专升本资料1(函数极限、连续)四川省普通高等学校“专升本”选拔《高等数学》考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法.应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次考试用时：120分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续（一）函数1. 正确理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会求分段函数的定义域、函数值，并会作简单的分段函数图像，会建立简单实际问题的函数关系式.2 理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断函数的类别3. 了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数.4. 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。
简单函数： 六类基本初等函数及其四则运算所得到的函数.分解复合函数:将一个复合函数分解为若干个简单函数的复合例 3 指出下列函数的复合过程（1） ； （2） ；（3） ； （4) ．5 掌握基本初等函数及简单函数的图象和性质6. 了解初等函数的概念及性质二）极限（成都理工大学13：理科——选4分、填空4分；文科——选4分、填空4分、解答8分；） （成都理工大学14：理、文科——选8分、填空4分；) （攀枝花学院13：理科——选择3分、解答两个10分；文科-—解答两个10分;) （攀枝花学院14：理科——选择3分、填3分，解答1个6分；） 1. 理解极限的概念,会求数列及函数在一点处的左极限、右极限和极限，了解数列极限存在性定理以及函数在一点处极限存在的充分必要条件 的充分必要条件是：理解：（1）与中只要有一个不存在就不存在 （2）虽然与都存在，但它们不相等也不存在.（3）对于分段函数，求的方法例1（攀大14 理科 选3分）若,则必有( ）. A、在点连续 . B、在点有定义. C、在的某去心邻域内有定义. D、. 例2：设函数 ,求2. 了解极限有关的性质，掌握极限的四则运算法则（包括数列极限和函数极限)。
例1若 ，则 , . (成都理工13 理考， 填4分）若 ，则 ， . （成都理工13 文考，填4分）3. 掌握用两个重要的极限求极限的方法 ， 例1（成都理工14 理、文考, 选4分）= 【 】（A） （B） (C) （D)例2 （攀大13 理科 解5分），4. 了解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较法（高阶、低阶、同阶和等价），会运用等价无穷小代换求极限有界变量与无穷小的乘积是无穷小量若 ， 是有界变量，则 设 ,（1) 是比高阶的无穷小量 ，记为：;（2） 是比低阶的无穷小量 ，记为：;（3）和为同阶无穷小量；（4)与为等价无穷小量，记为：． 例1 求 ，，例1 (攀大2013 理科 填3分）当时，与等价的无穷小量是 A ， B ,C D 例2（成都理工14 理、文考，选4分） 当时,与是等价无穷小，则= ，= ；求极限的基本方法：1 代入法： （在近旁为初等函数，有意义）2。
约去零因子法：恒等变形（分解因式、有理化、三角变换、指数变换等）例 求极限 ① ， ②,③ ④ 3. 无穷小分出法:分子分母同除以的最高次方例: ，, 若 ,则 ， . （成都理工13 理考， 填4分）若 ,则 , . （成都理工13 文考，填4分)4 利用重要极限：：解决含三角（反三角）函数的极限问题 例：① ， ② 此类型可用等价无穷小替换法5. 利用重要极限：， 解决幂指类函数的极限问题. 例:① , ② ， ③ , ④ ⑤ ， ⑥ （攀大13 理科 解5分），⑦ ⑧（成都理工14 理、文考， 选4分）= 【 】(A） (B） （C） (D）6. 利用等价无穷小替换法当时, 则基本的等价无穷小有:当时，，,，， ， , 例1 求下列各极限值① ； ② ； ③ ; ④ ⑤ 7 利用洛比达法则求极限 （分子、分母分别求导的方法) ， 例1(1）型：① (成都理工13 理考,选4分） ,② （成都理工13 文考，选4分）③(攀大13 文科 解5分）④（攀大13 理科 解5分）④ ⑤ ，⑥ （攀大13 文考 解5分) ⑦ （2） 型：， （3）型：， （4)型： , （5） 型： （成都13 文考 解 8分） 失效或不适合： ①， ② ③ ,④ 例2．（成都理工14 理、文考， 选4分）若函数在连续，且，则【 】（A）在处不可导； （B)；(C）是的极大值点； （D）是的极小值点。
例3、(攀大14 理科 填3分）若,则= 例4、（攀大14 理科 解6分）设，其中为常数且不为，求的值三）连续 （成都理工大学13 理科及文科——解答题8分) （成都理工大学14 理、文科-—0分) （攀枝花学院 文科——填空3分;理科—-填空2个6分;） 1 理解函数在一点连续与间断的概念，会判断简单函数（含分段函数）的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系.例1 判别下列函数在指定点外是否连续① ，在处； ②， 在处；③ ，在处例2 确定、的值，使下列函数连续① ； ② ③ 设函数，且在点连续，则 .(攀大13 理考 填3分）④ 设函数，在上连续，则 .(攀大13 文考 填3分)2 会求函数的间断点及确定其类型当为的间断点时1） 为第一类间断点和都存在 当时，为的可去间断点. 当时，为的跳跃间断点2） 为第二类间断点和中至少有一个不存在 当,中有一是 时，为的无穷间断点例（攀大13 理考 填3分）、设函数，则 是可去间断点例 是 的 间断点．例 求函数的间断点，并判别其类型.3. 掌握闭区间上的连续函数的性质.会用零点定理证明方程根的存在性。
