天线原理与设计 教师： 王建电子工程学院二系第一章第一章第一章第一章 天线的方向图天线的方向图天线的方向图天线的方向图 天线的方向图可以反映出天线的辐射特性天线的方向图表示天线辐射电磁波的功率或场强在空间的分布图 形对不同的用途，要求天线有不同的方向图 这一章介绍几种简单的直线天线和简单阵列天线的方向图，以及地面对天线方向图的影响简单天线涉及元天线、单线行波天线、对称振子天线等简单阵列天线 涉及由同类型天线组成的二元阵、三元阵和多元阵，对 简单阵列将介绍方向图相乘原理 线天线的分析基础是元天线一个有限尺寸的线天线可看作是无穷多个元天线的辐射场在空间某点的叠加 因此这里首先讨论元天线 1..1 元天线的辐射场 1.1 元天线元天线元天线元天线 元天线又称为基本振子或电流元，它是一个长为 dz的无穷小直导线，其上电流为均匀分布 I 如果建立如下图所示坐标系，由电磁场理论很容易求得其矢量位 A为 j0ˆ ˆ4 r zezIdz Arβµπ−= =A (1.1)在球坐标系中， A的表示为 : 利用球坐标系中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵 ˆˆ ˆrAAAθ ϕ=++Asincossinsincoscoscoscossinsinsin cos 0r xyzA AA Aθϕ θϕθϕθθ θ θϕ ϕ⎡⎤ ⎡⎤⎡ ⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢ ⎥= −⎢⎥ ⎢⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎣⎦ ⎣⎦(1.2)因 Ax=y0， 可得 cossin0r zzAAAθϕ θθ⎧=⎪=−⎨⎪=⎩ (1.3)由 0j+jωωµε∇=− AEAi和 01µ=∇×H AH H H 可得 j j0 2j021j sin(1)4 j11j sin[1 ]4 j (j)1cos(1)2 j0r rrr rIdzH er rIdzE er r rIdzE er rEHHβϕ βθβϕ θβθπ ββηθπ ββηθπ β− −−⎧= +⎪⎪= ++⎨⎪= +⎪===⎩ (1.4)式中， E为电场强度 ; 为磁场强度 ; 下标 r、θ、φ表示球坐标系中的各分量； 相位常数 β=2π/λ ， λ为媒质中的波长 ；为媒质中波阻抗，在自由空间η0=120π; 0 00/ηµε= 由此式，可根据场点距离 , 分区写出元天线的电磁场。
返回返回 1返回 21..2 元天线的场区划分 任何天线的辐射场都可化分为近场区、中场区和远场区三个区域对于基本振子来说，这三个区域的划分较为 简单，且很容易写出各场区中的辐射电磁场 ●●●●近场区近场区近场区近场区(βr1) jj0j02j sin4j sin4cos20rrrr rIdzH erIdzE erIdzE erEHHβϕ βθβϕ θβθπβηθπηθπ−−−⎧⎪⎪⎨⎪⎪===⎩≃≃≃ (1.7)链接 对于中等的βr值，电场的两个分量 Eθ和 Er在时间上不再同相，而相位相差接近π /2 ， 它们的大小一般不等，其合成场为一个随时间变化的旋转矢量，矢量末端 的轨迹为一个椭圆，即为椭圆极化波但合成场矢量是 在 r和θ构成的平面内旋转此时的 Er分量为交叉极化场另一方面，电场分量和磁场分量在时间上趋于同相，它 们的时间平均功率流不为零即 * *1 1 ˆRe[ ]Re[ ]02 2av EHrθϕ=×= ≠WEH H H H (1.8)这表明在中场区中有径向方向的向外辐射现象 该场区中的电磁场分量式 (1.4)中只需保留 1/r的那一项即可，其它的项均可忽略不计。
