题意还有些学生画图仅解释题意，不能解释其中的数量关系比如，S8对6／7÷4的表征（如图5）T：你认为你的图形直观吗？S8：直观，很好理解题意6／7米的绳子平均分成4段，每段是多少？T：说明你的结果是3／14了吗？14S8：没有但是，我认为我的好，能够帮助我解决问题能否直观地说明结果的合理性并不要紧在该生的心目中，画图就是为了说明解决问题的思路学生的这种想法与教师的日常教学相吻合在教学中，某些老师的画图往往只直观地说明解决问题的思路，或者说是将题目的文字表征转化成图形表征，而不是对推导过程中数量关系的直观说明其实这种所谓的直观完全可以用语言来代替调查发现，有些学生已经习惯于这种思维方式了，他们长于对题意进行解释、对问题本身进行直观说明，而不会对运算结果的合理性进行直观说明3.6 难以表征题目中不同意义的分数比如．S9对问题6的表征：9／10÷2／5（如图6）在一幅图上既要表示2／5小时，又要表示2／5小时走的路程9／10千米，还要表示所问的问题是什么。
结果，什么都没有解释清楚4思考综合学生在理解运算时所出现的错误，我们发现，这些错误大多与对分数的理解有关对分数的意义、分数的基本性质、分数的数量性与比值性的理解，是理解分数运算的关键不理解分数的基本性质，不能够灵活地进行分数的等值变换，就不能从直观的角度来说明运算结果的合理性；不理解分数的数量性和比值性，就难以分清数量之间的关系，也就难以对运算本身给出正确的表征 -全文完-。