最大最小定理 若函数 在闭区间上连续， 则（1) 在上至少存在一点，使得对于任何,恒有．(2) 在上至少存在一点,使得对于任何，恒有． 性质3·6·5也称为最大值、最小值存在定理（如图3—6—4）．推论 若函数 在闭区间上连续，则它在该区间上有界．介值定理 若 在 上连续，则它在内取得介于其最小值和最大值之间的任何数．方程根的存在定理 若 在 上连续，且 ，则至少存在一个，使得 （如图3—6-6)．此推论也称为根的存在定理．例 证明方程 在 内至少有一个实根．证明 设，由于它在 上连续且 , ．因此，由推论可知,至少存在一点,使得 ．这表明所给方程在内至少有一个实根．例 证明方程 有一大于的负根．例 若上连续的函数满足，证明方程 在 上至少有有一实根．例 证明方程 有不超过的正根．例 证明方程 有不超过的正根．例 若上连续的函数满足,证明方程 在上有实根．19．（成都理工13 理考，解8分）设在上连续,在内可导，且，，证明:存在，使得；4. 了解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限 代入法： (在近旁为初等函数，有意义）二 一元函数微分学(一）导数与微分1。
理解导数的概念，了解导数的几何意义以及函数的可导性与连续性的关系，会用导数的定义判断函数的可导性2. 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程3. 熟练掌握导数基本公式，四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数4. 掌握隐函数以及由参数方程确定的函数的求导方法，会使用对数求导法，会求分段函数的导数5. 了解高阶导数的概念,会求初等函数的高阶导数 理解微分的概念及几何意义，掌握微分运算及一阶微分形式的不变性，了解可微与可导的关系会求函数的微分二)中值定理及导数的应用1 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义,会用中值罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式.2. 熟练掌握洛必达法则求 “”、“”、“”、“”、“”、“”、“”型等未定式的极限 会用导数判定函数的单调性及求函数的单调、减区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式4. 了解函数极值的概念,掌握函数极值和最大(小)值的方法,并且会解简单的应用问题 会判别曲线的凹凸性，会求曲线的拐点6. 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线.三 一元函数积分学(一）不定积分1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理.2。
熟练掌握基本的不定积分公式.3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法(限于三角代换与简单的根式代换)4. 掌握不定积分的分部积分法 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分二）定积分1. 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件2. 掌握定积分的基本性质3. 了解变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导的方法4. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式.5. 掌握定积分的换元法和分部积分法，并会证明一些简单的积分恒等式6. 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法7. 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积，会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积四 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1 理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影.2. 掌握向量的运算，向量的数量积、向量的向量积的计算方法.3. 了解两向量平行或垂直的条件.(二）平面与直线1 会求平面的点法式方程、一般式方程，会判断两平面的垂直、平行 会求点到平面的距离3. 了解直线的一般式方程,会求直线的标准方程、参数式方程,会判定两直线垂直、平行.4. 会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面。