则远场区中只有 Eθ和 Hφ分量， Er分量忽略不计因此，基本振子的远区电磁场为 ●●●●远场区远场区远场区远场区(βr>1) j0 jj sin (/)2jsin (/)2 0rrr rIdzE eVmrIdzH e AmrEEHHβθ βϕϕ θηθλθλ−−⎧=⎪⎪=⎨⎪====⎪⎩ (1.9) 导出基本振子远区辐射场表示式 (1.9)的过程较繁，这里给出一种快速求天线远区辐射场的方法 链接返回 若已求得天线的矢量位 A， 则其远区辐射场可由如下公式快速求得 01ˆjrωη=−⎧⎪⎨=×⎪⎩EAH EH H H (1.10)由于传播方向为径向 r方向，式中电场只计 Eθ和 Eφ分量 由元天线远区辐射场公式 (1.9)， 可得如下特点： ■ 在给定坐标系下，电磁场只有分量 Eθ和 Hφ ， 它们相互垂直，同时又垂直于传播方向 r ■ 电磁场分量都有因子 e-jβr/， 实际上所有天线远区辐射场均有此因子 ■ 空间任意点处的电磁场相位相同，等相位面是一个球心在基本振子中心点的球面 ■ 电场与磁场分量的比值等于媒质中的波阻抗 0EHθϕη= (1.11)■ 适当建立坐标系，使基本振子轴与 z轴重合，则其辐射场只与θ角有关，与φ角无关。
辐射场是旋转对称的 重写式 (1.9)中的 Eθ分量为 j0j ()2rIdzE eFrβθη θλ−= (1.12)式 中， ()sinFθθ= (1.13)1..3 元天线的辐射方向图为元天线的方向图函数其含义是：在半径为 r的远区球面上，其远区辐射场随θ角为正弦变化由此可画出元天线空间立体方向图和两个主面 (E面和 H H H H 面 )的方向图，如下图所示 由图可以看出：■θ=0，π时，辐射场为零；θ= π/2时，辐射场最大 ■ 方向图函数与φ无关，在 xy平面内方向图为圆 ■ 由定义， yz面为 E面 (E面方向图有无穷多个 )； xz面为 H H H H 面 ■ 与理想点源天线不同，元天线是有方向性的 1..4 元天线的的 Rr、 D和 Se 由 元 天 线 的 远 区 辐 射 场 表 示 式 (1.9)及 辐 射 功 率 表 示 式(0.6)，可得基本振子的辐射功率为 2* 220 001 1ˆ | | sin2 2r sP rdsdErdπ πθϕ θη=×⋅ =∫ ∫∫EH H H H� 2004( )32Idzπηλ= (1.14)由 Pr=I2Rr/2可得 22280()rr PdzRI πλ== (1.15)(P28)基本振子的方向性系数为 20 1.5()sinDFdπθθ= =∫ (1.16)基本振子的有效面积为 2 23()48eS Dλλππ== (1.17) 前面对无穷小的基本振子 (元天线 )讨论了其场区划分，主要目的是分析基本振子在各区中的电磁场分布，从而了解其辐射机理。
即 1.2 有限尺寸天线的场区划分■ 在感应近场区，电磁场在时间上相位相差π/2， 在某一时刻电场最大时磁场最小，磁场最大时电场最小，为 振荡电磁场，没有向外辐射的能量； ■ 在中场区，开始有向外辐射的能量，但存在交叉极化电场分量 Er， 使得在 r与θ组成平面内的合成电场为椭圆极化波； ■ 在远场区，辐射电磁场只有 Eθ和 Hφ分量，在时间上二者同相，空间上它们互相正交并垂直于传播方向，形成 线极化辐射波 对于有限尺寸的天线，围绕天线的空间也分为三个场区，即 感应近场区 ， 辐射近场区 和 远场区 这与基本振子的三个场区的划分有所不同，划分的标准也不同由 于天线有一定尺寸，场区将以天线的线尺寸来划分 为简单起见，这里以细直导线为例来讨论假设细直导线天线的全长为 2l， 如下图所示并建立坐标系，其上电流分布为 I(z´)， 由基本振子矢量位式 (1.1)沿天线整个长度积分得 j0ˆ ()4 Rll ez Iz dzRβµπ −−′ ′=∫A (1.18)返回式中， R为天线上某点 (x´,y´,z´)与观察点 (x,y,z)之间的距离，在如上图 (a)坐标系下， x´=y´0 ，则 R的表示为 2 2 2 22 2()( )() ()Rxxyyzz xyzz′ ′ ′ ′=−+−+−=++−(1.19) 只要天线上电流分布 I(z´)已知 ,由式 (1.18)和 (1.19)就可得到天线的远区电磁场。
