普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.在等差数列中，若，则的值为( )A．24 B．22 C．20 D．182.若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式是( )A．①② B．②③ C．①④ D．③④3.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．4.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是( )5.若实数满足，则的最大值是( )A．0 B．1 C． D． 96.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位， 再作关于x轴的对称曲线， 得到函数y=1－2sin2x的图象， 则f(x)是（ ）A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx7.椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m， 当m取最大值时， P点坐标为（ ）A.（5， 0）， （－5， 0） B.（）（）C.（）（－） D.（0， －3）（0， 3）8.已知P箱中有红球1个， 白球9个， Q箱中有白球7个， （P、Q箱中所有的球除颜色外完全相同）.现随意从P箱中取出3个球放入Q箱， 将Q箱中的球充分搅匀后， 再从Q箱中随意取出3个球放入P箱， 则红球从P箱移到Q箱， 再从Q箱返回P箱中的概率等于（ ）A. B. C. D.9.一个容量为20的样本数据， 分组后， 组距与频数如下：（ ）（10， 20］， 2；（20， 30］， 3；（30， 40］， 4；（40， 50］， 5；（50， 60］， 4；（60， 70）， 2， 则样本在（－∞， 50）上的频率为A. B. C. D.10．关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③11．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 （ ）A． B． C． D．12．设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为（ ）A． B．C．2 D．二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、已知点，且，则_________.2、在平行四边形中，已知，则_________.3．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是_____.4．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.三、大题：(满分70分)1、已知是坐标轴原点，双曲线与抛物线交于两点，两点，的面积为4．（1）求的方程；（2）设，为的左，右焦点，点在上，求的最小值．2、已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．3.设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．4.如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．5、已知数列满足，，数列满足.(1)证明数列是等差数列并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.6、已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．参考答案：一、选择题：1-5题答案:ACDBD6-10题答案:BDBDC11-12题答案:DA二、填空题：1、22、3.4.三、大题：1、【解析】（1）不妨设，则，则，解得，，将其代入双曲线得，解得，双曲线的方程为；（2）由（1）可知，，，，设，则，，，又，，即当时，取得最小值，且最小值为．【评注】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是巧设点的坐标，解出，两点的坐标，列出三角形的面积关系也是本题的解题关键，运算量并不算太大．2、解：（1）连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则，A1(2，0，4)，，，，，，．设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．设为平面A1MN的法向量，则所以可取．于是，所以二面角的正弦值为．3.设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．【解答】解：（1）△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2，可得4×absinC=a2+b2﹣c2，即有cosC===sinC，则tanC==，由0＜C＜π，可得C=；（2）由A+B=π﹣C=，即B=﹣A，sinB﹣cosA=sin（﹣A）﹣cosA=cosA+sinA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣），由0＜A＜，可得﹣＜A﹣＜，则﹣＜sin（A﹣）≤1，即有sinB﹣cosA的取值范围是（﹣，1]．4.如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD．∵AE⊥AB，CD∥AB，∴CD⊥AE．又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵CD⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ADE．…（4分）解：（1）∵BC=1，EA=2，DE=，∴DE2=AD2+AE2，∴AE⊥AD，又AE⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．…（6分）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，2，0），F（0，2，1），E（1，0，2）．∴=（1，2，0），=（0，2，1），设平面BDF的一个法向量=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，﹣1，2）．同理可求得平面BDE的一个法向量=（2，﹣1，﹣1），∴cos＜＞===，…（10分）∴sin＜＞=．故二面角E﹣BD﹣F的正弦值为．…（12分）5.参考答案：解（1）证明：由，得，∴所以数列是等差数列，首项，公差为 -4分∴（2） ----7分----①-------------②-------9分①-②得------11分6.解：设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得． 故．。