三垂线定理及其应用三垂线定理及其应用a aA AP Po o 一、一、三线概念三线概念: :平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影a aA AP Po o 如图如图POPO是平面是平面 的斜线的斜线, , OO为斜足为斜足; ; PA PA是平面是平面 的垂线的垂线, A, A为垂足为垂足; ; AO AO是是POPO在平面在平面 内的射内的射影影. .性质定理判定定理性质定理线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直 PO 平面PAOaPO 二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在平面内平面内的一条直线的一条直线(a)(a)，如果和这个平面，如果和这个平面的一条斜线的一条斜线(PO)(PO)的射影的射影(AO)(AO)垂直，那么它垂直，那么它(a)(a)也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直PAa PAaAOaPAAO=Aa平面PAOP Pa aA Ao o 已知:如图,PO为平面的斜线, PA , a在平面内且垂直PO的射影AO.求证:aPO证明: 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间之间 的垂直关系的垂直关系. . 2 2、a a与与POPO可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面. . 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理. .说明：说明：4 、转化思想、转化思想: :空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内 两直线的垂直问题两直线的垂直问题. .a aA AP Po o 练习：判定下列命题是否练习：判定下列命题是否正确正确 (1) (1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则abab。
( ) ( ) 2 2定理的关键找定理的关键找“平面的垂线平面的垂线”.”. 强调：强调：11四线是对同一个平面而言四线是对同一个平面而言. . (2) (2)若若a a是平面是平面的斜线，的斜线，b b是平面是平面内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在内的射影，则内的射影，则abab ( ) ( ) a aA AP Po o 三、知识运用例1. 如图,PD平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证ABPC.PABCD证明: PD平面ABC, DC为PC在平面的射影, 而ABC为等腰三角形, D为AB的中点, AB CD AB PCPC 例例2.2.如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，连结中，连结 BD BD1 1，ACAC，CBCB1 1，B B1 1A A，求证：，求证：BDBD1 1平面平面ABAB1 1C C DD DD1 1平面平面ABCD ABCD BD BD是斜线是斜线D D1 1B B在平面在平面ABCDABCD上的射影上的射影 ABCDABCD是正方形是正方形ACACBDBD (AC (AC垂直射影垂直射影BD)BD)，ACACBDBD1 1 A1D1C1B1ADCB同理同理: :BABA1 1是斜线是斜线BDBD1 1在平面在平面ABBABB1 1A A1 1上的射影上的射影 , AB , AB1 1 BDBD1 1 而AC ABAB1 1 =A BDBD1 1平面平面ABAB1 1C C证明：连结证明：连结BDBD、 A A1 1B B例例3.3.道路旁有一条河，彼岸有电塔道路旁有一条河，彼岸有电塔ABAB，高，高15m15m，只有测角器，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A A与道路的距离与道路的距离？( (测角器只能测水平面角测角器只能测水平面角) ) 解：在道路边取一点解：在道路边取一点C C， 使使BCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于9090，B BA AC C9090 BCBC是是ACAC的射影的射影, ,且且CDCDBC,BC,CDCDAC (AC (三垂线定理三垂线定理) ) 因此斜线因此斜线ACAC的长度就是电塔顶的长度就是电塔顶A A与道路的距离。
与道路的距离B BA AC C9090 BC= BC= a a米米，在直角在直角ABCABC中中, ,ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2， AC= 15 AC= 152 2+a+a2 2 米米 答：电塔顶答：电塔顶A A与道路的距离是与道路的距离是 米米再在道路边取一点再在道路边取一点D D，使，使CDB=45,CDB=45,则CD=CB可测得可测得C C、D D的距离等于的距离等于a a米米, ,D4545例4.如图,长方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=AD=2 , AA1= , E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小? ABCDEFA1B B1 1C1D1解:连接BD,AC,AC交EF于G,G连接A1G 底面底面ABCDABCD是正方形，是正方形，ACACBD, BD, 而而E,FE,F为为AB和AD中点中点, , EFEFBD,BD, EF EFACAC 又因为AG为A1G在平面ABCD 上的射影.(由三垂线定理三垂线定理) ) EF EFA A1 1G,G,则则A A1 1GAGA为为二面角的平平面角面角. .计算得:二面角的大小为:60o 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
和这条斜线垂直 四、小四、小 结结 2. 2.定理的主要应用定理的主要应用: :证明线线垂直证明线线垂直, ,线面垂直线面垂直, , 求点到线的距离求点到线的距离, ,二面角大小二面角大小, , 1. 1.定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言, , 3. 3.证明程序分三个步骤证明程序分三个步骤:“:“一垂二射三证一垂二射三证”, ”, 计算程序分三个步骤计算程序分三个步骤:“:“一作二证三算一作二证三算”. ”.。