对于任意位置的观察点来说， 式 (1.18)很难得到一个闭合形式如果天线上电流为正弦分布，则式 (1.18)能够简化得到一个闭合形式的表达式，这将在后面介绍现在不讨论天线上的电流分布如何， 只讨论观察点所处位置 (区域 )对式 (1.18)积分的简化问题 由观察点到坐标原点的距离 ，及关系式 ，式 (1.19)可写作 222rxyz=++coszrθ=222 2coscos 1zrzRrzrz r rθθ ′ ′−′ ′=+− =+ (1.20)采用二项式展开，可把上式写成级数形式 2 32 22cos sin cossin2z zRrz r rθ θ θθ′ ′′=−+ + +⋯ (1.21) 上式 R的取值不同主要影响式 (1.18)中被积函数的相位因此，下面主要根据 相位因子 e-jβR中的 βR满足给定的相位要求来确定场区 1.2.1 远场区在远场区中一般取式 (1.21)的前两项，即 cosRrzθ′−≃ (1.22)被略去的最大项为第三项，当θ= π/2时，该项出现最大值，即 2 22 /2sin2 2z zr rθπ=′ ′= (1.23)此时第四项变为零，可以证明式 (1.21)中未写出的其余高阶项也为零。
这说明取近似表示式 (1.22)的最大误差由式(1.23)给出对大多线尺寸大于一个波长 (2l >λ)的实际天线，业已证明： 不超过 π /8弧度的相位误差对辐射场的求解精度影响不大 以此为标准来确定天线的远场区，即最大相位误差满足 228zrπβ′≤ (1.24)对长度为 2l的直线天线，取 z'=±l， 可得远场区满足条件 2()2lrλ≥ (1.25) 此式条件对口径天线也适用，不论是喇叭天线、反射面天线还是平面阵列天线等，如果其最大口径尺寸为 D，则其远场区条件应满足 2/rDλ≥ (1.26) 以上分析说明，只要观察点处于远场区，则其相位因子中的 R可由式 (1.22)表示，而式 (1.18)被积函数分母上的R可用 ≈ r来近似这种简化称为远场近似，即 cosRrzr θ⎨−⎧⎩ ′≃≃ 对 相 位对 幅 度 (1.27)取 R≈ r-z'cosθ， 表示由天线上某源点到远区场点的径向矢量与由坐标原点到场点的径向矢量平行，如前面图 (b)所示而 r-R≈ z´cosθ为两条射线的距离差，称为波程差 链接1.2. 辐射近场区 (菲涅尔区 ) 当观察点离天线较近 [r0时为其它的各副瓣最大值位置。
如果 l >λ， 主瓣最大值位置趋于 0º 返回2、方向图各零点位置、方向图各零点位置、方向图各零点位置、方向图各零点位置θn 零点位置同样可由式 (1.77)中的正弦函数近似地确定 |sin[(1cos)/2]| 0nl θβθ=− (1.81a)即 (1cos) , 1,2,3,2 nl nnβθπ−=±=⋯ (1.81b)得 1cos[ ], 1,2,3,n nnlλθ−=± =⋯ (1.82)如果连同式 (1.77)中的余切函数一起考虑，则式 (1.79)中的 2m m m m +1就不是取 1,3,5…这些值，而应改为 210.742,.93,4.96,.97,8.9,1.3,+= ⋯ (1.80)这说明离主瓣。